1、考研数学一（综合）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1 （B） 1+2， 2+3， 3+1 （C） 1-22， 2-23， 3-21 （D） 1+22， 2+23， 3+21 2 设向量组 I： 1， 2，.， r 可由向量组： 1， 2，.， s 线性表示下列命题正确 的是（A）若向量组 I 线性无关，则 rs（B）若向量组 I 线性相关，则 rs.（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性相关，则 rs3 设有任意两个 n 维向量组
2、 1， 2，.， m 和 1， 2，., m，若存在两组不全为零的数 1， 2，.， m,k1，k 2，.，k m，使( 1+k1)+2+k2)2+.+(m+km)m+=(1-k1)1+(2-k2)2+( m-km)m=0， 则（A） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性相关（B） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性_无关（C） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性无关（D） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关4 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行
3、向鞋组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3.（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 56 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时
4、仪有零解（D）当 mn 时必有非零解7 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量8 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 2+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1) （C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2
5、-1)+k2(3-1)9 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（A）k 11+k2(1+2)+(1-2)/2（B） k11+k2(1-2)+(1+2)/2（C） k11+k2(1+2)+(1-2)/2（D）k 11+k2(1-2)+(1-2)/210 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 A
6、x=b 有唯一解（D）r0，P(A 丨 B)=1，则必有（A）P(AB)P(A).（B） P(AB)P(B)（C） P(AB)=P(A)（D）P(AB)=P(B)17 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1=掷第一次出现正面，A 2=掷第二次出现正面 ， A3=正、反面各出现一次，A 4=正面出现两次 ，则事件（A）A 1，A 21，A 3 相互独立（B） A2，A 3，A 4 相互独立（C） A1，A 2，A 3 两两独立（D）A 2，A 3，A 4 两两独立18 某人向向一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，p(00时，矩阵 B 为正定矩阵考研数学一（综合）模拟试卷 43 答案与
7、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 这一类题目，最好把观察法与( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 法相结合因为 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于 (B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理 1+2， 2+3， 3+1 线性无关【知识模块】 综合2 【正确答案】 A【试题解析】 因为向量组 I 可由线性表出所以 r(1， 2，.， r)r(1， 2，.， s)s 如果向量组 1 线性无关，则
8、r(1， 2，.， r)=r可见(A)正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(0，0，0) T， 1=(1， 0，0) T， 2=(0，1，0)T， 3=(0，1， 0)T，可知(B) 不 正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(2，0，0)T， 3=(3，0， 0)T， 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T，可知(C) 不正确 关于(D)，请同学举一个简单的反例说明其不正确如：当向量组 1 只包含(0，0) T，向量组由(1， 0)T 与(0，0) T 组成时，便可否定选项(B) 与(D)【知识模块】 综合3 【正确答案】 D【试题解析】 若向量组 1， 2，.， m 线
9、性无关，即 若 x11+x22+xss=0，必有 x1=0，x 2=0，x s=0既然 1， 2，.， m 与 k1，k 2，.，k m 不全为零， 由此推不出某向量组线性无关，故应排除(B)，(C) 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0， 不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0，不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 1(1+1)+2(2+2)+ m(m+m)+k1(1-1)+k2(2-2)+km
10、(m-m)=0，又 1， 2，.， m，k 1，k 2，.，k m 不全为零，故1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关故应选(D)【知识模块】 综合4 【正确答案】 A【试题解析】 若设 A=(1，0)，B=(0，1) T，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向景组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A) 正确【知识模块】 综合5 【正确答案】 B【知识模块】 综合6 【正确答案】 D【知识模块】 综合7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说 明有代数余
11、子式 Aij0，即丨 A 丨中有 n-1 阶子式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系仅含有一个非零解向量应选(B)【知识模块】 综合8 【正确答案】 C【试题解析】 分析一 因为 1， 2， 3 足 Ax= 的 3 个线性无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解从而 n-r(A)2，即 3-r(A)2 r(A)1 显然 r(A)l，凶此 r(A)=1 由 n-r(A)=3-1=2，知(A)、(B)均不正确 又 A（ 2+3）/2=1/22+1/2A3=,故 1/2(2+3)是方程组 Ax= 的解所以应选(C)， 注意：1/2
