1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 ()用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x0 可微，f(x 0)0，则当x0 时f(x)在 x=x0 处的微分与 x 比较是( )无穷小， y=f(x0+x)-f(x0)与x 比较是( )无穷小， 与x 比较是( )无穷小()设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2-x 垂直，则（A）-1 （B） 0（C） 1（D）不存在二、填空题2 设 =_3 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f 可微，则 dy=_4
2、若 y=f(x)存在反函数，且 y0，y存在，则 =_5 设函数 f(x)有任意阶导数，且 f(x)=f2(x)，则当 n2 时，f (n)(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)， g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)； ()若 x(x0-，x 0+)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在x=x0 处有相同的可导性； () 若存在 x0 的一个邻域(x 0-，x 0+，使得 x(x0-，x 0+)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在
3、x0 处有相同的可导性若可导，则 f(x0)=g(x0)7 说明下列事实的几何意义：(I)函数 f(x)，g(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)；()函数 y=f(x)在点 x=x0 处连续，且有8 设 f(x)存在，求极限 ，其中 a，b 为非零常数9 设函数 f(x)在 x=x0 处存在 f+(x0)与 f-(x0)，但 f+(x0)f-(x0)，说明这一事实的几何意义10 设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限11 求下列函数的导数 y：12 设 y=(1+x2)sinx，求 y13 已知 f(x)=kex，常
4、数 k0，求 f(x)的反函数的二阶导数14 ()设函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex-xy2=0 所确定，求 ()设函数 y=y(x)由方程 x3+y3-sin3x+6y=0 所确定，求 dy x=0；()设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求15 设 ex+y=y 确定 y=y(x)，求 y，y16 设 f(x)= 求 f(x)在点 x=0 处的导数17 设 f(x)= 求 f(1)与 f(-1)18 设 f(x)= 求 f(x)19 求下列函数的 n 阶导数公式：20 设 y=sin3x， 求 y(n)21 设 f(x)在(a，b)内处处可导，且
5、满足 f(x)0证明对任何 x0(a，b)一定存在x1，x 2(a，b)使得 f(x1) f(x0)f(x 2)22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，又 g(x)在a，b上连续，求证：存在 (a，b) 使得 f()=g()f()23 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f(c)0，(ac b)证明：至少存在一点 (a，b)，便 f()0；24 设 h0，f(x)在a-h，a+h上连续，在(a-h ，a+h) 内可导，证明：存在 0 1 使得25 设 a0，且函数 f(x)在a，b上连续，在(a
6、，b) 内可导，试证：至少存在一点(a， b)使得考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 () =f(x0)0 知这时与x 是同阶无穷小量；按定义 =f(x0)0，故 y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知当x0 时差 ，即它是比x 高阶的无穷小()由题设可知 f(x0)=1又y-dy=o( x)，dy=f(x 0)x=x，于是 ，故应选(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题2 【正确答案】 Acosb【试题解析】 补充定义 f(a)=b，则有【知识模块】 一元函数微分学3
7、【正确答案】 【试题解析】 利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)ef(x)=ef(x)df(lnx)+f(lnx)def(x)=ef(x)f(lnx)dlnx+f(lnx)ef(x)df(x)=【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 【试题解析】 设 y=f(x)的反函数是 x=(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 n!f n+1(x)(n1)【试题解析】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f(x)=2f(x)f(x)=2f3(x)， 再求导得 f(x)=3!f2(x)f(x)=3!f4(x) 由此可猜想 f(n)(
8、x)=n!fn+1(x)(n1)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 () 不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x0)=g(x0)不能保证 f(x0)=g(x0)正如曲线 y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切()不正确例如 f(x)=x2， g(x)=显然，当 x0 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在点 x=0 处可导，因为 g(x)在点x=0 不连续，从而 g(x)在点 x=0 处不可导()正确由假设可得当 x(x0-，x 0+)时 因此，当 xx 0 时等式左右端的极限或
9、同时存在或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义即可得出结论【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 () 曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切 ( )点 x=x0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M0(x0，f(x 0)处有垂直于 x 轴的切线 x=x0(见图 21)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M0(x0，f(x 0)处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(
