1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则（A）一 xf(0)（B）一 f(0)（C） f(0)（D）02 曲线 渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=（A）(一 1)n-1(n 一 1)!（B） (一 1)n(n 一 1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!4 下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+
2、sinx（C）（D）5 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0，1上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f(x)0 时，f(x)g(x)6 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其 2 阶导函数 f(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题7 设 ，则 f(x)=_8 曲线 在点(0，0)处的切线方程为_9 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1，0)处有公共切线，则=_.10
3、 设某商品的需求函数为 Q=40 一 2p(p 为商品的价格)，则该商品的边际收益为_11 已知 f(3)=2，则 =_.12 设 f(1+x)一 3f(1 一 x)=8x(1+sinx ) ，其中 f(x)连续，则 f(1)=_13 设 f(1)=2极限 =_.14 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则 =_.15 设 f(a)=1，f(a)=2 则 =_.16 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 证明方程 恰有两个实根18 设函数19 证明19 设生产某商品的固定成本为 60 000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为P=6
4、0 一 (p 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：20 该商品的边际利润；21 当 p=50 时的边际利润，并解释其经济意义；22 使得利润最大的定价 p22 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且 ，证明：23 存在 a0 ，使得 f(a)=1；24 对(I)中的 a，存在 (0，a)，使得24 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量，P 为价格， MC 为边际成本 为需求弹性( 0)25 证明定价模型为26 若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q2，需求函数为 Q=40 一 P，试由(I)中的定价模型确定此商品的
5、价格27 (I)设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)； (1I)设函数 u1(x)， u2(x)， un(x)可导， f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)，写出 f(x)的求导公式考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，则该曲线有水平渐近线 y=1，又则 x=1 为该曲线的一条垂直渐近线，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【
6、试题解析】 由导数定义得【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)=f(0)，g(1)=f(1) ，则直线 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 过点(0，f(0)和(1， f(1)，当 f(x)0 时，曲线 y=f(x)在区间0，1上是凹的，曲线 y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0)和(1 ，f(1) 的弦 y=f(0)(1 一 x)+f(1)x 的下方，即 f(x)g(x)故应选 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由右图知 f(x1)=f(x2)=0，f(0
7、) 不存在，其余点上二阶导数 f(x)存在且非零，则曲线 y=f(x)最多三个拐点，但在 x=x1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 x=0 和 x=x2 两侧的二阶导数变号，则曲线 y=f(x)有两个拐点，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 e 3x(1+3x)【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 等式 两端对 x 求导得将 x=0，y=0 代入上式得 21+y(0)=y(0)y(0)=一2 故所求切线方程为 y=一 2x【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 一 2【试题解析】 由题设知 f(1)=0
8、，f(1)=1 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 40 一 4p【试题解析】 由题设知收益函数为 R=pQ=p(40 2p)，则边际收益为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 一 2【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 e 2【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 设令 f(x)=0，解得驻点由单调性判别法知
9、f(x)在 上单调减少，在上单调增加，在 上单调减少因为 ，且由上述单调性可知 上的最小值，所以 是函数 f(x)在上唯一的零点又因为 所以由连续函数的介值定理知 f(x)在 内存在零点，且由 f(x)的单调性知零点唯一综上可知，f(x)在(一，+)内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 y=f(f(x) 可看作 y=f(M)，与 u=f(x)的复合，当 x=e 时由复合函数求导法则知【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 故该商品的边际利润【知识模块】
10、 一元函数微分学21 【正确答案】 当 P=50 时，销量 Q=10 000，L(10 000)=20其经济意义为：销售第 10 001 件商品时所得的利润为 20 元【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 得 Q=20 000，且 L(20 000)0，故当Q=20 000 件时利润最大，此时 P=40(元)【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 因为 ，所以存在 x00，使得 f(x0)1因为 f(x)在0，+ 上可导，所以 f(x)在0，+)上连续又 f(0)=0，根据连续函数的介值定理，存在 a(0，x 0)，使得 f(a)=1【知识模块
11、】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为函数 f(x)在区间0 ，a上可导，根据微分中值定理，存在(0， a)，使得 f(a)一 f(0)=af()又因为 f(0)=0，f(a)=1，所以【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由收益 R=pQ，得边际收益 欲使利润最大，应有 MR=MC，即 所以定价模型为【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 由题设 由(I)知 ，解得 p=30所以此商品的价格为 p=30【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (I)令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得(1I)若 f(x)=u1(x)u2(x)un(x)，则 f(x)=u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)【知识模块】 一元函数微分学
