1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=1nx ，则 f(x)= ( )（A）lnx（B） lnx+（C） 1nx2ex（D）lnx+2ex2 设 Ik= sinxdx(k=1，2，3)，则有 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1（D）I 2I 1 I33 = ( )4 = ( )5 = ( )二、填空题6 7 已知 是 f(x)的原函数，则xf(x)dx=_8 xx(1+lnx)的全体原函数为_9 (arcsinx)2dx=_10 11 若f(x)dx=F
2、(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt=_ 12 13 设 f(ex)=1+x，则 f(x)=_14 15 将 分解为部分分式的形式为_16 设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求xsin 2xdx18 设 ，求f(x)dx19 求不定积分20 求不定积分21 已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求xf(x)dx22 求23 求24 求e xsin2xdx25 求26 求27 求28 求29 求(x 5+3x22x+5)cosxdx30 求31 计算 (a0 是常数) 32 设 f(1nx)=
3、 ，计算f(x)dx考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题中所给式子变形得记 =A(常数)，则在式两端作 1，e上的积分，得解得 A= ，故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 首先，由 I2=I1+ sinxdx 及 sinxdx0 可得 I2I 1其次，I3=I1+ sinxdx，其中 故I3I 1，从而 I2I 1I 3，故选(D) 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】
4、C【试题解析】 设 x=t6，则 ，dx=6t 5dt所以【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 cosx +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 是 f(x)的原函数，所以 f(x)= ，xf(x)dx=xd(f(x)=xf(x)f(x)dx=+C=cosx +C【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 x x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xx(1+1nx)，所以x x(1+lnx
5、)dx=xx+C【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 x(arcsinx) 2+2 arcsinx2x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 (arcsinx) 2dx=x(arcsinx)22arcsinx dx=x(arcsinx)2+2arcsinxd =x(arcsinx)2+2 arcsinx2x+C【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ln2(tanx)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+
6、C【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 xlnx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=lnu，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=(1+1nu)du=ulnu+C， 因此 f(x)=xlnx+C【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 +C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 由题设，f(x)dx=lnx+c，f(x)=(1nx+C)=
7、，f(x)=【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1；当 0x1 时，f(x)dx=xdx= +C2；当 x0 时，f(x)dx=sinxdx=cosx+C 3因为 f(x)在( ，1) 内连续，所以f(x)如在(，1)内存在，因而f(x)dx 在 x=0 处连续导，因此(cosx+C 3，C2=1+C 3，C 3=1+C2又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故此处的 C1 和 C2
8、 是两个相互独立的任意常数【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 由于xf(x)dx=xf(x) f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sinx)lnx=cosxlnx+ ，且f(x)dx=(1+sinx)lnx+C ，故xf(x)=x(cosxlnx+ )(1+sinx)lnx+C【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 借助图 133 得【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案
9、】 e xsin2xdx=ex (1cos2x)dx= excos2xdx，而 excos2xdx=cos2xdex=excos2x+2sin2x.exdx =excos2x+2sin2xdex=excos2x+2exsin2x4e xcos2xdx，所以 excos2xdx= excos2x+ exsin2x+C1，于是 exsin2xdx= ex excos2x exsin2x+C(C= C1)【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因为 x4+1=(x2+1)22x 2=(x2+ x+1)(x2 x+1)，所以可令比较系数得，【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 【知识
10、模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 利用表格的形式：所以(x 5+3x2 2x+5)cosxdx=(x5+3x22x+5)sinx+(5x 4+6x2)cosx(20x 3+6)sinx 60x2cosx+120xsinx+120cosx+C【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 设 lnx=t，则 x=et，f(t)=e x ln(1+ex)+(1 )dx=e x ln(1+ex)+xln(1+e x)+C=x(1+e x )ln(1+ex)+C【知识模块】 一元函数积分学
