1、考研数学三（n 维向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A= ，如果秩 r(A)=2，则 a 必为（A）（B） 5（C） -1（D）12 设 n(n3)阶矩阵 A= ，如伴随矩阵 A*的秩 r(A*)=1，则 a 为3 已知 Q= ，P 是 3 阶非零矩阵，且 PQ=0，则（A）t=6 时， r(P)=1（B） t=6 时，r(P)=2（C） t6 时， r(P)=1（D）t6 时，r(P)=24 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线
2、性相关，B 的列向量组线性相关 （C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示6 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量 （B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s+1 线性无关 （D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表出7 设 1， 2， 3， 4 是
3、 3 维非零向量，则下列说法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关 （C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关 （D）若 1， 2， 3， 4 任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关8 若 1， 2， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3 （B） 1+2， 1-2，- 3（C） -1+2， 2+3， 3-1 （D） 1-2， 2-3， 3-19 设向量组： 1， 2， r 可
4、由向量组： 1， 2， r 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关10 若 r(1， 2， s)=r，则（A）向量组中任意 r-1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r二、填空题11 已知 1=(2，3，4，5) T， 2=(3，4，5，6) T， 3=(4，5，6，7)T， 4=(5，6，7，8) T， 则 r(1， 2， 3， 4)=_.12 已知 n 阶矩阵 A
5、= ，则秩 r(A2-A)=_13 设 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 AB=0，则 a=_14 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 n 维列向量 1， 2， n-1 线性无关，且与非零向量 1， 2 都正交证明1， 2 线性相关， 1， 2， n-1， 1 线性无关16 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值-1，1 的特征向量，向量 满足 A3=2+3，证明 1， 2， 3 线性无关17 求向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，4) T， 3=(-3，
6、2，3，-11)T， 4=(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组18 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关?当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出19 已知向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，如果它们的秩分别为 r()=r()=3，r()=4，求 r(1， 2， 3， 4+5)20 设 A 是 n 阶矩阵，证明 r
7、(A*)=21 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，证明 r(AB)r(B)22 设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别是 ， 的转置，证明： ( )秩 r(A)2； ( )若 ， 线性相关，则秩 r(A)223 设 A 是 n 阶矩阵，A 2=E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n24 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，r(B)=n ， AB=0，证明 A=025 设 A 是 n 阶实对称矩阵，且 A2=0，证明 A=0考研数学三（n 维向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
