1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 04xdx 的值为 ( )（A）0（B） 2（C） 4（D）62 函数 f(x)= (t2t)dt(x0)的最小值为 ( )（A）（B） 1（C） 0（D）3 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（A） 0xtf(t)+f(t)dt（B） 0xtf(t)f(t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf2(t)dt4 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 =0 在(a，b)内的根有 ( )（
2、A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个5 设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（A）y= 0xf(t)dt（B） y=1+0xf(t)dt（C） y=02xf(t)dt（D）y=1+ 02xf(t)dt二、填空题6 定积分 x2(sinx+1)dx=_7 设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 0xf(x)dx 在(0，0)处的切线方程是_8 设 ，则 02 f(x+1)dx=_9 10 设 f(x)为连续函数，且 F(x)= f(t)dt，则 F(x)=_11 0+xex dx=_12 设 f(x)连续，则13 设曲线
3、y=f(x)与 y= 在原点处有相同切线，则=_14 (a 为常数，n 为自然数 )15 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_16 设 f(3x+1)= ，则 01f(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 计算 In= 11(x21) ndx18 计算 01xxdx19 (1)若 f(x)= ，试证：f(0)=0(2)若 f(x)在(，+)上连续，且 f(x)=0xf(t)dt，试证：f(x)0(x+)20 计算 (k 为常数)21 已知 ，求积分 3 2I()d22 求不定积分23 求不定积分(arcsinx) 2dx24 设函数 f(
4、x)连续，且 0xtf(2xt)dt= arctanx2已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值25 设 f(x)具有二阶导数，且 f(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续证明：26 设在区间e，e 2上，数 p，q 满足条件 px+qlnx，求使得积分取得最小值的 P，q 的值27 设 f(x)是在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数，证明：(1) 存在；(2)反常积分1 f(x)dx 与无穷级数 同敛散28 设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)
5、dt(x0)29 设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明：30 求曲线 y= 的一条切线 l，使该曲线与切线 l 及直线 x=0，x=2 所围成图形的面积最小31 设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积32 如图 13-1 所示，设曲线方程为 y=x2+ ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形OABC 的面积为 D1，点 A 的坐标为(a，0)，a 0证明考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
6、 【正确答案】 D【试题解析】 从而 04xdx=0+1+2+3=6【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 得唯一驻点 x= (0， +)又 知 f(x)在 x= 处取最小值【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0xf(t)dt 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项 (D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数应选(A)
7、【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 令 F(x)=axf(t)dt+bx ，则 F(x)在a ，b 上连续，而且 F(a)=ba dt0，F(b)= abf(t)dt0，故 F(x)在(a，b)内有根又 F(x)=f(x)+ 0，所以 F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个根应选(B)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为 y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2 ，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y
8、=1+2x故应选(D)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 x 2sinx 是奇函数，故在 上的定积分值为 0原积分=【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 y=x【试题解析】 曲线在(0，0)处切线斜率 k=y x=0=0xf(t)dt x=0=f(0)=1所以曲线在(0 ，0) 处，切线方程为 y=x【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 作定积分换元 x+1=t，原积分= 1 1f(t)dt=1 0(t+1)dt+01t2dt=【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 0【试题解析】 被积函数 x3 cosx 是奇函数，在对称
9、区间2，2上积分为零【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式 f(t)dt=f(x)(x)f(x)(x)可知，【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1【试题解析】 原积分= 0+xdex =xe x 0+0+0+ ex dx=0+ex dx=e x 0+=1【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 sin 20xf(u)du【试题解析】 0xsin20lf(u)dudt 是形如 0x(t)dt 形式的变上限积分，由 0x(t)dt=(x)知， 0x(sin20lf(u)du)dt=sin20xf(u)du【知识模块】 一元函数积分学13
