1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为 ，则自 (1) 4， 5； (2) 3， 5； (3) 1， 5； (4) 2， 3 那么正确的共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 已知 1， 2， 3，是非齐次线性方程组 Ab 的三个不同的解，那么下列向量1 2， 1 22 3， (2 1)， 13 22 3 中能导出方程组 A0 的解向量共有( )（A）4 个（B） 3 个（C） 2 个（D）1 个3 已知 1(1，1，1) T， 2(1，2，0)
2、 T 是齐次方程组 A0 的基础解系，那么下列向量中 A0 的解向量是( )（A）(1 ，1，3) T（B） (2，1，3) T（C） (2，2，5) T（D）(2 ，2，6) T4 设 n 元齐次线性方程组 A0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 A0 有非零解的充分必要条件是( )（A）rn（B） rn（C） rn（D）rn5 已知 4 阶方阵 A( 1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若1 22 3， 1 2 3 4，2 13 2 32 4 ，k 1，k 2 为任意常数，那么 A 通解为( )6 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 A
3、b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程 A 0 的基础解系，k 1，k 2 为任意常数，则方程组 Ab 的通解是( )（A）k 11k 2(1 2)（B） k11k 2(1 2)（C） k11k 2(1 2)（D）k 11k 2(1 2)7 三元一次方程组 所代表的三个平面的位置关系为( )二、填空题8 设 A 为 33 矩阵，且方程组 A0 的基础解系含有两个解向量，则 r(a)_9 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 1， 2 是齐次线性方程组 A0的两个线性无关的解，则 r(A)*_10 设 A ，若 A0 的解空间是二维空间，那么a_11 方程组 有非零
4、解，则 k_12 设 A ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*0 的通解是_13 已知方程组 ，总有解，则 应满足的条件是_14 已知方程组 ，有无穷多解，那么 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 AE T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：(1)A 2 A 的充分条件是 T1； (2)当 T1 时，A 是不可逆矩阵16 已知方程组 的一个基础解系为(b11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，b n，2n )T试写出线性方程组 的通解，并说明理由17 设 1， 2
5、， ， s 为线性方程组 A0 的一个基础解系， 1t 11t 22， 2t 12t 23， st 1st 21 其中 t1，t 2 为实常数试问t1，t 2 满足什么条件时， 1， 2， s 也为 A0 的一个基础解系18 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1a2by3c 0， l2b2cy3a0， l 3c2ay 3b0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 ab c019 求下列齐次线性方程组的基础解系： (3)n1(n1) 22 n-1 n020 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 1(0，1，2，3)T， 2(3，2，1，0) T21 设四元齐次线性方程组 求：(1)方
6、程组与的基础解系； (2)与的公共解22 设 A (1)求满足 A2 1，A 23 1 的所有向量 2， 3； (2)对(1)中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3 线性无关23 设 已知线性方程组 Ab，存在两个不同的解 (1)求 ，a； (2)求方程组 Ab 的通解24 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值25 已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 C0 的基础解系，B是 m 阶可逆矩阵，证明：BA 的行向量也是齐次方程组 C0 的基础解系考研数学一（线性方程组）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
7、确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r(A)3，有 n r(A)532，故应当有 2 个自由变量 由于去掉 4， 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与r(A)不相等，故 4， 5 不是自由变量同理， 3， 5 不能是自由变量 而 1， 5与 2， 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0所以应选 B【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 由 Aib(i1，2，3)有 A( 1 2)A 1A 2b b0， A(1 22 3)A 1A 22A 3bb 2b0， A0， A( 13 22 3)A 13A 22A 3b3b2b0， 那么， 1 2， 1 22 3，