8、 C【试题解析】 经初等变换矩阵的秩不变，对矩阵 A 作初等行变换，有由 5+4a-a2=(a+1)(5-a)， 2a 2-3a-5=(2a-5)(a+1)，可见 a=-1 时，A ， 此时秩 r(A)=2故应选(C)【知识模块】 n 维向量2 【正确答案】 B【试题解析】 由伴随矩阵秩的公式 r(A*)= ，知 r(A)=n-1，那么A=0 且有 n-1 阶子式不为 0 如 a=1，显然A 的二阶子式全为 0，故(A)不入选而 a1 时，由题设有必有(n-1)a+1=0，故应选(B)【知识模块】 n 维向量3 【正确答案】 C【试题解析】 若 A 是 mn，矩阵，B 是 ns 矩阵，且 AB
9、=0，则由 B 的每列都是Ax=0 的解，可有 r(A)+r(B)n，从而 r(P)3-r(Q)如 t=6，则 r(Q)=1，得 r(P)2因此(A)，(B)应排除如 t6，则 r(Q)=2，得 r(P)1因此(D)不正确，而 P 非零，r(P)1 ，故仅(C)正确【知识模块】 n 维向量4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，满足 AB=0，且 A，B 均为非零矩阵，那么r(A)+r(B)n，r(A)1，r(B)1所以必有 r(A)n 且 r(B)n 因为，秩 r(A)=A 的列秩n， r(B)=B 的行秩n，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线
10、性相关应选(A)【知识模块】 n 维向量5 【正确答案】 C【试题解析】 故应选(C)【知识模块】 n 维向量6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+2-3=0， 1， 2， 3 线性相关 (C)是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关 1， 2， ， s 线性无关，但由1， 2， a 线性无关 1， 2， s， s+1 线性无关 (D)是逆否命题故应选(D)【知识模块】 n 维向量7 【正确答
11、案】 C【试题解析】 若 1=(1，0) ， 2=(2，0)， 3=(0，2)， 4=(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1+3=(1，2) ， 2+4=(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B) ，取 4=-1，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0， 1)，(-1，-1，-1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1， 2， 3 线性无关，则 4 必可由 1， 2， 3 线性表出现在 4 不能由1， 2， 3 线性表出，故 1， 2， 3 必线性相关故应选(C)【知识模块】 n 维向量8
12、 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0，可知 1-2， 2-3， 3-1 线性相关故应选(D) 至于 (A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，(A)中 r(1， 1+2， 1+2+3)=r(1， 1+2， 3)=r(1， 2， 3)=3或( 1， 1+2， 1+2+3)=(1， 2， 3) 由行列式0 而知 1， 1+2， 1+2+3 线性无关【知识模块】 n 维向量9 【正确答案】 D【试题解析】 若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明 (A)，(B)，(C)均不正确
13、【知识模块】 n 维向量10 【正确答案】 C【试题解析】 秩 r(1， 2， s)=所以应选(C)【知识模块】 n 维向量二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=可见r(1， 2， 3， 4)=2 【知识模块】 n 维向量12 【正确答案】 1【试题解析】 由 A2-A=A(A-E)，又矩阵 A 可逆，故 r(A2-A)=r(A-E)，易见 r(A-E)=1【知识模块】 n 维向量13 【正确答案】 【试题解析】 因为 AB=0，有 r(A)+r(B)3又因 B0，有 r(B)1从而 r(A)3，因此行列式A=0又【知识模块】 n 维向量14 【正确答案】
14、k 1(1，2，-1) T+k2(1，0，1) T【试题解析】 由于A=0，秩 r(A)=2，知 r(A*)=1 那么 n-r(A*)=3-1=2从而A*x=0 的通解形式为：k 11+k22 又 A*A=AE=0，故 A 的列向量是 A*x=0 的解 所以 A*x=0 的通解为：k 1(1，2，-1) T+k2(1，0，1) T【知识模块】 n 维向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用 1， 2， n-1 构造(n-1)n 矩阵：A= 因为 1 与每个i 都正交，有 iT1=0，进而 A1=0，即 1 是齐次方程组 Ax=0 的非零解同理 2也是 Ax=
