1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数是（A）1+sinx（B） 1-sinx（C） 1+cosx（D）1-cosx 2 函数 F(x)= ，则 F(x)（A）为正数（B）为负数（C）恒为零（D）不是常数二、填空题3 设 f(cos2x)=sin2x，且 f(0)=0，则 f(x)=_4 已知 F(x)是 f(x)=xcosx 的一个原函数，且 ，则 F(x)=_5 设 f(x)在0，1连续， =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6
2、求下列不定积分：7 设函数 f(x)= (0x2)，试求F(x)及f(x)dx.8 求下列不定积分：9 求下列不定积分：10 求下列不定积分：11 计算下列不定积分：12 求下列不定积分：13 计算下列不定积分：14 求下列不定积分：()arctanxdx； ()ixsin 2xdx； ()15 求下列不定积分：16 求 的递推公式(a0，a=1，2 ，3，)17 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 求证：在(a ，b)内至少存在一点 ，使 f()=018 求下列变限积分函数的导数，其中 f(x)连续19 以下计算是否正确? 为什么 ?20 n 为自然数，证明：21 计算
3、下列定积分：22 求 G(x)=23 计算定积分24 求25 计算定积分 (x+1)ln2(x+1)dx26 设 f(x)在a，b上有连续的导函数，且 f(b)=0，当 xa，b时f(x)M，证明：27 设 f(x)，g(x) 均为0 ，T上的连续可微函数，且 f(0)=0，证明：28 求 ，n=0，1，2，3，29 求下列定积分：，其中自然数 n 或 m 为奇数30 设 f(x)连续，证明：考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x)=sinx,从而 f(x)=sin
4、xdx=-cosx+C1，于是 f(x)的全体原函数为 f(x)dx=-sinx+C 1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数 取 C1=0，C 2=1，即得1-sinx 是 f(x)的一个原函数故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故 F(x)=F(0)=，即 F(x)为常数由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 令 u=cos2x，则由题设有 f(u)=1-u，于是 f(u)=+C，
5、令 x=0=f(0)=C，所以 f(x)=【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 xsinx+cosx+1【试题解析】 由题设及原函数存在定理可知f(x)=F(x)= ，其中 C0 为某常数，从而 F(x)= =xsinx+cosx+C0-1又 =C0=2，解得 C0=2，于是F(x)=xsinx+cosx+1【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 4A【试题解析】 由于 f(cosx ) 在(- ，+) 连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 一元
6、函数积分学7 【正确答案】 根据牛顿莱布尼兹公式，当 0x1 时，有【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 再利用上面的直角三角形示意图，则有其中 C1=C-lna ()被积函数的定义域是xa ，即 xa 或 x -a当 xa 时，令 x=asect，于是 0t ，且 dx=asecttantdt，则其中 C1=C-lna 当 x-a 时，令 x=-u，于是 ua，且利用上面已得的结果，有【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ()令 x=tant，则 dx=sec2tdt，且 t=ar
7、ctanx于是【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 () 被积函数中含有两个根式，即 x=t6，则()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，但也能通过变量替换将根式去掉令，即 x=ln(t2-1)，从而【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 () 按照上表第二栏所讲的方法，有为了计算cos2xdx，要用分部积分法，按上表第一栏所讲方法，有()令=t，则戈 =t3，dx=3t 2dt于是原式=sint.3t 2dt=-3t2dcost=-3t2cost+3cost.2tdt=-3t2cost+6tdsint=-3t2
8、cost+6tsint-6sintdt=-3t2cost+6tsint+6cost+C=【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 由于又由于 ，因此，对任意的自然数 n 均可利用上述递推公式求得Im 的值.【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得这就说明 f(c)=f(b)，从而根据假设可得 f(x)在c ，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知在(c ，b)内至少存在一点 使得f()=0，其中 (c，b) (a，b)【知识模块】 一元函数
9、积分学18 【正确答案】 () 注意到积分的上、下限都是 x 的复合函数，由变限积分求导公式(3 8) 可得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分 必须满足两个条件：其一是 f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在 a，b上的一个原函数( )不正确因为 在-2，2上不连续，且 lnx不是 在-2，2上的原函数 ()正确由于 f(x)在-2 ，1 上只有一个第一类间断点 x=0，且是有界函数，因此 f(x)在-2，1上可积，从而利用定积分的性质可知题中的计算过程正确()不正确因为，可知积分应是负值事实上由此可见，本题的题目中所给出的计算是
10、错误的原因在于 在 x=0 不连续，且 x=0 不是的可去间断点，从而 在区间-1，1上的一个原函数，故不能直接在-1，1上应用牛顿一莱布尼兹公式这时正确的作法是把-1，1分为 -1，0与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 ()由于函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x-1 后，有【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 令 x-t=u，于是 t=x-u，且当 t 从 0 变到 x 对应于 u 从 x 变到0，dt=-du，故可得又由题设知 f(x-t)=x-t(tx)，注
11、意到积分变量 t 总不会大于 x，因而【试题解析】 本题的特点是积分中含有参数 x，且它的取值范围是0，+)，由于当参数 x 在不同区间上取值时被积函数有不同表达式，从而需要分段积分【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 在区间0，上按如下方式用牛顿一莱布尼兹公式是错误的即因而不能在0，上对积分，应用牛顿一莱布尼兹公式但可按如卞方法计算：【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 作代换 x=asect，当 t 由 0 变到 时对应于 x 由 a 变到 2a，所以【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 (1)对 利用分部积分公
12、式由于(2)为利用条件 f(b)=0 与f(x)M ，可对函数 f(x)应用拉格朗日中值定理由于 f(x)=f(b)+f()(x-b)=f()(x-b)，于是f(x)Mx-b=M(b-x)，从而【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 () 由于 g(x)连续，所以 关于 t 可导，则利用凑微分及分部积分法有由 f(0)=0 知，上述第二个等号后的第一项为零，于是【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 应用这一递推公式，当 n 为偶数时，就有这说明 Jn 与 In 有相同公式【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 令 g(x
13、)=xf(sinx)，则 g(x)在0，上连续，注意到 sin(-x)=sinx，于是 g(-x)=(-x)fsin(-x)=(-x)f(sinx)，由(*)式可得【试题解析】 在定积分 中作换元，令 t=a-x 可得 x：0a 对应 t：a0，且 dx=-dt，于是当(*)式右端的定积分容易计算时，(*) 式就是积分 的一个简化计算公式在定积分 中，除 f(x)是-a ，a上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外，当 f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式首先中作换元，令 t=-x 可得 x：-a0 对应 t：a0，且 dx=-dt，于是当(*)式右端的定积分容易计算时，(*) 式就是积分 的一个简化计算公式【知识模块】 一元函数积分学
