1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， , s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2，,k s，都有 k11+k22+kss，则1， 2，, s 线性无关（B）若 1， 2，, s 线性相关，当且仅当存在一组不全为零的数 k1，k 2，,k s，有 k11+k22+kss=（C） 1， 2，, s 线性无关的充要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2，, s 线性无关的充要条件是其中任意两个向量线性无关 2 设 1， 2， , s 是一组 n 维
2、向量，则下列结论中，正确的是( )（A）若 1， 2，, s 不线性相关，就一定线性无关（B）如果存在 s 个不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=，则1， 2，, s 线性无关（C）若向量组 1， 2，, s 线性相关，则 1 可由 2， s 线性表示（D）向量组 1， 2， ， s 线性无关的充要条件是 1 不能由其余 s-1 个向量线性表示 3 若 1， 2， , s 的秩为 r，则下列结论正确的是( )（A）必有 r1)，而 1=-1， 2=-2， s=-s，则( ) （A）r( 1， 2，, s)=r(1， 2， s) （B） r(1， 2，, s)r( 1
3、， 2， s)（C） r(1， 2， s)r( 1， 2， s)（D）不能确定两者之间的大小关系6 设函数 f(x)x.tanx.e sinx，则 f(x)是( ) （A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数7 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ) （A）AB0 的充分必要条件是 A0 或 B0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 或 B0（C） AB0 且 r(A)n，则 B0（D）若 AB0，则A0 或B08 设 cosx-1=xsina(x),其中a(x)/2,则当 x0 时，a(x)是（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）比 x 同阶
4、但不等价的无穷小（D）与 x 等价的无穷小二、填空题9 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x2x3 的秩 r 及正惯性指数 p 分别为_10 设 1=(2， -1，0，5)， 2=(-4，-2，3，0)， 3=(-1，0，1，k)， 4=(-1，0，2，1)，则 k=_时， 1， 2， 3， 4 线性相关三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件之间的关系：11 |x-a|20 与 x20；13 x20 与 x20 与 x22；15 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中恰有一件是废品”；16 “2
5、0 件产品全是合格品” 与“20 件产品中至少有一件是废品”；17 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中至多有一件是废品”17 求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：18 1=(1，2， 1，3) ， 2=(4，-1 ，-5，-6)， 3=(-1，-3，-4，-7)， 4=(2，1，2，3)；19 1=(1，-1，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0)，5=(2， 1，5， 10)；20 1=(1，3， 2，0) ， 2=(7，0，14，3) ， 3=(2，-1，0，1)， 4=(5，1，6，2)，
6、4=(2， -1，4，1)21 设 1， 2， , m 为一个向量组，且 1，每一个向量 i(i1)都不能由1， 2，, i-1 线性表示，求证： 1， 2，, m 线性无关21 在一通信渠道中，能传送字符 AAAA，BBBB，CCCC 三者之一，由于通信噪声干扰，正确接收到被传送字母的概率为 06，而接收到其他两个字母的概率均为 02，假设前后字母是否被歪曲互不影响22 求收到字符 ABCA 的概率；23 若收到字符为 ABCA，问被传送字符为 AAAA 的概率是多大?24 一男子到闹市区去，他遇到背后袭击并被抢劫，他断言凶手是个白人，然而当调查这一案件的法院在可比较的光照条件下多次重复展现
7、现场情况时，受害者正确识别袭击者种族的次数约占 80，袭击者确实是白人的概率是 08 吗?试给出说明25 证明：当 0asina,+2cosa+a考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 向量组 1， 2，, s 的秩为 r 的定义是： 1， 2，, s 中存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向量线性相关,若向量组 1， 2，, s 线性无关，则r=s，故选项 A 不成立；向量组 1，
8、2，, s 的秩为 r，只要求存在 r 个向量线性无关，并不要求任意 r 个向量线性无关，更不要求任意小于 r 个向量组成的向量组线性无关.【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 r=3，p=2【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 -5/13【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】
9、一元函数微分学11 【正确答案】 |x-a|20 与 x20 为对立事件；【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 x20 与 x20 与 x22 为相容事件；【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”与“20 件产品中恰有一件是废品”为互不相容事件；【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”与“20 件产品中至少有一件是废品”为对立事件；【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”是“20 件产品中至多有一件是废品”的子事件，两者呈包含关系，前者包含于后者【试题解析】 对立事件一定是互不
10、相容事件，而互不相容事件不一定是对立事件，只有互不相容的事件之和等于必然事件时，才是对立事件【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 1， 2， 3 为一个极大无关组，且 4=-(3/2)1+(1/2)2-(3/2)3;【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 1， 2， 4 为一个极大无关组，且3=31+2+04， 5=21+2+04;【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 1， 2， 3 是极大线性无关组，且 4=(2/3)1+(1/3)2+3， 5=-(1/3)1+(1/3)2【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 用定义证明假设存
11、在一组数 k1，k 2，,k m 使得 k11+k22+kmm=， 若 k1，k 2，k m 全为零，显然 1， 2，, m 线性无关；若 k1，k 2，,k m 不全为零，对 k1，k 2，,k m 从右向左看，设第一个不为零的数为ki，即 ki0，k i+1=0，k m=0，于是有 k11+k22+kii=若 i=1，则 k11=，从而 1=，与 1 矛盾；若 i1，则 i=-(1/ki)(k11+k22+ki-1i-1)，与每一个向量 i(i1)都不能由 1， 2， i-1 线性表示矛盾，因此，k 1，k 2，,k m 必须全为零，这说明 1， 2，, m 线性无关【知识模块】 一元函数
12、微分学【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设事件 A(B 或 C)分别表示“传送的字符为 AAAA(BBBB 或CCCC)”，事件 D 表示“收到字符 ABCA”，于是有 P(A)=P(B)=P(C)=1/3， P(D|A)=06 202 2， P(D|B)=060 2 3， P(D|C)=0 602 3， 故有 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) =1/306 202 2+1/30602 3+1/30602 3 =0008 ；【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 P(A|D)=P(A)P(D|A)/P(D)=(1/30.6 20.
13、22)/0.008=06【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 不对如果调查中白人与其他种族的人数分别占 60和 40，且在袭击者为白人的条件下，受害者正确识别的概率为 70；在袭击者为其他种族的条件下，受害者正确识别的概率为 95，则利用全概率公式可得受害者的正确识别袭击者种族的次数占 80但在受害者正确识别的前提下，袭击者确为白人的概率只有 0525(计算可用贝叶斯公式)【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 引入函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 F(x)在(0，)单凋增加因 F(x)在0，有连续的二阶导数，且F(x)=xcosx-sinx+， F()=0 ，F“(x) =cosx-xsinx-cosx=-xsinxF()=0， x(0， )这表明 F(x)在(0，)单调增加故当 0F(a)，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 一元函数微分学