15、0 的解 又因 r(a)=r(1， 2， n-1)=n-1，齐次方程组 Ax=0 的基础解系仅由 n-r(A)=1 个解向量构成，从而 1， 2 线性相关若 k 11+k22+kn-1n-1+l1=0， (*) 那么，用 1 作内积，有 k1(1， 1)+k2(1， 2)+kn-1(1， n-1)+l(1， 1)=0因为( 1， i)=0 (i：1，2，n-1)，及 10，有 l(1， 1)=l 1 2=0，得到 l=0.将 l=0 代入(*)式，有 k11+k22+kn-1n-1=0由于1， 2， n-1 线性无关，得 k1=k2=kn-1=0，所以(*)中组合系数必全是零，即1， 2， n
16、-1， 1 线性无关【知识模块】 n 维向量16 【正确答案】 (1)(用定义) 据已知条件有 A1=-1，A 2=2，A 3=2+3设 k11+k22+k33=0， 用 A 左乘式的两端，并代人已知条件，有 -k11+k22+k3(2+3)=0 -得 2k 11-k22=0 由于 1， 2 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，所以 1， 2 线性无关，从而 k1=0， k3=0 将其代入 式得k22=0因为 2 是特征向量，必有 20，从而 k2=0 因此， 1， 2， 3 线性无关 (2)(用反证法) 设 1， 2， 3 线性相关，由于 1， 2 是矩阵 A 不同特征值的特征向量，所以 1，
17、 2 必线性无关从而 3 可以由 1， 2 线性表出不妨设 3=k11+k22， 用 A 左乘 式两端，并把 A3=2+3，A 1=-1，A 2=2 代入，得 2+23=-k11+k22 - 得 - 2=2k11 由此得出 1， 2 线性相关，与题设矛盾，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 n 维向量17 【正确答案】 (1)把行向量组成矩阵，用初等行变换化成阶梯形，有所以， 1， 2 是一个极大线性无关组(2) 把 i 写成列向量，构成矩阵 A，再作初等行变换化 A 为阶梯形，即那么阶梯形矩阵中每一行第一个非零元所在的列对应的列向量 1， 2 就是极大线性无关组(3)由10，所以 1
18、线性无关考察 1， 2，现 2k1，可知 1， 2 线性无关；再考察1， 2， 3，对于方程 x11+x22+x33=0，现有非零解，例如 1+52+23=0，所以1， 2， 3 线性相关，在极大线性无关组中应去掉 3最后看 1， 2， 4，因为21-2-4=0，所以添加 4 后仍线性相关，因此极大线性无关组是 1， 2【知识模块】 n 维向量18 【正确答案】 (1)记 A=(1， 2， 3， 4)，则那么，当 a=0 或 a=-10 时，A=0 ，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关 当 a=0 时， 1 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31，
19、4=41 当a=-10 时，对 A 作初等行变换，有由于2， 3， 4 为 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=-2-3-4，所以2， 3， 4 为向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=-2-3-4(2)记 A=(1， 2， 3， 4)，对 A 作初等行变换，有当 a=0 时，秩 r(a)=1，因而 1， 2， 3， 4 线性相关此时 1 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 2=21， 3=31， 4=41 当 a0 时，对矩阵 B 作初等变换有如果 a-10，则秩r(C)=4， 1， 2， 3， 4 线性无关 如果 a=-10，则秩
20、 r(C)=3，从而 r(a)=3， 1， 2， 3， 4 线性相关 由于 2， 3， 4 是 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组且 1=-2-3-4，所以 2， 3， 4 是 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，且 1=-2-3-4【知识模块】 n 维向量19 【正确答案】 (1)由 r( )=r()=3，知 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，故 4 可由 1， 2， 3 线性表出设 4=l11+l22+l33 如果 4+5 能由1， 2， 3 线性表出，设 4+5=k11+k22+k33，则 5=(k1-l1)1+(k2-l2)2+(k3-l3)3
21、于是 5 可由 1， 2， 3 线性表出，即 1， 2， 3， 5 线性相关，与已知 r()=4 相矛盾所以 4+5 不能用 1， 2， 3 线性表出，由秩的定义知r(1， 2， 3， 4+5)=4(2)如果 x11+x22+x33+x4(4+5)=0，把4=l11+l22+l33(理由同前，略)代入有 (x 1+l1x4)1+(x2+l2x4)2+(x3+l3x4)3+x45=0由 r()=4，知 1， 2， 3， 5 线性无关，从而(3)同前，设 4=l11+l22+l33，构造矩阵( 1， 2， 3， 5)作初等列变换( 1， 2， 3， 5)(1， 2， 3， 5+l11+l22+l3