10、x)的尖点)，见图 22【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 这是指数型数列极限，先转化成其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此 w=e6【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 (1)将函数化为 ，然后对 x 求导，得(2)在等式两边取对数，有 lny=sinxln(1+x2)，两边分别对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 设 y=f(x)，则【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 () 方法 1 将原方程两边直接对 x 求导数，并注意 y 是 x
11、 的函数，然后解出 y即可由(2x+2y.y)cos(x 2+y2)+ex-y2-2xy.y=0，得方法 2 将方程 sin(x2+y2)+ex-xy2=0 两边同时求全微分并写成 f(x，y)dy=g(x，y)dx 形式，则 即为所求由 cos(x2+y2)(2xdx+2ydy)+exddx-y2dx-2xydy=0，得 ()方法 1 先用隐函数求导法求出 y，再求微分 dy=ydx在方程的两边对 x 求导，并注意到y 是 x 的函数，得 3x2+3y2y-3cos3x+6y=0， 即 又 y x=0=0，所以y x=0= 方法 2 利用一阶微分形式的不变性由 d(x 3+y3-sin3x+
12、6y)=0， 即 3x2dx+3y2dy-3cos3xdx+6dy=0，解得()y=y(x)由方程 f(x+y)-y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数 将y=f(x+y)两边对 x 求导，并注意 y 是 x 的函数，f 是关于 x 的复合函数，有y=f.(1+y)， 即 又由 y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y是 x 的函数，f仍然是关于 x 的复合函数，有 y=(1+y)f+(1+y)(f)=yf+(1+y)f.(1+y)=y“f+(1+
13、y)2f，【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得 ex+y(1+y)=y，即再对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 其中用到了等价无穷小替换：【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 由题设知 f(1+0)= =f(-1)，故 f(x)又可以写成【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 当 x0 时，由求导法则得 当 x=0 时，可用以下两种方法求得 f(0)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 用三角函数积化和差公式，可将 s
14、in3x 化成形如 sinax 与 cosbx 的函数之和差，并用(sinax) (n)及(cosbx) (n)的公式【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 假设结论不正确，则存在 x0(a，b)使得对任何 x(a，b)，要么f(x)f(x0)(这时 f(x0)为极小值 )；要么 f(x)f(x0)(这时 f(x0)为极大值)因此若结论不正确，则 f(x)必在(a，b)内某点 x0 处取得极值由于 f(x)在(a，b)内处处可导，由费马定理可知 f(x0)=0，但是对一切 x(a，b)有 f(x)0，这就产生了矛盾因此结论正确【试题解析】 f(x 1)f(x 0)f(x 2)的含义是既
15、有函数值小于 f(x0)的点又有函数值大于f(x0)的点若这个结论不正确，则在(a ，b) 内的函数值要么处处不小于 f(x0)，要么处处不大于 f(x0)，这时 f(x0)就是极值由费马定理得出 f(x0)=0，此与条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设g(x)dx 是 g(x)的某个原函数，并令 R(x)=e-g(x)dx，作辅助函数F(x)=R(x)f(x)，对 F(x)在a，b 上用罗尔定理，即知本题结论成立【试题解析】 注意对任何 (a，b)， f()=g()f() f()-g()f()=0 f(x)-g(x)f(x) x=0 R(x)f(x)-R(x)g(x)f
16、(x) x=0 R(x)f(x) x=0，其中 R(x)是在ab上连续，在(a，b)内可导，而且当 x(a，b)时满足如下条件的任一函数： R(x)=-R(x)g(x)，又 R(x)0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由于 a cb，由已知条件可知 f(x)在a，c与c，b上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点 1(a，c) ， 2(c，b)，使 f(c)-f(a)=f( 1)(c-a)， 1(a， c)； f(b)-f(c)=f( 2)(b-c)， 2(c，b) 由于 f(a)=f(b)=0，于是有 f(c)=f( 1)(c-a)， -f(c)=f(2)(b-c) 由于 c-
17、a0，b-c0，f(c)0，因此由式、 可知 f(1)0，f( 2)0由已知条件知 f(x)在 1， 2上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (1， 2) (a，b)，使【试题解析】 证明在某区间内存在一点 使得 f()=0 常可考虑利用罗尔定理，而证明在某区间内存在一点 使得 f()0 常可考虑利用拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 F(x)=f(a+x)+f(a-x)，则 F(x)在0，h上连续，在(0 ，h)内可导，由拉格朗日中值定理可得存在 0(0，1) 使得 由于 F(h)-F(0)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a)， F(x)=f(a+x)-f
18、(a-x)， F(h)=f(a+h)-f(a-h)，因此存在满足0 1 的 使得【试题解析】 在a，a+h和a-h，a上分别对 f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在 1， 2(0，1)使得 f(a+h)-f(a)=f(a+1h)h， f(a-h)-f(a)=-f(a- 2h)h，这时有然而 1 与 2 未必相等若将 f(a+h)-2f(a)+f(a-h)重新组合成 f(a+h)-2f(a)+f(a-h)=f(a+h)+f(a-h)-f(a+0)+f(a-0)，我们发现它是 F(x)=f(a+x)+f(a-x)在点 x=h 的值减去在点 x=0 的值，并且f(a+h)-f(a-h)=F(h)，要证的等式就是对 F(x)在0，h上应用拉格朗日中值定理的结果【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 将等式右端改写成 令，则 F(x)，G(x)在a ，b上满足柯西中值定理条件，于是，至少存在一点 (a，b) 使得c-f()+f()=0将上式两端同除以 2，并改写为由此可知，若令 ，则F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)= ，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理的条件，因此，至少存在一点 (a，b)使得【知识模块】 一元函数微分学
