1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分中收敛的是2 下列反常积分其结论不正确的是3 设 M= ，则有（A）M1N（B） MN1（C） NM 1（D）1MN4 设 P= 则有（A）PQ1（B） PQ1（C） 1PQ（D）1PQ5 设函数 f(x)= ，则（A）F(x)是 f(x)在(- ，+)上的一个原函数（B） F(x)在(- ，+)内可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(- ，+)上不连续（D）F(x)在(-，+)上连续，但不是 f(x)在(-，+)上的原函数6 设函数则在(-，+)内
2、（A）f(x)不连续，F(x)可微且是 f(x)的一个原函数（B） f(x)不连续且不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)与 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)7 设 F(x)= ，f(x)连续，则 F(x)=二、填空题8 函数 f(x)= 上的平均值为 _9 设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且 F(0)=0，则 F(x)=_.10 若函数 f(x)连续并满足 f(x)=x+ ，则 f(x)=_11 已知反常积分=_.三、解答题解
3、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 计算下列反常积分的值：14 设直线 y=x 将椭圆 x2+3y2-6y=0 分成两部分，求椭圆在该直线下方部分的面积15 设 D1 是由曲线 y= 和直线 y=a 及 x=0 所围成的平面区域； D2 是由曲线y= 和直线 y=a 及 x=1 所围成的平面区域，其中 0a1()试求 D1 绕 x轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2(如图 38)；()问当 a 为何值时，V 1+V2 取得最小值?试求此最小值 16 设两曲线 在(x 0，y 0)处有公切线，求这两曲线与x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成
4、的旋转体的体积 V17 设某产品总产量 Q 的变化率为 f(t)=200+5t- ，求：()在 2t6 这段时间中该产品总产量的增加值；()总产量函数 Q(t)18 设 f(x)的原函数 F(x) 0，且 F(0)=1当 x0 时有 f(x)F(x)=sin22x， 试求 f(x)19 比较定积分 的大小20 证明下列不等式：21 设 f(x)在(a，b)上有定义，c (a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问 f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么 ? 22 设 f(x)定义在(a，b)上，c (a，b)，又设 H(x)， G(x)分别在(a，c，c ，
5、b) 连续，且分别在(a，c)与(c ，b) 是 f(x)的原函数令其中选常数 C0，使得 F(x)在 x=c 处连续就下列情形回答 F(x)是否是 f(x)在(a ，b)的原函数 ()f(x)在点 x=c 处连续； ()点x=c 是 f(x)的第一类间断点； ()点 x=c 是 f(x)的第二类间断点23 已知 f(x)= 在(-，+)存在原函数，求常数 A 以及 f(x)的原函数.24 设y1，求 F(y)=25 计算下列不定积分：26 计算下列不定积分：27 计算下列定积分：则x=_28 设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx，且当 x0，)时，f(x)=x，
6、求29 计算下列反常积分：30 设 f(x)= ，求 f(x)考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用对，则有若 q1，则积分，收敛；若 q1，则积分 I 发散由此可知应选(C) 令 t=lnx 通过换元法，经计算也可选出(C) 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ：由于 收敛，于是故(A)正确 对于 (B)：由分部积分有综上分析，(C) 不正确，故选 (C)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 sin(sinx)， c
7、os(cosx)均在 上连续，由 sinx x 知 sin(sinx)即 N1因此选(A) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 利用 上连续，且满足由 QP 可见结论(A) ，(C)不正确，由 可见结论(B)不正确故应选(D)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 (1)利用分段积分法求 F(x)，当 x0 时，由此可见 F(x)在(-，+)上连续，在 x0 处 F(x)=f(x)，又 F-(0)=(x2+1) x=0=1，F +(0) ，从而 F(0)不存在因此(A) ，(B)， (C)都不正确，应选(D)(2)不必计算 F(x)因为 f(x)
8、在(-，+)上的任意区间a，b上可积，故 F(x)连续，但 x=0 是 f(x)的跳跃间断点，不存在原函数，故选(D) 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 可验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为上式等号右端第二项极限不存在(无界，但不为无穷大量)但可以验证 F(x)在 x=0 处可微，且即当 x(-，+)时有 F(x)=f(x)，因而 F(x)是 f(x)在(- ，+)上的一个原函数故选(A)【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空
9、题8 【正确答案】 1【试题解析】 由于【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 -2sinx【试题解析】 按题意 F(x)= 为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sinxdx=(cos2x+C)=-2sinxcosx，从而 f(x)=-2cosx，于是【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 ，只要求得常数 A 就可得到函数f(x)的表达式为此将题设等式两端同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】