22、3)，即( 1， 2， 3， 5)(1， 2， 3， 5+4)由于初等变换不改变秩，故 r(1， 2， 3， 5+4)=r(1， 2， 3， 5)=4【试题解析】 由于 r()=3，得 1， 2， 3 线性无关，那么向量组1， 2， 3， 4+5 的秩至少是 3，能否是 4？关键就看 4+5 能否用 1， 2， 3 线性表出，或者看向量组 1， 2， 3， 4+5 是线性相关还是线性无关【知识模块】 n 维向量20 【正确答案】 若 r(A)=n，则A0，A 可逆，于是 A*=AA -1 可逆，故r(A*)=n 若 r(A)n-2，则 I A I 中所有 n-1 阶行列式全为 0，于是 A*=
23、0，即 r(A*)=0 若 r(A)=n-1，则A =0 ，但存在 n-1 阶子式不为 0，因此 A*0，r(A *)1，又因 AA *=AE=0， 有 r(A)+r(A*)n，即 r(A*)n-r(A)=1，从而 r(A*)=1【知识模块】 n 维向量21 【正确答案】 (1)设 AB=C，C 是 ms 矩阵，对 B，C 均按行分块，记为用分块矩阵乘法，得即向量组 1， 2， ， m 可由向量组1， 2， n 线性表出，那么由定理有 r(AB)=r(C)=r( 1， 2， m)r(1， 2， n)=r(B)(2) 构造两个齐次线性方程组 ABx=0 ； Bx=0 ，其中 X=(x1，x 2，
24、x s)T由于方程组的解必是方程组 的解，因此 r(的解向量)r(的解向量 )即 s-r(B)s-r(AB)，从而 r(AB)r(B)(3) 设 r(B)=r，化 B 为等价标准形即有可逆矩阵 P，Q，使 对 mn矩阵 AP-1 分块为(C 1，C 2)，其中 C1 是 mr 矩阵， C2 是 m(n-r)矩阵，则有那么 r(AB)=r(ABQ)=r(C 1，0)=r(C 1)因为 C1 是mr 矩阵，故 r(C1)r=r(B)所以 r(AB)r(B)【知识模块】 n 维向量22 【正确答案】 1()利用 r(A+B)r(A)+r(B)和 r(AB)min(r(A)，r(B)，有 r(A)=r
25、(T+T)r(T)+r(T)r()+r() 又 ， 均为 3 维列向量，则r()l，r()1故 r(A)2 ()当 ， 线性相关时，不妨设 =ka，则 r(A)=r( T+k2T)=r(1+k2)T=r(T)r()12 2()因为 ， 均为 3 维列向量，故存在非零列向量 X 与 ， 均正交，即 Tx=0， Tx=0 从而 Tx=0， Tx=0，进而( T+T)x=0 即齐次方程组 Ax=0 有非 0 解，故 r(A)2 ()因为齐次方程组 Tx=0 有 2个线性无关的解，设为 1， 2，那么 T1=0， T2=0 若 ， 线性相关，不妨设=k，那么 T1=(k)T1=kT1=0， T2=(k
26、)T2=kT2=0 于是 A 1=(T+T)1=0， A 2=(T+T)2=0， 即 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，因此 n-r(A)2，即 r(A)12 【知识模块】 n 维向量23 【正确答案】 由 A2=E，得 A2-E=0，即(A-E)(A+E)=0故 r(A-E)+r(A+E)n 又 r(A-E)+r(A+E)=r(E-A)+r(A+E) r(E-A)+(A+E)=r(2E)=r(E)=n， 所以 r(A-E)+r(A+E)=n【知识模块】 n 维向量24 【正确答案】 (1)由 r(B)=n，知 B 的列向量中有 n 个是线性无关的，设为1， 2， n令 B1=(1， 2，
27、 n)，它是 n 阶矩阵，其秩是 n，因此 B1 可逆由 AB=0，知 AB1=0，那么右乘 B1-1，得 A=(AB1)B1-1=OB1-1=0(2)由 AB=0知 B=(1， 2， P)的每一列都是齐次方程组 Ax=0 的解，因为 r(B)=n，故Ax=0 至少有 n 个线性无关的解，但 Ax=0 最多有 n-r(a)个线性无关的解，于是 nn-r(A) r(A)0，按秩的定义又有 r(A)0，所以 r(A)=0，即 A=0(3)对矩阵 B 按行分块，有 那么 a111+a122+a1nn=0 因为 r(B)=r(1， 2， n)=n，知 1， 2， n 线性无关，于是组合系数 a 11=
28、a12=a1n0同理，得 aij0，即 A=0(4)由 AB=0 知r(A)+r(B)n又 r(B)=n，故 r(A)0显然 r(A)0所以必有 r(A)=O，即有 A=0【知识模块】 n 维向量25 【正确答案】 (1)因为 AT=A，A 2=0，即 AAT=0，而n，A 的元素全是 0，所以 A=0(2) 由 ATA=A2=0，那么对任一个 n 维列向量 ，有TATA=0，即(A) T(A)=0，亦即Aa=0可见 A 是零向量，即A=0也就是任一个 n 维向量口都是齐次方程组 Ax=0 的解，因而 Ax=0 有 n 个线性无关的解，于是 nn-r(A)，即 r(A)0又因 r(A)0，所以 r(A)=0，即 A=0(3)因为 A 是实对称矩阵，A 必可对角化设 P-1AP=A，则 A=PAP-1，由此可得A2=PA2P-1由于 A2=0，故 A2=0，由此可得 A=0所以，A=PAP -1=0 【知识模块】 n 维向量
