1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 72 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，那么下列命题中正确的是 ( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） AX=b 是 BX=b 同解方程组（C） A 与 B 的行向量是等价向量组（D）A 与 B 有相同的特征向量2 设点 Pi(xi，y i，z i) (i=1，2，s，s4) ，令矩阵 则 S 点共面的充分必要条件是( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）1r(A)33 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A）
2、 1 2， 2 3， 3 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 12 2， 22 3， 32 1（D） 1+22， 2+23， 3+21二、填空题4 设 33 阶矩阵 A=， 1， 2，B=， ， ，其中 ， ， 1， 2 均为 3 维列向量，已知行列式A=2， 则行列式，2 1 2， 1 22=_5 已知矩阵 若矩阵 X 和 Y 满足X2+XY=E,A(X+Y)B=E则矩阵 Y=_6 已知 A 是四阶矩阵， 1， 2 是矩阵 A 属于特征值 =2 的线性无关的特征向量，若 A 得每一个特征向量均可由 1， 2 线性表出，那么行列式A+E=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
3、骤。6 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0,A=E+T试计算：7 A8 An9 A1 10 已知 A 是 34 矩阵，r(A)=1，若 1=(1，2，0， 2)T， 2=(1，1，1，a)T， 3=(2，a，3，5) T， 4=(1，1，a，5) T 与齐次方程组 Ax=0 的基础解系等价，求 Ax=0 的通解11 已知矩阵 与对角矩阵相似，求 An12 已知 A 是 34 矩阵，r(A)=1，若 1=(1，2，0， 2)T， 2=(1，1，a，5)T， 3=(2，a，3，5) T， 4=(1，1，1，a) T 线性相关，且可以表示齐次方程Ax=0 的任一
4、解，求 Ax=0 的基础解系13 已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，=5 是矩阵 A 的二重特征值，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，求可逆矩阵 P，使 P1 A*P 为对角矩阵14 设 满足 AB=C，求 B14 设 a0，a 1，a n1 是 n 个实数，方阵15 若 是 A 的特征值，证明： =1， 2， n1 T 是 A 的对应于特征值 的特征向量16 若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 P1 AP=A17 设实矩阵 A=(aij)nn 的秩为 n1， i 为 A 的第 i 个行向量(i=1，2，n)求一个非零向量 xRn，使 x 与 1， 2， n 均正交
5、18 设 A、B 均为 N 阶实对称矩阵，且 A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于b，其中 a，b 均为实常数，证明：矩阵 A+B 的特征值全大于 a+b19 已知矩阵 的特征值有重根，判断 A 能否相似对角化，并说明理由20 A 是 3 阶实对称矩阵，A 2=E，如果 r(A+E)=2，求 A 的相似对角形，并计算行列式A+2E的值21 设 A 是三阶实对称矩阵，A 的特征值是 1=1， 2=2， 3=1，且 分别是 1， 2 对应的特征向量，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0， 0 所对应的特征向量是 求 a 及 0 的值，并求矩阵 A21 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵22
6、 求 a，b 的值；23 求正交变换 x=Qy，化二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTA*x 为标准形，其中 A*为 A 的伴随矩阵；24 若 kE+A*合同于单位矩阵，求 k 的取值范围考研数学一（线性代数）模拟试卷 72 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，故有可逆矩阵 P，使 PA=B，对A，B 按行分块，有 从而 即 1， 2， n 可由1， 2， n 线性表出， 1， 2， n 也可由 1， 2， n 线性表出，所以A 与 B 的行向量是等价向量组 由于EB =EPA E A