10、利用分部积分法，可得【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由于 1+cos2x=2-sin2x，从而可用 () 的结果，即【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 () 由于 ，因而它有原函数()由于 x2-2x=(x-1)2-1，为去掉被积函数中的根号，可令 x-1=sect这样就有()方法 1 采用分解法与分部积分法注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 所求图形(如图 35)的面积为【试题解析】 如图 35，直线 y=x 与椭圆 x2+3y2-6y=0 的交点坐标为 O(0，0
11、)，选用 y 为积分变量更恰当，这时两曲线方程分别为 x=y 与 x=【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 ()D 1 与 D2 可分别表示为在 D1 中对应横坐标为xx+dx 的小窄条绕 x 轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为 a，外半径为，厚度为 dx，故其体积为 dV=(1-x2-a2)dx，从而在 D2 中对应横坐标为 xx+d 戈的小窄条绕 y 轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为 x，高度为 a-，厚度为 dx，故其体积为 ，从而【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 如图 39，先求 a 值与切点坐标：由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线得 我们所求的旋
12、转体体积 V 等于曲线 分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积之差，即【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 f(x)F(x)dx=sin 22xdx= 又 F(x)=f(x)，故f(x)F(x)dx=F(x)dF(x)= 于是 F2(x)=x- sin4x+C，其中 C=2C1-2C2由 F(0)=1得 C=1，所以 F(x)= 故 f(x)=F(x)=【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小当被积函数连续，
13、但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 () 设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且可见函数 f(x)在点，又因f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 设 F(x)是 f(x)在(a ，b)的原函数考察这都与 F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数相矛盾因此 f(x)在(a ，b)不存在原函数【试题解析】 f(x)在(a， c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看 x=c处的情况【知
14、识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 ()F(c)=因此，F(x) 是 f(x)在(a ，b)的原函数()F(x)不是 f(x)在(a ，b)的原函数，因为在这种情形下 f(x)在(a， b)不存在原函数()在这种情形下结论与 f(x)的表达式有关，需要对问题作具体分析【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 易求得仅当 A=0 时 f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在(- ，+)连续，从而存在原函数当 A0时，x=0 是 f(x)的第一类问断点，从而 f(x)在(-， +)不存在原函数因此求得A=0下求 f(x)的原函数 方法 1 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，
15、也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数当 x0 时， 取 C1=0，随之取 C2=1，于是当 x0 -时与 x0 +时f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的一个原函数 因此 f(x)dx=F(x)+C，其中 C 为任意常数方法 2 由 f(x)是连续函数知 f(x)一定存在原函数，并且对任意常数口变上限定积分 均为 f(x)的一个原函数由于 x=0是分段函数 f(x)的分界点，因此可取 a=0下面求 当 x0 时，于是求得 f(x)的一个原函数因此 f(x)dx=F(x)+C，其中C 为任意常数.【知识模块】
16、一元函数积分学24 【正确答案】 把被积函数改写成分段函数的形式，即【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 () 采用凑微分法，并将被积函数变形，则有对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 而第二个积分可使用代换 x=sint，则()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)=acosx-bsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 () 记原式为 J，先分项：方法 2作分部积分，注意方法 2作分部积分注意由
17、于 d(1+tlnt)=d(tlnx)=(lnt+1)dt，从而()利用分项积分法与分部积分法可得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 () 令 x= -t，则()被积函数中含绝对值，可化为分段函数的积分，x=2 是分界点，因此()由于()方法 1作幂函数代换后再分部积分，则有()令 u=sin2x 作换元，则 对应于 u：01，且 du=d(sin2x)=2sinxcosxdx=sin2xdx，于是再令 t=eu 作换元，则 u：01 对应于 t：1e，且()这是有关含根式的积分问题，应通过变量替换去掉根式为此令【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【试题解析】 由于题目
18、只给出了 f(x)在区间0 ，)上的具体表达式，为计算 f(x)在，3上的积分值，就应该通过换元法使其积分区间换到O，上另外，也可以通过 f(x)=f(x-)+sinx 及 f(x)在0，) 上的表达式，求出 f(x)在，3)上的表达式，然后再求积分值这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 () 这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【试题解析】 这里被积函数也含参变量 x，要设法转化为被积函数不含参变量 x 的情形注意相对于积分变量 t 来说 x 是常量先将被积函数恒等变形，作配方 tx-t2= ，于是被积函数中含变量 x 的因子 可分离出来提到积分号外，最后再作变量替换【知识模块】 一元函数积分学
