1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 处连续且 存在，则在 x=a 处 ( )（A）f(x)不可导，但|f(x)| 可导（B） f(x)不可导，且 |f(x)|也不可导（C） f(x)可导，且 f(a)=0（D）f(x)可导，但对不同的 f(x)，f(a)可以等于 0，也可以不等于 02 设 f(x)= +xcosx(x0)，且当 x=0 时，f(x)连续，则 ( )（A）f”(0)=0，f”(x)在 x=0 处不连续（B） f”(0)=0，f”(x) 在 x=0 处连续（C） f”(0
2、)=1，f”(x) 在 x=0 处不连续（D）f”(0)=1，f”(x)在 x=0 处连续3 设 f(x)在a ，b上可导，f(a)f(b)0，则至少存在一点 x0(a，b)，使得 ( )（A）f(x 0)f(a)（B） f(x0) f(b)（C） f(x0)=0（D）f(x 0)= f(a)+f(b)二、填空题4 设 f(x)= 整数 n0，则 f(2n+1)(0)=_5 设 f(x)在 x=a 处存在二阶导数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 y=y(x)是由 sin(xy)= 确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值7 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一
3、个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?8 设 (x)= 又 f(x)可导，求 F(x)=f(x)的导数9 证明不等式 一x+ 10 讨论方程 2x3 一 9x2+12xa=0 实根的情况11 讨论方程 axex+b=0(a0)实根的情况12 设 fn(x)=1 一(1 一 cosx)n，求证：(1) 对于任意正整数 n， 中仅有一根；(2)设有13 在数 中求出最大值14 证明：方程 x=ln x( 0)在(0 ，+) 上有且仅有一个实根15 设 0k1，f(x)=kxarctanx证明：f(x) 在(0 ，+)中有唯一的零点，
4、即存在唯一的 x0(0，+)，使 f(x0)=016 f(x)在( 一，+)上连续， =+，且 f(x)的最小值 f(x0)x 0，证明：ff(x)至少在两点处取得最小值17 设 T=cos n，=arccos x，求18 已知 y=x2sin 2x，求 y(50)19 计算20 已知 ，求 f(1)21 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sin x)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程22 设 f(x)= 其
5、中 g(x)有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=一 1，求 f(x)，并讨论 f(x)在( 一 ，+)内的连续性23 (1)设 求 y；(2) 函数 y=y(x)由方程 cos(x2+y2)+ex 一 x2y=0 所确定，求24 设函数 y=f(x)由参数方程 (t一 1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 证明：函数 (t)满足方程25 设 f(x)= 试问当 取何值时，f(t)在点 x=0 处，(1)连续；(2)可导；(3)一阶导数连续；(4) 二阶导数存在26 设 y= 求 y(n)(n1)27 设 y=sin4xcos4x，求 y(n)28 设 y=exsin x，求 y
6、(n)29 设 求 y(n)(0)30 设 f(x)满足 f(x)+ 求 f(x)31 设 f(x)= 试确定常数 a，b，c，使 f(x)在点 x=0 处连续且可导32 试证明：曲线 恰有三个拐点，且位于同一条直线上33 已知某种商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =一 2p2，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件) (1) 确定需求函数； (2)若价格服从1 ，2上的均匀分布，计算期望收益值34 一商家销售某种商品的价格满足关系 p=702x(万元单位)，x 为销售量，成本函数为 C=3x+1(万元)，其中 x 服从正态分布 N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税 t 万元，求
7、该商家获得最大期望利润时的销售量35 设需求函数为 其中 Q 为需求量， p 为价格，a ，b0 为待定常数，总成本函数为 一 7Q2+100Q+50，已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 Ep= 时，总利润最大求总利润最大时的产量，并确定 a，b 的值36 某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为 R0 元如果收藏起来待来日出售，t 年末总收入为 R(t)=R0e(t)，其中 (t)为随机变量，服从正态分布 假定银行年利率为 r，并且以连续复利计息试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求 r=006 时，t 的值考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷
8、 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 存在知，所以 再由 f(x)在 x=a 处连续，知 f(a)=0于是【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(a)f(b)0，不妨设 f(a)0，f(b)0由及极限的保号性知，存在 x=a 的去心邻域且 x1a 时，f(x 1)f(a) ，所以 f(a)不是 f(x)在a，b上的最小值类似地可证 f(b)也不是 f(x)在a，b上的最小值，所以 f(x)在a，b上的最小值点 x=x0(a， b)由极值的必要
9、条件知，f(x 0)=0(C) 正确 (A)，(B)，(D)的反例见 f(x)=x(x-1)，x0，1 【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 (一 1)n(2n)!【试题解析】 由泰勒级数展开式的唯一性，有 =(一 1)n(2n)!(n=0，1，)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 通分，分子用皮亚诺余项泰勒公式展开：【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得，0= 故 y(0)=e2将方程两边对 x求导数，得 将x=0，y(0)=e 2 代入 式，有 即 y(0)=ee4将式两边再对 x 求导数，
10、得一 sin(xy).(y+xy)2+cos(xy).(2y+xy“)= 将 x=0，y(0)=e2 和 y(0)=ee4 代入上式，有 故 y“(0)=e3(3e3一 4)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 先求曲线 处的切线方程切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)， 于是AOB 的面积为当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，有【知识模块】 微积分8 【正确答案】 F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，(0)=0，(0)= 又 f(x)在 x=(0)处可导，于是根据复合函数的求导法则，有
11、F(0)=f(0).(0)=0【知识模块】 微积分9 【正确答案】 令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由于 f“(x)= ，知 f“(0)0 ，则 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(一，+)，有 f(x)0，即有【知识模块】 微积分10 【正确答案】 令 f(x)=2x3 一 9x2+12x-a，讨论方程 2x3 一 9x2+12x-a=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况显然， 所以，欲讨论 f(x)零点情况，应求函数 f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a 的极值，并讨论极值的符号 由 f(x)=6x2 一 18x+12=6
12、(x 一 1)(x 一 2)得驻点为 x1=1，x 2=2，又 f“(x)=12x 一18，f“(1)0，f“(2)0，得 x1=1 为极大值点，极大值为 f(1)=5 一 a；x 2=2 为极小值点，极小值为 f(2)=4a 当极大值 f(1)=5 一 a0，极小值 f(2)=4 一 a0，即4a5 时， f(x)=2x3 一 9x2+12x 一 a 有三个不同的零点，即方程 2x3 一 9x2+12xa=0 有三个不同的实根； 当极大值 f(1)=5 一 a=0 或极小值 f(2)=4 一 a=0，即 a=5或 a=4 时，f(x)=2x 3 一 9x2+12xa 有两个不同的零点，即方程
13、 2x3-9x2+12x 一 a=0有两个不同的实根； 当极大值 f(1)=5-a0 或极小值 f(2)=4-a0，即 a5 或 a4时，f(x)=2x 3 一 9x2+12x-a 有一个零点，即方程 2x3 一 9x2+12x 一 a=0 有一个实根【知识模块】 微积分11 【正确答案】 令 f(x)=axex+b，因为 求函数 f(x)=axex+b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值由 f(x)=aex+axex=aex(1+x)，得驻点为 x=一 1，又 f“(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f“( 一 1)0，所以 x=一 1 是函数的极小值点，极小值为 f(一 1
14、)= 当 时，函数 f(x)无零点，即方程无实根；当 或 b0 时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根；当时，函数 f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 先考查连续函数 由 f(x)=，得 x=e，且当 xe 时， f(x)0，f(x)单调增加；当xe 时，f(x)0，f(x)单调减少所以 f(e)为 f(x)的最大值，而 2e 3，于是所求的最大值必在【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 f(x)=ln xx(0)，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=一10， =+，故对任意 M
15、0， ，当 xX 时，有 f(x)M0任取 x0X，则 f(1)f(x0)0，根据零点定理， (1，x 0)，使得 f()=0，即方程 x=ln x 在(0，+)上至少有一实根 又 ln x 在(0 ，+) 上单调增加，0，一 x也单调增加，从而 f(x)在(0，+)上单调增加，因此方程 f(x)=0 在(0，+) 上只有一个实根，即方程 x=ln x 在(0，+)上只有一个实根【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由 f(x)的连续性，知 f(x)在 中至少有一个零点 x0，另外 f(0)=0，f(x)在 单调增加，故这样的零点是唯一的【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 F(x)=