8、(2 1)，1 322 3 均是齐次方程组 A0 的解 所以应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A 选项是 A0 的解，则 D 选项必是 A0 的解因此选项A、D 均不是 A0 的解 由于 1， 2 是 A0 的基础解系，那么 1， 2 可表示A0 的任何一个解 ，亦即方程组 11 22 必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，5)T 不能由 1， 2 线性表示所以应选 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 将矩阵 A 按列分块，A( 1， 2， n)，则 A0 的向量形式为 11 22 nn0， 而 A0 有非零解 1， 2，
9、n 线性相关r(1， 2， ， n)n r(A)n 所以应选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 由 12 2 3 知 即1 (1，2，1，0) T 是 A 的解同理 2(1 ，1，1，1) T， 3(2，3，1，2) T 也均是 AB 的解，那么 1 1 2(0 ，1，2，1) T， 2 3 2(1，2，0，1) T 是导出组 A0 的解，并且它们线性无关于是A0 至少有两个线性无关的解向量，有 nr(A)2，即 r(A)2，又因为 1， 2 线性无关，有 r(A)r( 1， 2， 3， 4)2所以必有 r(A)2，从而 nr(A)2，因此 1， 2 就是 A0 的基
10、础解系，根据解的结构，所以应选 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为 所以选项A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ab 的特解，故均不正确 对于选项 D，虽然( 1 2)是齐次线性方程组 A0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B 事实上，对于选项 B，由于 1(1 2)与 1， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1，( 1 2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可 是齐次线性方程组 Ab 的_个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 设
11、方程组的系数矩阵为 A，对增广矩阵 作初等行变换，有因为 r(A)2，而 r( )3，方程组无解，即三个平面没有公共交点又因平面的法向量，n 1(1，2，1) ，n 2(2，3，1)，n3(1，1，2)互不平行所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱所以应选C【知识模块】 线性方程组二、填空题8 【正确答案】 1【试题解析】 由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为 33 阶，因此 r(A)nr321【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 A0 的两个线性无关的解因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与
12、系数矩阵秩的关系，因此有 nr(A)2 ，即 r(A)3又因为 A 是五阶矩阵，而 r(A)3，因此A的 4 阶子式一定全部为 0，因此代数余子式 Aij，恒为零，即 A*O，所以 r(A*)0【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 1 或 5【试题解析】 解空间是二维的，即 A0 的基础解系由两个向量组成，因此nr(A) 2，即 r(A)2，对矩阵 A 作初等变换有由此可见 a5 或者 a1时，r(A)2【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 1【试题解析】 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 12(k1) 0，因此得k1【知识模块】 线
13、性方程组12 【正确答案】 k 1(1，2，1) Tk 2(1，0，1) T【试题解析】 A 是一个 3 阶矩阵，由已知得A0，且 r(A)2，因此 r(A*)1，那么可知 nr(A *) 312，因此 A*0 有两个基础解系，其通解形式为k11k 22又因为 A*AAE0，因此矩阵 A 的列向量是 A*0 的解，故通解是 k 1(1，2，1) Tk 2(1，0，1) T【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即A0，由 A (5 4)(1)0， 可知 1 且 【知识模块】 线性方程组
14、14 【正确答案】 3【试题解析】 线性方程组 Ab 有解的充分必要条件是 r(A)r( )，而有无穷多解的充分必要条件是 r(A)r( )n，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r(A)2，则可以推出62a0，因此方程组有无穷多解的充分必要条件是 a3【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)A 2 (E T)(E T)E2 T( T)T (2 T)T， 因此A2A E(2 T)TE T (T1) T0 因为 0，所以 T0，因此A2A 的充要条件为 T1 (2) 当 T1 时，由 AE T 可得 A T0， 因为 0，因此 A0 有非零
15、解，即A0，所以 A不可逆【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 由题意可知，线性方程组()的通解为 yc 1(a11，a 12，a 1，2n )T c2(a21，a 22，a 2，2n )Tc n(an1，a n2，a n，2n )T， 其中 c1，c 2，c n 是任意的常数 这是因为： 方程组()和() 的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 ABT0，因此 BA T(AB T)T0。 可见 A 的 n 个行向量的转置为()的 n 个解向量 由于 B 的秩为 n，因此()的解空间的维数为 2nr(B)2nnn，又因为 A 的秩是 2n 与 () 的解空间的维数的差，即 n，因此 A
