1、考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，若 r(A*)=1则 a=( )（A）3（B） 2（C） 1（D）1 或 32 设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0A *是 A 的伴随矩阵，则A *等于( )（A）a（B）（C） an-1（D）a n3 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（A）A+B = A+B（B） AB=BA（C） AB =BA（D）(A+B) -1=A-1+B-14 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单
2、位阵，则必有( )（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E5 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定6 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 或 a+2b07 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可
3、逆矩阵 Q 为( )8 已知矩阵 A= ，那么下列矩阵中与矩阵 A 相似的矩阵个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 设 A= ，则其逆矩阵 A-1=_10 设 A= ，且 r(A)=2，则 k=_11 设 A= ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 a=_12 已知 n 阶矩阵 A= ，则 r(A2-A)=_13 设 n 阶矩阵 A 满足 A2=A，E 为 n 阶单位阵，则 r(A)+r(A-E)=_14 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_15 已知 1=(1，0，0) T， 2=(1，2，-1) T， 3
4、=(-1，1，0) T，且 A1=(2，1) T，A 2=(-1，1) T，A 3=(3，-4) T，则 A=_16 设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=，则(B-2E) -1=_17 设 A= ，且 A，B，X 满足(E-B -1A)tBtX=E，则 X-1=_18 设矩阵 A 与 B= 相似，则 r(A)+r(A-2E)=_19 设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A2-2A-8E=O，则 r(4E-A)+r(2E+A)=_20 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= 则 B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤。21 (1)设 A= ，求 (A)=A10-5A9；(2)设 A= ，求 (A)=A10-6A9+5A822 设 A= ，求一个 42 矩阵 B，使 AB=0，且 r(B)=223 设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A *为 A 的伴随矩阵，证明24 设矩阵 A= 相似，求 x，y；并求一个正交矩阵 P，使 P-1AP=A25 已知 A= ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A25 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵26 计算并化简 PQ；27 证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b28 设
6、， 为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)229 设 A= ，求 An考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式所以a=1 或 a=3 时，均有 r(A*)=1因此应选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 对 AA*=AE 两边取行列式，得 AA *=AE=A n 由A=a0，可得A *= A =a n-1所以应选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为AB=AB= BA
7、=BA，所以 C 正确 对于选项 A，取 B=-A，则A+B=0 ，而A+B不一定必为零，故 A 错误 对于选项 B，由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确 对于选项 D，因(A+B)(A -1+B-1)E，故 D 也不正确 所以应选 C【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 ABC=E，可知A(BC)=E 或(AB)C=E，即 A 与 BC 以及 Aj5与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项，所以应选 D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与
8、C 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)所以应选 C【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A*秩的关系可知，r(A)=2，即 A 为降秩矩阵，从而 故有 a+2b=0 或 a=b 但当 a=b时，r(A)=1故必有 ab 且 a+2b=0，所以应选 C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，有【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 AA= ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似 (1)和
9、(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于(3)和(4)，由 可见(4)亦与 A 相似，而(3)与 A 不相似所以应选 C【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 -2【试题解析】 对 A 作初等变换，因此 r(A)=2 时，故k=-2【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=0，则有 r(A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式A=0 而【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 1【试题解析】 根据