7、 ，经初等变换，矩阵 A 与 B 的特征值是不同的 对增广矩阵作初等行变换得到同解的方程组，仅对系数矩阵作行变换，两个方程组不同解故选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A、B、C 是 s 点共面的充分条件，r(A)=1，s 个点重合=s 个点共面；r(A)=2，s 个点共线，至少有两个点不重合=s 个点共面；r(A)=3，s 个点共面，至少有三个点不共线=s 个点共面，但并非必要条件反之 s 个点共面，则可能 s 个点重合、s 个点共线、s 个点共面，故 1r(A)3故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 直接可看出 A 中 3 个向量组
8、有关系 (1 2)+(2 3)=( 3 1)即A 中 3 个向量组有线性相关，所以选 A【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 根据行列式和矩阵的性质，得 ，2 1 2， 12 2 = ，2 1 2， 12 2，2 1 2， 12 2【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填【试题解析】 由 X(X+Y)=E，知 X+Y=X1 ，于是 Y=X1 X 由 A(X+Y)B=E，有AX1 B=E，于是 X=BA那么 从而所以【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填 34【试题解析】 因为不同特征值的特征向量线性无关，现在矩阵 A 的每一个特征向量均可由 1， 2 线
9、性表出，故 =2 必是矩阵 A 的 4 重特征值，因此，A+E 的特征值为 3(4 重根) ，所以A+E=3 4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A n=(E+T)n =En+nEn1 T+ En2 (T)2+当 k2 时，( T)k=(T)(T) ( T)=(T)(T) T=0故 An=E+nT【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+T T =E+2T=2E+2TE=2AE 2A A 2=E， A(2EA)=E， A 1 =(2EA)=
10、E T【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由于 1， 2， 3， 4 与 Ax=0 的基础解系等价，故 1， 2， 3， 4必是 Ax=0 的解，因为 A 是 34 矩阵，且 r(A)=1，所以 Ax=的基础解系有 nr(A)=41=3 个解向量，因此向量组 1， 2， 3， 4 的秩必为 3，其极大线性无关组就是 Ax=0 的基础解系，于是若a=3，则 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组是 1， 2， 3，于是 Ax=0 的通解是若 a=1 或 a=4，则 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组是 1， 2， 4 于是 Ax=0 的通解是【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由
11、矩阵 A 的特征多项式知矩阵 A的特征值是 1=2=1， 3=3因为 A 可对角化，=1 必有两个线性无关的特征向量，故 r(EA)=1 求出a=3对于 =1，由(EA)x=0，得 1=(1，1，0) T， 2=(0，1，3) T，对于 =3，由(3EA)x=0，得 3=(1，0，1) T【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 A 是 34 矩阵，且 r(A)=1，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系有 nr(A)=3 个解向量又因 1， 2， 3， 4 线性相关，且可以表示 Ax=0 的任一解，故向量组 1， 2， 3， 4 的秩必为 3，且其极大线性无关组就是 Ax=0 的基础解系
12、由于 当且仅当a=3，4 或 1 时，r( 1， 2， 3， 4)=3，且不论其中哪种情况， 1， 2， 3 必线性无关 所以 1， 2， 3 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量， =5 是矩阵 A 的二重特征值，故 =5 必有两个线性无关的特征向量，因此 r(5EA)=1由得 a=0，b=1又因5+5+3=1+3+5， 知矩阵 A 的特征值是1=2=5， 3=1又A = 1 2 3=25，伴随矩阵 A*的特征值为(i=1，2，3)，即5，5，25 解线性方程组(5E A)x=0，得基础解系 1=(1， 2，0) T， 2=
13、(0，0，1) T 它是矩阵 A 的属于特征值 1=2=5 的线性无关的特征向量，也是 A*的属于特征值5 的线性无关的特征向量 解线性方程组(EA)x=0，得基础解系 3=(2，2，1) T 它是矩阵 A 的属于特征值 3=1 的特征向量，也是 A*的属于特征值 25 的特征向量【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 将 c 按列分块， C=C1，C 2，且设 AX1=C1，AX 2=C2，将两个方程一起作初等行变换，一起求解， 即AX1=C1，得通解为 K13，3，1，2T+1，0，1，0 T，AX 2=C2，得通解为 K13，3，1，2 T+5，4，2，0 T取第三个分量为 0 的两个
