1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（A） 0xf(t)dt（B） 0xf(t2)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf(t)f(t)dt2 下列反常积分收敛的是 ( )3 以下 4 个命题，正确的个数为 ( ) 设 f(x)是(，+)上连续的奇函数，则 f(x)dx 出必收敛，且 f(x)dx=0； 设 f(x)在(，+)上连续，且存在，则 f(x)dx 必收敛，且若 f(x)dx 与 g(x)dx 都发散，则 f(x)
2、+g(x)dx 未必发散；若 0f(x)dx 与 0 f(x)dx 都发散，则 f(x)dx未必发散（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个4 由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为( )5 抛物线 y2=2x 与直线 y=x4 所围成的图形的面积为 ( )（A）（B） 18（C）（D）8二、填空题6 7 设 n 是正整数，则8 9 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ，b上连续，结论是_10 曲线 y=x2，与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 _11 12 13 反常积分14 反常积分15 抛物线 y2=ax(a0)与 x=1 所围
3、面积为 ，则 a=_16 由曲线 y=x3，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为_17 函数 y=lnx 在区间1， e上的平均值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 01f(x)dx19 设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加证明： (a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx20 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0证明：21 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0证明：对任意 a0，
4、1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)22 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=023 设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(x)dx=0 证明： (1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，且 ，使得 f()=f()24 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0证明：存在一点 a，6，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx25
5、设 f(x)在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在 a ，a，使 a3f()=3a af(x)dx26 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ 01f(x)dx=0试证：至少存在一点 (0，1)，使 f()=f()27 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(1)=k xe1x f(x)dx(k1)证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1 1 )f()28 设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明：29 设 ab，证明： abf(x)g
6、(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx30 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)dtabg(t)dt证明： abxf(x)dxabxg(x)dx31 设出售某种商品，已知某边际收益是 R(x)=(10x)e x ，边际成本是 C(x)=(x24x+6)e x ， 且固定成本是 2求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因
7、为 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt+xx+Tg(t)dt=0xg(t)dt+0Tg(t)dt若 0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt，则 0Tg(t)dt=0反之，若 0Tg(t)dt=0，则0x+Tg(t)dt=0xg(t)dt因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅 0Tf(t)f(t)dt= f2(T)f 2(0)=0，因此，只有 0xf(t)f(t)dt 是以 T 为周期的函数【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，在选项(B)中， 在选项(C)中，在选项(D)中，【知识模块】
8、 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)dx 收敛存在常数 a，使 af(x)dx 和 a f(x)dx 都收敛，此时 f(x)dx= af(x)dx+a f(x)dx设 f(x)=x，则 f(x)是( ，+) 上连续的奇函数，且 =0但是 0f(x)dx= 0xdx=， 0+f(x)dx=0+xdx=，故 f(x)dx 发散，这表明命题 ， 都不是真命题设 f(x)=x，g(x)=x，由上面讨论可知 f(x)dx 与 g(x)dx 都发散，但 f(x)+g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题故应选 (A)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模
9、块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 选积分变量为 y(如图 13-2)，两条曲线的交点【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 xt=u ，则原式= =sinx2【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 事实上， 0af(x)dx 0af(a-t)d(a-t)=0af(a-t)dt=0af(a-x)dx，故 0af(x)dx= 0af(x)+f(a-x)dx当 f(x)+f(a-x)便于积分时可简化定积分 0af(x)dx 的计算 abf(x)dx abf(a+b-t)d(a+b-t)=ab(a+b-t)dt=ab
10、f(a+b-x)dx，故 abf(x)dx= abf(x)+f(a+b-x)dx当 f(x)+f(a+b-x)便于积分时可简化定积分 abf(x)dx 的计算【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 在a，b上至少存在一点 ，使 abf(x)dx=f()(b-a)，ab【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 4.5【试题解析】 平面图形面积 S=1 2(x+2x 2)dx=【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令 =t，则 x=t2+2
11、，dx=2tdt ，原积分 =20+【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 1【试题解析】 y 2=ax 与 x=1 所围面积 A=【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 该旋转体体积 V=01(x3)2dx= 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 平均值【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以，f(x) 在0，1上有最小值和最
12、大值，设为 m，M，即有 x1，x 20，1，使 f(x1)=m，f(x 2)=M由中值定理，对任意 x0，1，存在 (0， x)，使 f(x)=f(x)f(0)=f()x，于是有 f(x1)x=mxf(x)=f(x)f(0)=f()xMx=f(x 2)x，积分得 f(x1)01xdx01f(x)dxf(x2)01xdx，即 f(x1)01f(x)dx f(x2)，故 f(x1)201f(x)dxf(x2)因为 f(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x1，x 2 0，1，或 x2，x 1 0，1，使 f()=201f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 F(t)=(
