1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1 一 x2)dr 等于( )（A） (1 一 x2)2+C（B） (1 一 x2)2+C（C） 2(1 一 x2)2+C（D）一 2(1 一 x2)2+C2 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可表示为( )二、填空题3 =_4 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)=0xf(t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函数，则 b=_5 设 f(x)C1，+)，广义积分 1+f(x)dx 收敛，且满足
2、f(x)=则 f(x)=_6 1+ =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求8 求9 求10 求11 求12 求x 2arctancdx13 设 (x)=abln(x2+t)dt，求 (x)，其中 a0，b 013 设 f(x)连续，且 F(x)=0x(x 一 2t)f(t)dt证明：14 若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数;15 若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减16 求 0n|cosx|dx17 18 设 f(x)=sin3x+一 xf(x)dx，求 0xf(x)dx19 求20 求21 计算21 设 f(a)=f(b)=0， abf2(x)dx=1，f
3、(x)Ca ，b22 求 abxf(x)f( x)dx;23 证明： abf2(x) dx x2f2(x)dx24 求曲线 y= 与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积25 设 f(x)=一 1x(1 一|t|)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积26 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 xf(1 一 x2)dx= f(1 一 x2)d(1 一
4、 x2)= (1 一 x2)2+C，选(B)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 的极坐标形式为 r2=cos2，再根据对称性，有 选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 因为ln(tanx)= 所以【知识模块】 一元函
5、数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 令 =t，则=t2arctan（1+t）一 t+ln（t 2+2t+2）+C【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 (x)= abln(x2+t)d(x2+t)= (x)=2xln(x2+b)一2xln(x2+a)=【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 设 f(一 x)=f(x)，因为 F(一 x)=(一 x 一 2t)f(t)dt 0
6、 一 x(一 x+2u)f(一 u)(一 du)=0x(x 一 2u)f(u)du=F(x)，所以 F(x)为偶函数【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 F(x)= 0x(x 一 2t)f(t)dt=x0xf(t)dt 一 20xtf(t)dt， F(x)= 0xf(t)dt 一 xf(x)一 xf()一 f(x)，其中 介于 0 与 x 之间， 当 x0 时，x0，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0， 当 x0 时，0x，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0， 从而 F(x)单调不减【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 0n|cosx|dx=n0|cosx|dx
7、= =2n【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 一 xf(x)dx=A，则 f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin 3x+Ax 两边积分得一 xf(x)dx=一 xsin3xdx+一 Axdx，即 A=一 xsin3xdx=20xsin3xdx=0sin3xdx从而 f(x)=sin3x+ 故 0f(x)dx=0(sin3x+ )dx=0sin3xdx+ 0dx= (1+2)【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因为 为奇函数，所以sin2xcos2xdx= sin2
8、x(1 一 sin2x)dx=2(I2 一 I4)【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 x=1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 abxf(x)f(x)dx=【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 abxf(x)f(x)dx= abf2(x)dxabx2f2(x)dx【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 V x=取x，x+dx ，则 dVy=2xcosxdx，故 Vy【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 当一 1x0 时，f(x)= 一 1x(1 一|t|)dt= 一 1x(t+1)dt当 x0 时，f(x)= 一 10(t+1)dt+一 1x(1 一 t)dt=故所求的面积为【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 取x，x+dx 一 2，2，则 dV=2(3 一 x)(4 一 x2)dx，V= 一22dV=2一 22(3 一 x)(4 一 x2)dx=6一 22(4 一 x2)dx=1202(4 一 x2)dx=12 =64【知识模块】 一元函数积分学