16、f(x)一 x0，则 F(x)在(一，+)上连续，且 F(x0)0，使得 F(a)0； ，使得 F(b)0，于是由零点定理，知 (a，x 0)，使得 F(x1)=0； (x0，b)，使得 F(x2)=0，即有 x1 x0x 2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得 ff(x1)=f(x0)=ff(x2)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 y (50)=(sin 2x.x2)50=(sin 2x)(50).x2+50(sin 2x)(49)(x2)+由于(sin 2x) (n)= ，所以【知识模块】 微积分19 【正确答案】 此题考查用导数定义求
17、极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在点(6，f(6)处和点(1 ，f(1) 处的切线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1)则 4f(1)=8，f(1)=2，由 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2，故所求切线方程为 y=2(x-6)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 x0 时，f(x)可导，且 显然，当 x0 时，f(x)连续；故 f(x)在 x=0 处连续，从而 f(x)在(一 ，+) 内连续【知识模块】 微积分23 【正确答
18、案】 (1)两边取对数，得 上式两边同时对 x 求导，得 化简可得 x+xy=xy一 y，故 (2)方程两端同时对 x 求导得一 sin(x2+y2).(2x+2yy)+ex 一 2xyx2y=0，因此【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由题设故(1+t)“(t)-(t)=3(1+t) 2，即【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)因当 0 时，极限 不存在，而当 0 时，故 0 时，f(x) 在 x=0 处连续当 一 10，即 1 时，f(x)在 x=0 处可导，f(0)=0当 2 时，f(x)=0f=f(0)，此时 f(x)的一阶导数连续 (4) 当 x0 时，显然 f“(x)存
19、在，故只需求 f“(0)存在的条件， 当3 时，f“(0)不存在；当 3 时，f“(0)=0 ，即 f(x)在点 x=0 处二阶可导【知识模块】 微积分26 【正确答案】 ，经计算 A=8，B=一 1故 于是【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因 y=(sin2x+cos2x)(sin2xcos2x)=一 cos 2x，y (n)=【知识模块】 微积分28 【正确答案】 y=e xsin x+cosx.ex= 归纳可得【知识模块】 微积分29 【正确答案】 当 x0 时， 当 x=0 时，故对任意 x(一 ，+) ，都有 又，比较系数，得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 方程两边同时
20、对 x 求导得式两边同时对 x 求导得2 一 得 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 因为及 c 为任意值时，f(x)在 x=0 处连续 又因为令 -f(0)=f+(0)，可得当 c= 时，f(0)存在故当 a=2, 时，f(x) 在 x=0 处连续且可导【知识模块】 微积分32 【正确答案】 令y“=0，得 x1=一 1， 列表所以 A(-1，一 1) 均为此曲线的拐点，又所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 微积分33 【正确答案】 (1)由弹性公式： 两边积分有【知识模块】 微积分34 【正确答案】 收益为 R=xp，利润为 L=RCT，其中交税金额 T=tx于是 L=xp 一(3
21、x+1)一 tx=x(702x)一(3x+1) 一 tx=一 02x 2+(4 一 t)x 一 1， EL=一02E(x 2)+(4 一 t)Ex 一 1=一 02Dx+(Ex) 2+(4 一 t)Ex 一 1 =一 021+(5p) 2+(4一 t).5p 一 1=一 5p2+5(4 一 t)p12，令 因此，当 (4 一 t)即 x=355p=25+时，期望的利润最大【知识模块】 微积分35 【正确答案】 总收益：R=Qp=aQ-bQ 2，Q= (a 一 p)则利润为 L(Q)=RC=+(7b)Q2+(a-100)Q-50于是有 L(Q)=一 Q2+2(7b)Q+(a 一 100)由题设a，b，Q 应满足解得：a=111， ，Q=3 或 a=111，b=2，Q=11若 a=111， ，Q=3，此时L(3)=0，L“(3)0，但 L(3)0 不符合题意；若 a=111，b=2，Q=11，此时 L(11)=0，L”(11)0，且 L(11)0因此 a=111，b=2 为所求常数，此时对应最大利润的产量为 Q=11【知识模块】 微积分36 【正确答案】 由连续复利公式，t 年末售出总收入 R 的现值为：A(t)=R.e -rt于是 A(t)=R 0e(t)e-rt=R0e(t)-rt，令时，期望的现值(取到极大值)最大若 r=006，【知识模块】 微积分