13、a+t)atf(x)dx2 atxf(x)dx，则 F(t)= atf(x)dx+(a+t)f(t)2tf(t) = atf(x)dx(ta)f(t)= atf(x)dx atf(t)dx =atf(x)f(t)dx 因为 axt，且f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)f(t)0 ，于是有 F(t)= atf(x)f(t)dx0 ， 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) abf(x)dx2 abxf(x)dx0， 即(a+b)abf(x)dx2 abxf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 f2(x)=f(x)f(a) 2
14、=axf(t)dt2，而 axf(t)dt2(xa) axf(t)2dt(xa) abf(t)2dt (施瓦茨不等式 )，所以 abf2(x)dxab(xa)dx abf(t)2dt= abf(x)2dx【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 F(a)=0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)，a 0，1，则 F(a)=g(a)f(a)f(a)g(1)=f(a)g(a)g(1) 因为 x0，1时，f(x)0，g(x)0 ，即函数f(x)，g(x) 在0，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)g(1)0 ， 即函数F(a)在0，1上单调递减
15、，又 F(1)=01g(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(1)g(1) =01g(x)f(x)dxf(1)g(1)=g(1)f(1)g(0)f(0)f(1)g(1) =f(0)g(0)=0， 所以，F(a)F(1)=0 ，即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)0， 即 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 首先证明 f(x)在(0 ，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且sinx 0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 0f(x)sinxdx
16、0 或0f(x)sinxdx0，与题设矛盾所以 f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，) 内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x0，则 f(x)在(0，x 0)和(x 0，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 0f(x)sinxdx=0 矛盾这样，函数 sin(xx 0)f(x)在(0，x 0)和(x 0，)上取相同的符号，即恒正或恒负 那么有： 0f(x)sin(xx 0)dx0但是 0f(x)sin(xx 0)dx=0f(x)(sinxcosx0cosxsinx 0)dx =cosx00f(x)sinxdxsinx 00f(x
17、)cosxdx=0 从而矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 (1)由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得f(c)= abf(x)dx=0设 G(x)=ex f(x)，则 G(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(a)=G(b)=G(c)=0，G(x)=e x f(x)e x f(x)=ex f(x)f(x)由罗尔定理知，分别存在 1(a，c)和 2(c，b)，使得 G(1)=G(2)=0，从而 f(1)=f(1)，f( 2)=f(2)(2)设 F(x)=ex
18、f(x)f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b) 内可导，且F(1)=F(2)=0，则 F(x)=exf(x)f(x)+e xf(x)f(x)=e xf(x)f(x)对 F(x)在区间 1， 2上应用罗尔定理，即存在 (1， 2)，使得 F()=0，故有 f()=f()，且i(i=1，2)【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M 因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)， mabg(x)dxabf(x)g(x)dxMabg(x)dx， m M，从而a， b，使得 f()=【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案
19、】 (1)对任意 xa，af(x)=f(0)+f(0)x+ f()x2=f(0)x+ x2(2) a af(x)dx=a af(0)xdx+ a af()x2dx= a af()x2dx，因为 f(x)在a，a 上连续，由最值定理：mf(x)M ，xa，amx 2f()x2Mx2， ma3=ma ax2dxa af()x2dxMa ax2dx= Ma3，m a af()x2dx=a af(x)dx M，m a af(x)dx由介值定理，存在 a ，a，使得 f()= a af(x)dx【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 F(x)= f(x)，f(1)+ 01f(x)dx=f(1
20、)+f(c)=0，c (0，1)由此可知f(c)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0由连续函数的零点定理知存在 a(0，c)，b(c ，1) ，使 f(a)=f(b)=0，即 F(s)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F()=0，即=0故 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 F(x)=xex f(x)，因 f(1)=k xe1x f(x)dx=e1 f()，(0， )，F(1)=e1 f(1)=e f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得(，1) (0，1
21、)，使 f()=(1 1 )f()【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 设 F(t)=atf(x)dxat dx(t a) 2，则 F(a)=0，且所以 F(b)0，即abf(x)dxab dx(ba) 20，即 abf(x)dxab dx(ba) 2【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 构造辅助函数 F(t)= atf(x)g(x)dx2 atf2(x)dxatg2(x)dx， 则 F(a)=0，且 F(t)=2atf(x)g(x)dx.f(t)g(t)f 2(t)atg2(x)dxg 2(t)atf2(x)dx =at2f(x)g(x)f(t)g(t)f 2(t)g2(
22、x) g2(t)f2(x)dx = atf(t)g(x)g(t)f(x) 2dx0， 所以 F(b)0，即 abf(x)g(x)dx2 abf2(x)dxabg2(x)dx0，即 abf(x)g(x)dx2abf2(x)dxabg2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 当 xa， b)时， axf(t)dtaxg(t)dtaxf(t)g(t)dt0， abf(t)dt=abg(t)dtabf(t)g(t)dt=0， abxf(x)dxabxg(x)dxabxf(x)g(x)dx0，令 G(x)=axf(t)g(t)dt，则 G(x)=f(x)g(x) ，于是 abxf(x)
23、g(x)dx= abxdax(f(t)g(t)dtxaxf(t)g(t)dt ab abax(f(t)g(t)dtdx= abax(f(t)g(t)dtdx0(因为G(x)=axf(t)g(t)dt0)，即 abxf(x)g(x)dx0，即 abxf(x)dxabxg(x)dx【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 R(x)= 0xR(t)dt=0x(10t)e t dt=9 (9x)e x ， C(x)=C(0)+ 0xC(t)dt=2+0x(t24t+6)e t dt=6(x 22x+4)e x 于是利润 L=RC=3+(x 2x5)e x 令 L(x)=0 得：x 0=4(x0)，且 L(4)=5e 4 0可知 L(x)在 x=4 时有极大值，也就是最大值，且 L(4)=3+7e4 【知识模块】 一元函数积分学