10、A2-A=A(A-E)，已知矩阵 A= ，A 是可逆矩阵，因此 r(A2-A)=r(A-E)，而 r(A-E)=1，所以 r(A2-A)=1【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 n【试题解析】 由已知 A2=A，则有 A(A-E)=A2-A=A-A=O，所以 r(A)+r(A-E)n 又 r(A-E)=r(E-A)， 则 r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n， 因此 r(A)+r(A-E)=n【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 左乘矩阵 A，并把等式 AA*=AE 代入已知矩阵方程，得XX=E+2AX，移项可得(AE-2A)X=E，因此
11、X=(A E-2A) -1 已知A=4，所以【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A1， 2， 3=A1，A 2，A 3= ，那么【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，则有 (A-3E)(B-2E)=6E从而【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 由(E-B -1A)TBTX=E，得B(E-B -1A)TX=E，即(BE-BB -1A)TX=E，也就是(B-A) TX=E，因此 X-1=(B-A)T=【知识模块】 矩阵18 【正确答案】
12、3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A-2E 与 B-2E 相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 n 【试题解析】 根据已知 A2-2A-8E=O，可得(4E-A)(2E+A)=O ，根据矩阵秩的性质可知 r(4E-A)+r(2E+A)n ， 同时 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n， 因此 r(4E-A)+r(2E+A)=n【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知，A 可逆，已知 A-1BA=6A+BA，在该等式的两
13、端右乘A-1，则有 A-1B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(E-A)B=6A ，即 B=6(E-A)-1A，且【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 (1)A 的特征多项式为解得 A 的特征值为 1=1， 2=5 对于 1=1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量 对于 2=5，解方程(A-5E)x=0 ，得单位特征向量 于是有正交矩阵 P= ，使得 P-1AP=diag(1，5)=A，从而 A=PAP-1，A k=PAkP-1 因此 (2)A的特征多项式为 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=5对于 1=-
14、1，解方程(A+E)x=0，得单位特征向量对于 2=1，解方程(A-E)x=0，得单位特征向量 对于 3=5，解方程(A-5E)x=0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 使得 P-1AP=diag(-1， 1，5)=A，A=PAP -1因此 (A)=P(A)P-1=P(A10-6A9+5A8)P-1 =PA8(A-E)(A-5E)P-1 =Pdiag(1，1，5 8)diag(-2，0，4)diag(-6 ，-4，0)P -1 =Pdiag(12，0，0)P -1【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 方法一：r(B)=2，因此可设 B= ，由 AB=O，即解此非齐次线性方程组，得唯一解 故所求矩
15、阵为 B= 方法二：设矩阵 B 按列分块 B=(b1，b 2)，由于 r(B)=2，所以 b1，b 2 线性无关 因为AB=O，即 A(b1，b 2)=O，得 Ab1=O 且 Ab2=O，也就是 b1，b 2 是方程 Ax=0 的解又 r(A)=2，则 b1，b 2 是它的一个基础解系【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 (1)当 r(A)=n 时，A0，则有 A *=A N-10 从而 A*可逆，即 r(A*)=n (2) 当 r(A)=n-1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r(A*)1 又因 r(A)=n-1 时，有A=0
16、，且由 AA*=AE 知，AA *=O 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A*)n， 把 r(A)=n-1 代入上式，得 r(A*)1 综上所述，有 r(A*)=1 (3)当 r(A)n-2 时，A 的所有 n-1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*=O，从而 r(A*)=0【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 A 与 A 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=-4，=y 是A 的特征值 因为 =-4 是 A 的特征值，所以有解得 x=4 已知相似矩阵的行列式相同，于是由 所以有-20y=-100，y=5当 =5 时，解方程(A-5E)x=0，得两个线性无关的特征向量
17、，将它们正交化、单位化得： 当 =-4时，解方程(A+4E)x=0 ，得特征向量 ，单位化得： 于是有正交矩阵使 P-1AP=A【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由得矩阵 A 的特征值 1=2=3，=0 当 =3 时，有(3E-A)x=0，且得特征向量 1=(1，-2，0) T， 2=(0，0，1) T 当 =0 时，有(0E-Ax)=0，且 得特征向量3=(-1，-1，1) T 那么，令【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A -1 有【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有因为矩阵 A可逆，行列式A0，故Q=A(b- TA-1) 由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 b-TA-10，即 TA-1b【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 方法一： r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)r()+r()2 方法二：因为 A=T+T，A 为 33 矩阵，所以 r(A)3 因为 ， 为 3 维列向量，所以存在向量 0，使得 T=0， T0， 于是 A= T+T=0， 所以 Ax=0 有非零解，从而r(A)2【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 首先观察下面用数学归纳法证明此结论成立：当 n=2 时，结论显然成立；假设 n=k 时成立，则 n=k+1 时，【知识模块】 矩阵
