1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 97 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2为( )（A）0（B） 54（C） 2（D）242 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 AB 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆3 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2+3，
2、 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52 一 534 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 1+22+33（D）2 1325 （A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P16 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵 B=(1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线
3、性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定7 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题8 设 A= ，则 A1 =_9 设 ，且 ， ， 两两正交，则 a=_，b=_10 设 5x12+x22+tx324x
4、 1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_11 设 A= ，A0 且 A*的特征值为一 1，一 2，2，则a11+a22a 33=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A= ，且 AX+AE=A *+X，求 X13 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关14 设三维向量空间 R3 中的向量 在基 1=(1，一 2，1) T， 2=(0，1，1)T， 3=(3，2，1) T 下的坐标为(x 1，x 2，x 3)T，在基 1， 2， 3 下的坐标为(y1，y 2，y 3)T，且
5、 y1=x1 一 x2 一 x3，y 2=一 x1+x2， y3=x1+2x3，求从基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵15 就 a，b 的不同取值，讨论方程组 解的情况16 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量，若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由16 设 为 n 维非零列向量，A=E 一 17 证明：A 可逆并求 A1 ；18 证明： 为矩阵 A 的特征向量18 设 19 求 PTCP；20 证明：D 一 BA1 BT 为正定矩阵21 设 A 是
6、 n 阶正定矩阵，证明：E+A122 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，B=2，求 23 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak1 0，而 Ak=0证明：向量组 ，A ，A k1 线性无关24 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解24 设矩阵 A= 25 若 A 有一个特征值为 3，求 a；26 求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵27 (1)设 A， B 为 n 阶矩阵，EA=E 一 B，且 A，B 都可相似对角化，证明：AB(2) 设 ，矩阵 A，B 是否相似?若 A，B 相似，求可
7、逆矩阵 P，使得 P1 AP=B28 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学一（线性代数）模拟试卷 97 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以 A 有特征值一 1，于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2=54 ，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB= A B，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)【
8、知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 (C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1+3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A(1+3)=01 一 23=一 23，故一 23=0(1+3)或 01+(0+2)3=0，因为 1， 3 线性无关，所以有
9、0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 33 一 1 及1+22+33 也不是特征向量，显然 2132 为特征值 0 对应的特征向量，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，所以B1 =P21 P11 A1 或 B1 =P11 P21 A1 ，注意到 Eij1 =Eij，于是 B1 =P2P1A1 或B1 =P1P2A1 ，选(C) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以
10、4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11x 22x 33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组 x11+x22x 33=4有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代
11、数9 【正确答案】 a=-4，b-13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 ，解得 a=一 4，b=一 13【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A= ，因为二次型为正定二次型，所以有50， =10，A0，解得 t2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为A *=A 2=4，且A0，所以A =2，又AA*=AE=2E，所以 A1 = A*，从而 A1 的特征值为 ，一 1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为一 2，一 1，1，于是 a11+a22+a33=一 21+1=一 2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应
12、写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由 AX+AE=A *+X 得(AE)X=A *一A E=A *一 AA*=(EA)A*，因为E A= 一 30，所以 EA 可逆，于是 X=一 A*，由A=6 得X=一 6A1 ，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 方法一令 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，即(k1k 2k 3)1(k 12k 24k 3)2(k 13k 29k 3)3=0，因为 1， 2， 3 线性无关，所以有 ，而 D= ，由克拉默法则得 k1=k2=k3=0，所以1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关方
13、法二令 A=(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)，则 B= 可逆，所以 r(B)=r(A)=3，故1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为 =(1， 2， 3)X，=( 1， 2， 3)Y，由 y1=x1 一 x2 一x3，y 2=一 x1+x2，y 3=x1+2x3 得 Y= X，由( 1， 2， 3)X=(1， 2， 3)Y，得(1， 2， 3)X=(1， 2， 3)Y=(1， 2， 3) X，于是( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)，故从基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡
14、矩阵为 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 AX=X 得 A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量，若 A2X=X，其中 A= ，A 2=O,A2 的特征值为 =0，取 X=，显然 A2X=0X，但 AX= 0X，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A2= =E所以 A 可逆且 A1 =A【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 A= =2=一 ，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为一 1【知识模块】
15、线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 C= 为正定矩阵，所以 AT=A，D T=D，P TCP= 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 C 与 为正定矩阵，故 A 与 D 一 BA1 BT 都是正定矩阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 方法一因为 A 是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 QTAQ=，其中 10， 20， n0，因此 QT(A+E)Q= ，于是Q T(A+E)Q=A+E =( 1+1)(2+1)( n+1)1方法二 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 10， 20， n0，因此 A+E 的特征值为1+11, 2+11， n+11，故AE
16、=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由B = 123=2 得 3=1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 1 的特征值为 ，因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B *=4 ，(2B) *=4B *=4 3B *=256，故【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 l0+l1A+l k1 Ak1 =0(*)(*)两边同时左乘 Ak1 得l0Ak1 =0，因为 Ak1 0，所以 l0=0；(*)两边同时左乘 Ak2 得 l0Ak1 =0，因为A
17、k1 0，所以 l1=0，依次类推可得 l2=lk1 =0，所以 ，A，A k1 线性无关【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 方程组 =0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解，因为=0 有非零解，故方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 E 一 A=( 2 一 1)2 一(a+2)+2a 一 1，把 =3 代入上式得a=2，于是 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由E 一 A2=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1 时，由(EA 2)X=0 得 1=(1， 0，0，0) T，
18、 2=(0，1，0 ，0) T， 3=(0，0，一 1，1) T；当=9 时，由(E-A 2)X=0 得= 4=(0，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3= ，将 4 规范化得 4= 令P=(1， 2， 3， 4)= 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因为E 一 A=EB，所以 A，B 有相同的特征值，设为 1， 2， N，因为 A，B 都可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 由 P1 1AP1=P21 BP2 得(P 1P21 )1 A(P1P21 )=B，取 P1P21 =P，则P1 AP
19、=B，即 AB (2)由E 一 A= =( 一 1)2( 一 2)=0 得 A 的特征值为1=2， 2=3=1；由E 一 B= =( 一 1)2( 一 2)=0 得 B 的特征值为1=2， 2=3=1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 必要性：设 BTAB 是正定矩阵，则对任意的X0，X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 充分性：反之，设 r(B)=n，则对任意的X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0， 因为(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵，所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
