1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 86 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）30m（B） 15m（C） 6m（D）6m2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *（A）2 nA *（B） 2n1 A *（C） 2n2n 一A *（D）2 n2A *4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且Aa，Bb，若 C则C （A）一 3ab（B） 3mab（C） (一 1)mn3mab（D）(一 1)(m1)n 3mab5 x一 2 是 0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充
2、分也非必要条件6 设 n 维行向量 ，矩阵 AE T，BE 2 T，则 AB（A）0（B） E（C）一 E（D）E T7 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *AAA *（B） AmApA pAm（C） ATAAA T（D）(AE)(AE)(AE)(AE) 8 设 A，B，AB，A 1 B 1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A 1 B 1 )（A）AB（B） A1 B 1 （C） A(AB) 1 B（D）(AB) 1 9 设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）AB0 A0 或 B0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB0 A 0 或B0（D）AB0 A0 且B
3、0 10 （A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P3二、填空题11 若 的代数余子式 A12一 1，则代数余子式 A21_12 若 A (4，5，6) ，则 A_13 若 A ，则2A 1 _14 设 ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A ， 1， 2， 34，B ，2 1，3 2， 321，则A B _15 已知 Dn ，若 DnaD n1 kD n2 ，则k_16 若 A ，则 A2_，A 3_17 若 A ，则 A2_，A 3_18 设 A ，则 A1 _19 设矩阵 A ，BA 25A6E，则 _20 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A22AE0，则
4、(A2E) 1 _21 若 A ，则(A *)1 _22 若 A1 ，则(3A *)_23 设 A 不可逆，则 x_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 若行列式的某个元素 aij 加 1，则行列式的值增加 Aij25 若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 26 若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和考研数学一（线性代数）模拟试卷 86 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D).【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*是一个数
5、，由kA=k nA及A *= A n-1 有 A *A=A * nA=(A n-1)nA=A n2-n+1. 故应选(C).【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 (2A)* 2A n1 (2 nA)n 12 n(n1) A n1 2 n(n1) A * 或利用(kA) *k n1 A*，那么 (2A)*2 n1 A*(2 n1 )n A *2 n2n A 故应选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 用性质有 C (一 1)mn3A 一 B(一 1)mn3mA(一 1)nB(一 1)(m1)n 3mab故应选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】
6、 B【试题解析】 对于范德蒙行列式 (x1)(2 1)(2x)3(x1)(x2)因为 x一 2 时，行列式的值为 0但 D0 时，x 可以为 1所以 x一 2 是 D0 的充分而非必要条件故应选 (B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 AB(E T)(E2 T)E 2 T 一 T 一 2TTE T 一2T(T)注意 T ，故 ABE应选(B)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA* A *AAE， A mApA pAmA mp ，(A E)(AE)(A E)(A E)A 2 一 E，所以(A) 、(B)、(D)均正确【知识模块】 线性代数8 【
7、正确答案】 C【试题解析】 (A 1 B 1 )(EA 1 B 1 )(B 1 BA1 B 1 )1 B 1 (BA1 AA 1 )1 B 1 (BA)A 1 1 (A 1 )1 (BA) 1 (B1 )1 A(AB) 1 B 故应选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 ，但 AB0，所以(A)，(B)均不正确又如 ，有 AB0，但 A0 且B0可见(D)不正确由 AB0 有AB0，有AB0故A 0或B 0应选(C)注意矩阵 A0 和行列式A 0 是两个不同的概念，不要混淆【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，
8、然后第 l，3 两列互换可得到矩阵B，A 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在(A)、(B)中选择而 P3 表示第 1 和 3 两列互换，所以选 (B)【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)1，所以A0或作矩阵乘法 A ，由 A 中两行元素成比例可知A0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 -4【试题解析】 用kAk nA及A 1 ，可知2A 1 (一 2)3A 1 一 8. 又A2，从而
9、一 2A1 一 4【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 180【试题解析】 因 AB( ，3 1，4 2，2 3)，故 A B ，3 1，4 2，2 324 ， 1， 2， 3 24， 1， 2， 3 24 A4B180【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 从而k1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 ，0【试题解析】 用定义A 11一 3，A 126，A 13一 3，A 216，A 22一12，A 236，A 31一 3，A 326，A 33一 3，故 因为r(A*)1，A *的二阶子式全为 0，故(A *)*0【知识模块
10、】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 因 B(A2E)(A3E)，又 5B 1 ，故【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (4EA)【试题解析】 由(A2E)(A 一 4E)9EA 2 一 2AE0 有(A2E) (4EA)E所以 (A2E) 1 (4EA)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)1 A，而A 所以(A *)1 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *k n1 A*，故(3A) *3 2A*，又 A*A A 1 ，【知识模块】 线性代数23 【正确答
11、案】 x4 或 x一 5【试题解析】 A 不可逆 A0而故 x4 或x一 5【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 修改后的行列式第 j 列为(a 1j，a ij1，a nj)T (a1j，a ij，a nj)T(0，1，0) T，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 A1j【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 修改后的行列式第，列为(a 1j1， ，a ij1l ，a nj11)T (a1j1，a ij1，a nj1) T(1，1， ，1) T，对它分解(性质)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设原来行列式的列向量依次为 1， 2， s，记(1， 1，1) T则改变后的行列式为 1， 2， s对它分解(用性质 ，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，) 分为 2n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1， 2， s是 n1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是 (这样的有 n 个) ，还有一个是 1， 2， ， s即原来行列式于是【知识模块】 线性代数