14、特解为 K 1=1， X 1=2，3，0，2 T， K2=2，X 2=1，2，0，4 T，故【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 是 A 的特征值，则 应满足EA =0，即将第 2 列乘 ，第 3 列乘 2，第 n 列乘 n1 ，加到第 1 列，再按第 1 列展开，得得证 =1， 2， n1 T 是 A 的对应于 的特征向量【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因 1， 2， n 互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 欲求与 A 的行向量都正交的非零向量，即求齐次线性方程组Ax=0 的
15、非零解，因为 r(A)=n1n，所以 n 元齐次线性方程组 Ax=0 必有非零解 因为 r(A)=n1，即 A 中非零子式的最高阶数为 n1，故A 中存在某元素ak1 的代数余子式 Aij0(记元素 aij 的代数余子式为 Aij，i ，j=1 ，2，n)于是向量 =(Ak1，A k2，A kn)T0， 由行列式的展开法则，有故 x1=AAk1，x 2=AAk2，x n=AAkn 满足方程组 Ax=0的每个方程 aijxj=0(i=1，2，n)，即非零向量 是 Ax=0 的一个解，故 就是所求的一个向量【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 为 A+B 的任一特征值，则有 x0，使(A+
16、B)x=x由此可得(AaE)+(BbE)x=(a+6)x，即 (a+b)为实对称矩阵 (AaE)+(BbE)的特征值设 为 AaE 的任一特征值，则有 y0，使(AaE)y=y，即 Ay=(+a)y，故 +a 为 A 的特征值，由题设条件，有 +aa，故 0，即 AaE 的任一特征值都大于零，故实对称矩阵 AaE 为正定矩阵同理可证实对称矩阵 BbE 为正定矩阵，由于同阶正定矩阵之和为正定矩阵，故矩阵(A aE)+(BbE) 为正定矩阵，因而它的特征值全大于零，从而有(a+b)0，于是得 A+B 的任一特征值 都大于 a+b【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A 的特征多项式=(2)
17、( 28+10+a)若=2 是重根，则 28+10+a 中含有 2 的因式，于是 2216+10+a=0，得 a=2 此时 28+12=(2)(6)矩阵 A 的 3 个特征值是 2(二重根)，6 对于 =2，由 知 A 可以相似对角化 若 =2 不是重根，则28+10+a 是完全平方，于是 8 2=4(10+a)， 得 a=6， =4(二重根) ， 对于 =4，由于 故 a=6 时，A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由于 A2=E，A 的特征值只能是 1 或1，又因为 A 是实对称矩阵，A 必有 3 个线性无关的特征向量 从 r(A+E)=2 和(A+E)x=0 的基
18、础解系由3r(A+E)=1 个向量组成，知 =1 只有一个线性无关的特征向量，从而 =1 是单根，=1 是二重根，因此 由于 +2 是 A+2E 的特征值，知 3，3，1 是 A+2E 的特征值，故 A+2E =3 31=9【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由题设有 A*=0，于是 AA*=0A，而 AA*= A E，从而有A= 的特征向量 又 1， 2 是实对称矩阵 A属于不同特征值 1， 2 的特征向量，必正交，即有 1T2=a1a(a+1)+2=0，解得a=1 设 为 A 的对应于 3=1 的特征向量，由 A 是实对称矩阵知， 3与 1， 2 均蒸饺，即 解得由于 也为 A 的特
19、征向量，应与 1， 2， 3 中某一个成比例，显然不成立，故 a=1不合题意 当 a=1 时，方程组为 解得 与 3 成比例，可见 也是 A 对应于特征值 3=1 的特征向量，且有故 a=1， 0=2由 Ai=ii(i=1，2，3)，有 A1， 2， 3=11， 22， 33，于是 A= 11， 22， 331， 2， 31【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由题设知，A 有三个特征值 1=1， 2=2， 3=1，P 的三个列向量 1， 2， 3 为对应的三个特征向量，必定两两正交，于是解得 a=0，b=2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 Ai=ii，知即2，1，2，且对应特征向量分别为 由于 1， 2， 3 已两两正交，只需将其单位化即可：令Q=1， 2， 3，则 Q 为正交矩阵，通过正交变换 x=Qy，有 f(x1，x 2，x 3)=xTA*x=yTQTA*Qy= =2y 12y 22+2y32【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 kE+A *的特征值分别为 k2，k1，k+2，kE+A *合同于单位矩阵的充要条件是：k20，k10，k+20，即 k 应满足：k2【知识模块】 线性代数