12、(2+3)是齐次方程组 Ax=0 的解 分析二 用排除法( 2+3)/2 三是齐次线性方程组 Ax=0 的解，所以可排除选项(B)，(D)；又 2-1， 3-1 线性无关，所以 Ax=0 的基础解系至少包含 2 个解向量，从而可排除选项(A)因此应选(C) 【知识模块】 综合9 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查解的性质与解的结构从 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，知Ax=b 的通解形式为 k 11+k21+, 其中， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解 由解的性质知： 1， 1+2，( 1-2)/2， 1-2,1-2 都是 Ax=0 的解，( 1+2)是Ax=b
13、 的解 那么(A)中没有特解 ，(C) 中既没有特解 ，且 1+2 也不是 Ax=0 的解(D)中虽有特解，但 1， 1-2 的线性相关性不能判定，故(A) 、(C)、(D)均不正确 唯(B) 中，( 1-2)/2 是 Ax=b 的解， 1， 1+2 是 Ax=0 的线性无关的解，是基础解系故应选(B)【知识模块】 综合10 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若秩 r(A)=m，则m=r(A)r(A， b)m于是 r(A)=r(A，b) 故方程组有解，即应选(A)或，由 r(a)=m，知 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的 m 个行向量
14、也是线性无关的亦知 r(A)=r(A，b)关于(B) 、(D)不正确的原因是：由 r(A)=n 不能推导出 r(A，b)=n(注意 A 是 mn 矩阵，m 可能大于 n)，由 r(A)=r 亦不能推导出 r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子?至于(C)，由克莱姆法则，r(A)=n 时才有唯一解，而现在的条件是 r(a)=r，因此(C)不正确本题答对的同学仅 40，一是由 r(A)=m 不会分析出 r(A，b)=m，一是由 r(A)=n误认为必有 r(A)=n【知识模块】 综合11 【正确答案】 A【试题解析】 若 是(I) 的解，则 A=0，那么 (A TA)=AT(A)：A T0=0，
15、即 是()的解 若 是( )的解，有 ATA=0，用 T 左乘得 TATA=0，即(A) T(A)=0 亦即 A 自己的内积 (A，A)=0 ，故必有 A=0，即 是(I)的解 所以(I) 与()同解，故应选 (A)【知识模块】 综合12 【正确答案】 B【知识模块】 综合13 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故(P -1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(pT)-1那么，由A= 知(P -1AP)T(pT)=PTA(PT)-1(pT)=PTA=A(pT) 所以应选(B)【知识模块】 综合14 【正确答案】 D【知识模块】 综合15 【正确答案】 C【试题解析】 事件
16、T (4)t0表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0；T (3)t0表示至少有两个温控器的温度不低于 t0，即 E=T(3)t0，应选(C) 【知识模块】 综合16 【正确答案】 C【知识模块】 综合17 【正确答案】 C【试题解析】 P(A 1)=1/2， P(A 2)=1/2，P(A 3)=2/4=1/2， P(A 4)=1/4 P(A1A2)=P(A4)=1/4， P(A 2A3)=P(A2A3)=1/4， P(A 1A2A3)=P()=0 计算看出 P(A1A2)=P(A1)P(A2)，P(A1A3) =P(A1)P(A3)，P(A 2A3) =P(A2)P(A3)，但是 P
17、(A 1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)因此事件 A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立应选(C) 进一步分析，由于事件 A2 A4，故 A2 与 A4 不独立因此不能选(B) 与(D)【知识模块】 综合18 【正确答案】 C【试题解析】 设事件，A=“第 4 次射击恰好第 2 次命中目标”，则 A 表示共射击 4次，其中前 3 次只有 1 次击中目标，且第 4 次击中目标因此 P(A)=3p 2(1-P)2 选(C)【知识模块】 综合19 【正确答案】 A【知识模块】 综合二、填空题20 【正确答案】 1/2【知识模块】 综合21 【正确答案】 1【试题解析】 用定义A 1=0=
18、01，A(2 1+2)=A2=21+2，知 A 的特征值为 1和 0A 的非 0 特特征为 1【知识模块】 综合22 【正确答案】 2【知识模块】 综合23 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值【知识模块】 综合24 【正确答案】 3/4【知识模块】 综合25 【正确答案】 13/48【知识模块】 综合26 【正确答案】 11/24【试题解析】 设事件 Ai=“实习生制造的第 i 个零件是合格品”，i=1，2，3，依题意，A 1，A 2，A 3 相互独立。【知识模块】 综合三
19、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 (定义法) 若有一组数 k,k1，k 2，.，k t，使得 k+k 1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，.， t 是 Ax=0 的解，知 Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左【试题解析】 (用秩) 经初等变换向量组的秩不变把第 1 列的-1 倍分别加至其余各列，有 (，+ 1，+ 2，+ t)( ， 1， 2，.， t) 因此 r(，+ 1，+ 2，+ t)=r(,1， 2，.， t) 由于 1， 2，.， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩 r(1， 2，.， t)=t，又 必不能由 1， 2，.， t 线性表出(否则 Aft=0)，故 r(1， 2，.， t,)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2，+ t)=t+1 即向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 综合28 【正确答案】 因为 BT=(B+ATA)T=E+ATA=B，所以 B 是 n 阶实对称矩阵构造二次型 xTBx， 那么 x TBx=xT(E+ATA)x=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax) Vx0，恒有 xT【知识模块】 综合
