1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为(-，+) 上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 则F(x)是（A）单调增加的奇函数（B）单调增加的偶函数（C）单调减小的奇函数（D）单调减小的偶函数2 下列函数 f(x)中其原函数及定积分 都存在的是3 积分 cosxln(2+cosx)dx 的值（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的负数（C）是与 a 无关的正数（D）为零4 设 F(x)=f(x)，则（A）当 f(x)为奇函数时， F(x)一定是偶函数（B）当 f(x)为偶函数时，F(x)一定是奇函数
2、（C）当 f(x)是以 T 为周期的函数时， F(x)一定也是以 T 为周期的函数（D）当 f(x)是以 T 为周期的函数时， F(x)一定不是以 T 为周期的函数5 设 f(x)在(-，+) 上连续，则下列命题正确的是（A）若 f(x)为偶函数，则（B）若 f(x)为奇函数，则（C）若 f(x)为非奇非偶函数，则（D）若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)= 是以 T 为周期的周期函数6 设 f(x)= sint dt，则（A）f(x)=f(x+)（B） f(x)f(x+)（C） f(x)f(x+)（D）当 x0 时，f(x) f(x+)；当 x0 时，f(x) f
3、(x+)7 设常数 a 0， ，则（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I2（D）I 1 与 I2 的大小与 的取值有关8 下列反常积分中发散的是9 设 f(t)= ，则 f(t)在 t=0 处（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导二、填空题10 由曲线 y=lnx 与两直线 y=e+1-x 及 y=0 围成平面图形的面积 S=_.11 由曲线 与直线 y=a 及 y 轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 及直线 y=a 所围图形面积的 ，则 a=_12 =_13 =_14 =_15 =_16 设 f(x)连续，f(x)0，则 =_17 =_18 =
4、_19 =_20 =_21 设 y=f(x)满足 y= =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求23 求24 设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= 在 a，b上连续，其中 x0a，b25 设 F(x)= ，试求： ()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； ()26 设曲线 y=bx-x2 与 x 轴所围平面图形被曲线 y=ax2(a0)分成面积相等的两部分，求 a 的值27 设一抛物线过 x 轴上两点(1，0)与(3，0) () 求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛
5、物线仅与 x 轴围成图形的面积；()求上述两平面图形分别绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积之比28 设曲线方程为 y=e-x(x0)()把曲线 y=e-x，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；并求满足 V(a)=的 a 值；()在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴围成的平面图形的面积最大，并求出该面积29 设 D 是位于曲线 下方，x 轴上方的无界区域( )求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；()当 a 为何值时，V(a)最小?并求此最小值30 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 ，求证：至少存在一
6、点 (a，b) 使得 f()=-f()31 设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，f(x) 的值域为 0，+) ，且 f(x)0，f(0)=0又 x=(y)为 y=f(x)的反函数，对于常数 a0，b0，试证明：考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 对被积函数作变量替换 u=x-t，就有由于 f(x)为奇函数，故 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又由积分中值定理知在 0与 x 之间存在 使得 从而 F(x)=xf()-f(x)，无论 x0
7、，还是x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0，从而应选 (C)其实由及 f(x)单调增加也可得 F(x)0【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 像这类题需逐一步分析上述四个选项的 f(x)均不连续 对于(A)：显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上，f(x)一定存在原函数因为当 x0 时x=f(x) ，因此当 x0 时，f(x)的全体原函数x+C 在 x=0 处不可导，从而在任意一个包含 x=0 在内的区间上，x+C不是 f(x)的原函数，所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 存在，因为 f(x)在上述区间
8、上有界，且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B)：显然x=0 是 f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该 f(x)存在原函数 F(x)=而定积分 不存在，因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C) ：显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此 f(x)在包含x=0 在内的区间上不存在原函数定积分 也不存在故(C)也不对对于(D)：显然 x=0 是 f(x)的第二类间断点，容易验证该 f(x)在(- ，+) 上存在原函数F(x)= 也存在(因为 f(x)在(-，+) 上有界，且只有有限个间断点)故(D)正确，应选(D) 【知识模块】 一元函数积分学3 【正
9、确答案】 C【试题解析】 由于被积函数 ln(2+cosx).cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此又因为在0，上，2+cosx0，sin 2x0，因此该积分是与 a 无关的正数故选(C) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x)= +1，则 f(x)=x2 是偶函数，但 F(x)不是奇函数，故可排除(B)令 F(x)=sinx+x，则 f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故可排除(C)令 F(x)=sinx，则 f(x)=cosx，f(x)和 F(x)都是周期函数，故可排除(D)当 f(x)为奇函数时，故 F(x)是偶函数