16、 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成 ()的一个基础解系，因此得到()的上述的一个通解【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 因为 i(i1，2，s)是 1， 2， s 的线性组合，且1， 2， s 是 A0 的解据齐次线性方程组解的性质知 i(i1，2，s) 均为 A0 的解 从 1， 2， s 是 A0 的基础解系知 snr(A) 以下分析1， 2， s 线性无关的条件： 设 k11k 22k ss0，即 (t 1k1t 2ks)1 (t2k1t 1k2)2(t 2k2t 1k3)3(t 2ks-1t 1ks)s0， 由于 1， 2， s 线性无关，因此有 又因系数行
17、列式当 t1s(1) s+1t2s0 时，方程组(*)只有零解 k1k 2k s0 因此当 s 为偶数，t 1t2，或当 s 为奇数，t1t 2 时， 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 必要性：设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则其线性方程组有唯一解，故系数矩阵 A 与增广矩阵的秩均为 2，于是 0。 因为 6(a bc)(a 2b 2c 2abacbc) 3(a bc)(ab) 2(bc) 2(ca) 2， 但根据题设可知(ab) 2(bc) 2(c a) 20，故 ab c0 充分性：由abc0，则从必要性的证明中可知， 0，故 r( )3由于故
18、 r(A)2于是， r(A)r( )2 因此方程组(*) 有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 (1) r(A)2因此基础解系的个数为 422，又原方程组等价于 取31， 45，得 14， 22；取 30， 44，得 10， 21 因此基础解系为 (2) r(A)2，基础解系的个数为 422， 又原方程组等价于 取 31， 42 得 10， 20；取 30， 419，得 11， 27 因此基础解系为 (3)记 A(n，n1，1)，可见 r(A)1，从而有n1 个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为 nn 1(n1)22 n-1，
19、取 11， 2 3 n-10，得 nn； 取21， 1 3 4 n-10，得 n(n1)n1； 取 n-11， 1 2 n-20，得 n2 所以基础解系为 (1， 2， n-1)【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 设所求齐次方程为 A0， 1， 2 是 4 维列向量，基础解系含有2 个向量，因此 r(A)4 22，即方程的个数大于等于 2 记 B( 1， 2)，且 A的基础解系为 1， 2，因此有 AB0，且 r(A)2 即 B TAT0 且 r(AT)2， 所以AT 的列向量就是 BT0 的一个基础解系 B T( 1， 2)T得基础解系A 对应其次线性方程组为【知识模块】 线性方程组
20、21 【正确答案】 (1)求方程组的基础解系： 系数矩阵为分别取 ，其基础解系可取为求方程的基础解系： 系数矩阵为分别取 ，其基础解系可取为(2)设 (1， 2， 3， 4)T 为与的公共解，用两种方法求 的一般表达式： 是与 的公共解，因此 是方程组 的解，方程组为与合并的方程组，即 其系数矩阵取其基础解系为(1，1，2，1)T，于是与的公共解为【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 (1)对增广矩阵(A 1)作初等行变换，则得 A0 的基础解系(1， 1，2) T 或者 A 1 的特解(0，0，1) T 故 2(0，0，1) Tk(1，1，2) T或 2(k，k，2k1) T，其中 k
21、 为任意常数 由于 A2 ，对增广矩阵(A 2 1)作初等行变换，有得 A20 的基础解系(1， 1，0) T，(0，0，1) T 又 A2 1 有特解( ，0，0) T故 3( ，0，0)T t1(1，1 ，0) Tt 2(0，0，1) T 或 3( t，t，t) T，其中 t1，t 2 为任意常数 (2)因为 所以， 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 (1)由已知可得，线性方程组 Ab 有两个不同的解，则 r(A)r()n 则有 A ( 1)( 1) 20 可得 1 或 1 当 1 时，有 r(A)1，r( )2，此时线性方程组无解 当 1 时， 若 a2
22、，则r(A)r(*)2，方程组 Ab 有无穷多解 故 1，a 2 (2) 当1，a2 时， 所以方程组 Ab 的通解为k(1，0，1) T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 由于方程组()中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组() 必有非零解那么方程组 ()必有非零解() 的系数行列式为 0，即对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有则方程组()的通解是 k(1，1，1)T 因为(1 ，1，1) T 是方程组 ()的解，则有当 b1，c2 时，方程组()为 其通解是 k(1，1，1) T，所以方程组()与()同解 当b0，c1 时，方程组 ( )为 由于 r()1，而 r()2，故方程组()与() 不同解，则 b 0，c1 应舍去 因此当 a2，b1，c 2 时，方程组()与() 同解【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由已知可得 A 的行向量是 C0 的解，即 CAT0则 C(BA)T=CATBT0B T0可见 BA 的行向量是方程组 C0 的解 由于 A 的行向量是基础解系，所以 A 的行向量线性无关，于是 mr(a)nr(C) 又因为 B 是可逆矩阵，r(BA) r(a)mnr(C)，所以 BA 的行向量线性无关，其向量个数正好是nr(C)，从而是方程组 C0 的基础解系【知识模块】 线性方程组