10、【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知 f(0)0，f(0)= =1，故得【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 0【试题解析】 显然 dt 积分难以积出考虑积分中值定理，其中 x 介于 x 与 x+a 之间所以【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(x31).3x 2=1， f(x31)= 令 x=2，即得 f(7)=【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 14 12【试题解析】 令 3x+1=t，x= 可知 f(t)= 所以【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说
11、明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由分部积分可得 In=x(x21) n 112n 1 1x2(x21) n1 dx =2n 1 1(x21) ndx2n 1 1(x21) n1 dx=2nI n2nI n1 ，故 In= In1 递推得【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 因为 =1，所以 x=0 不是瑕点由 xx=exlnx= ，可得这里用到了【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 (1)因为所以(2)由 f(x)=0xf(t)dt 可知 f(x)=f(x)，其通解为 f(x)=cex，又 f(0)=0，故 f(x)0【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案
12、】 因 k 值不同，故分情况讨论：当 k1 时，原式=，即积分收敛；当 k=1 时，原式=+，即积分发散；当 k1 时，原式=+，即积分发散【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 (1)当 a0，1 时，(2)当 =1 时，(3)当 =1 时，(4)当 =0 时，I()=0sinxdx=2综上， 故 3 2I()d=21n6+4【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (arcsinx) 2dx=x(arcsinx)2 =x(arcsinx)2+2arcsinxd=x(arcsinx)2+2 arcsinx2x+C【知识模块】 一元
13、函数积分学24 【正确答案】 令 u=2xt，则 t=2xu，dt=du当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 0xtf(2xt)dt= 2xx(2xu)f(u)du=2x x2xf(u)du x2xuf(u)du，由已知得2xx2xf(u)du x2xuf(u)du= arctanx2,两边对 x 求导，得 2x2xf(u)du+2x2f(2x)f(x)2xf(2x).2xf(x)= ，即 2 x2xf(u)du= +xf(x)令 x=1，得 212f(u)du=故 12f(x)dx= 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由泰勒公式 f(x)=f(x0)+f(x0)(
14、xx 0)+ f()(xx 0)2f(x0)+f(x0)(xx 0)， 介于 x 与 x0 之间以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设a0，于是有 0afu(t)dtaf(x0)+f(x0)0au(t)dtx 0a取 x0= 0au(t)dt，于是得0afu(t)dtaf 即有 若 a0，则有 0afu(t)dtaf(x0)+f(x0)0au(t)dtx 0a仍取 x0= 0au(t)dt，有 0afu(t)dtf(x0)=【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 要使 I(p，q)= (px+qlnx)dx 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=lnx相切，
15、从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 P0，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t，lnt)，则有 于是 I(p，q)=I(t)= +lnt 1lnx)dx= (e4e 2)+(1nt1)(e 2e)e 2令 I(t)= (e4e 2)+ (e2e)=0，得唯一驻点 t= ，I(t)0，所以，t= 为极小值点，即最小值点此时，p 0= ，q 0=ln 1【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 (1
16、)由 f(x)单调减少，故当 kxk+1 时，f(k+1)f(x)f(k)两边从k 到 k+1 积分，得 kk+1f(k+1)dxkk+1f(x)dxkk+1f(k)dx，即 f(k+1)kk+1f(x)dxf(k)即a n有下界又an+1a n=f(n+1) nn+1f(x)dx0，即数列a n单调减少，所以 存在(2)由于f(x)非负，所以 1xf(t)dt 为 x 的单调增加函数当 nxn+1 时， 1nf(t)dt1xf(t)dt1n+1f(t)dt，所以 1+f(x)dx 收敛 f(x)dx 存在由(1)知 存在，所以f(k)存在 f(x)dx 存在从而推知 1+f(x)dx f(n
17、)收敛【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由题设知 S(t)= 所以，当 0x1 时，0xS(t)dt =0x 当 1x2 时， 0xS(t)dt=01S(t)dt+1xS(t)dt=当 x2 时， 0xS(t)dt=02S(t)dt+2xS(t)dt=x1因此 0xS(t)dt=【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 因为 y= ，所以 y= 在点(t， )处的切线 l 方程为 y(xt)，即 y= 所围面积 S(t)=令 S(t)= =0，得 t=1又S(1)0，故 t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为 y=【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 V= 0(sinx+1)2dx=0( +2sinx+1)dx= (8+3) 【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学