10、，应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 0 既是偶函数又是奇函数，且 ，所以不选(A)，(B)若 f(x)为非奇非偶函数，也可能有在(-，+)上为非奇非偶函数，但，因此不选(C)，由排除法应选(D) 事实上，利用“若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，则 的值与 a 无关”与奇函数的积分性质可得，所以F(x)= 是以 T 为周期的周期函数【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 在积分 中，令 u=t+，则故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 所以，I1-I20故选(A)【知识模块】 一元函数积
11、分学8 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ：由于当 k1 时由排除法可知，应选(D)因 x=0 是瑕点，从而发散，故反常积分 也发散应选(D)【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 C【试题解析】 当 t0 时，f(t)因 =-1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续故 f(x)在t=0 处不可导选(C) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 解方程组 得唯一交点(e，1)，而所给曲线与直线分别交 x 轴于 x=1 及 x=e+1围成图形如图 310 中阴影部分，其面积【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 先画草图
12、(如图 311)，曲线是开口向下的二次曲线，且与 x 轴的交点为=0 与 x=4由图形的对称性及条件可知 S1=S2，故 S+S2=S+S1，即【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 xlnlnx+C【试题解析】 原式= =lnlnxdx+xd(lnlnx)=d(xlnlnx)=xlnlnx+C【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】
13、【试题解析】 令 cotx=t，则 x0 +时 t+，x= 时 t=0，故再令 t= ，则t+时 x0，t0 +时 x+，于是【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【试题解析】 令 t= -x，则【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 利用分部积分法【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知 ，从而由 f(0)=0 可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 本题是求
14、 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 与 g(xt)不含 x 才可以求导令【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数 f(x)= 还是变限积分注意到这一点就容易求得【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 ，x+ xa，b ，考察由 f(x)在a，b可积 f(x)在a，b有界设f(x)M(x a，b)，则因此， (x+x)-(x)=0，即 (x)在a ，b 上连续【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 () 由 F(x)= ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值0，且无其他
15、极值()F(x)=两侧 F(x)变号，即知 x= 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标()注意到 x2F(x)为奇函数，因此【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 不妨设 b0，画草图如图 312(当 b0 时，其图形与 b0 时的图形关于 y 轴对称) 求两曲线的交点：由【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 设抛物线的方程为 y=a(x-1)(x-3)，其中常数 a0不妨设 a0，如图 313 ()此抛物线与两坐标轴围成图形的面积此抛物线与 x 轴围成图形的面积 从而，由计算结果知S1=S2 ()上述两平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积分别为从而，两者体积之比 V1：
16、V 2=19：8【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 ()()在曲线 y=e-x 上点 处的切线方程是 它与 x轴的交点是(1+x 0，0)，它与 y 轴的交点是 ，于是切线与两坐标轴所围平面图形是两直角边长分别为1+x 0和 的直角三角形，其面积为 令 可解出唯一驻点x0=1，又因 ，在 x0=1 有 S(1)0，故 S 在 x0=1 取得最大值，且 maxS=S(1)= 即过曲线 y=e-x(x0)上点 处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，且该面积是【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 ()()由于 V(a)=因此当 a=e 时 V(a)取最小值，且最小值 V
17、(e)=e2【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由于 又 f(x)在a，b上连续，所以 上的平均值由于 F(x)=exf(x)在 上连续，由积分中值定理即知至少存在一点 c 使得所以在区间c，b上有 F(c)=F(b)由罗尔定理即知存在 (c，b) ，使得 F()=ef()+f()=0，又 e0，所以有 f()=-f()【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 (1)设 ，则 g(a)=f(a)-b令 g(a)=0，得 b=f(a)，即 a=(b)当 0a(b)时，由(x)0 有 f(a)f(b)=b ，从而知g(a)0；当 0(b)a 时有 f(b)=bf(a) ，从而知 g(a)0，所以 g(b)为最小值，即 由于 (g(b) b=f(b)(b)+(b)-(b)-(b)b =b(b)+(b)-(b)-(b)b0，又所以 g(b)0，从而有 (2)对积分用变量替换后再分部积分，有若 a(b)，如图 314-(1) ，则当 ax(b)时 f(a)f(x)f(b)=b ，推知若 a(b)，如图 314-(2)，则当 ax(b)时 f(a)f(x)f(b)=b，推知 若 a=(b)，如图314-(3)，则【知识模块】 一元函数积分学
