1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 31 及答案与解析一、填空题1 设 f(x)在a ，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且=_2 已知 f(x)连续， =_3 设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= (x2-t2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)=_4 已知 f(x)= =_5 =_6 =_7 =_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列不定积分：9 求下列定积分：10 已知 是 f(x)的一个原函数，求 Jx3f(x)dx11 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，且当 x0 时，满足求 f(x)(x0)12 设 f(l
2、nx)= 且 f(0)=0，求函数 f(x)和 f(lnx)13 设 f(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求14 求下列积分(其中 n=1，2，3，) ：15 设 a0， f(x)在(- ，+)上有连续导数，求极限16 求 (x)-tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数， (x)为已知的可微函数17 设 f(x)在(-，+) 连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令()试求 A 的值，使 F(x)在(-，+)上连续；()求 F(x)并讨论其连续性18 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= ，求f(x)19 求函数 f(x)=
3、 在区间e，e 2上的最大值20 设曲线 y=ax2+bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 ，试确定 a、b、c 的值。使该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积最小21 求由直线 x=1，x=3 与曲线 y=xlnx 及过该曲线上一点处的切线围成的平面图形的最小面积22 过原点作曲线 y=lnx 的切线，设切点为 x0，且由曲线 y=lnx，直线 y=0，x=x 0 所围平面图形的面积与由曲线 y=x3，直线 y=0，x=a 所围平面图形的面积相等，求 a的值23 设 P(a，b)是曲线 上的点，且 a5 ()求 P 点处的切线方程； ()由() 中的切线
4、与曲线及 x 轴，y 轴所围成图形绕 x 轴旋转，把所得旋转体的体积表示成 a 的函数，并求其最小值24 求下列平面图形的面积：()y=x ，y=xlnx 及 x 轴所围图形；()y=sinx ，y=cosx ，x=0，x=2 所围图形25 设由曲线 与直线 y=a(其中常数口满足 0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a，求 V(a)的最小值与最小值点26 设 f(x)为非负连续函数，且满足 =sin4x，求 f(x)在 上的平均值27 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 =f(0)证明：在(0，1)内
5、至少存在一点 c，使 f(c)=028 设 f(x)为连续函数，证明：29 设 f(x)在A，B上连续，AabB，求证：30 设 f(x)在(-，+) 上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)= 求证：()若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数()(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点31 证明：当 x0 且 n 为自然数时考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 31 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 因 =f(x)f(x)，所以【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 【试题解析】 设 F(x)= ，从而 F(x)=f(x)，且 F(1)=0，F(0)=-5故【知识
6、模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 【试题解析】 由于又依题设，当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，从而【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 0【试题解析】 用分部积分法由于【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 3【试题解析】 令 x2=t，则原式【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 因(xe x)=ex(x+1)，令 xex=t，则 dt=ex(x+1)dx，于是【知识模块】 一元函数积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 ()注意到(1+tanx
7、) 2= ，这样被积函数分成了两项于是()由于被积函数是 maxx3，x 2，1，所以首先要对 x 的不同取值范围定出被积函数的表达式；其次，为使求得的原函数处处连续，要对任意常数进行“调整” 求解如下： 由于原函数的连续性，有【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 ()利用定积分的分段积分法与推广的牛顿-莱布尼兹公式得由积分区间的对称性及函数奇偶性可知()用分部积分法可得 ()令 x=tant，则 dx=sec2tdt，故 ()用分部积分法，可在(0 ，+) 内求得不定积分 由，可定义被积函数在 x=0 处的值为 0，于是被积函数在0，+)上连续又由 ()令x=2sin2t，则 dx=
8、4sintcostdt，故【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 由分部积分得x 3f(x)dx=x3f(x)-3x2f(x)fx 又由=x22eosx-xsinx-3(xsinx+2cosx)+C=x2cosx-4xsinx-6cosx+C【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 对等式两边积分，得又由 F(x)0，F(0)=-1，可知 C=0，于是 F(x)= 因而，f(x)=F(x)=【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 令 lnx=t 或 x=et，则 上式积分得 由 f(t)在 t=0 处连续，即 f(0+)=f(0-)=f(0)=0，得C1=0，C 2=-1
9、故所求的函数为【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 在上面利用了恒等式 ()建立 Jn 的递推公式.首先事实上述公式对 n=1，2，3，都成立.【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 () 由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 =A而 故令A=0 即可()当 x0 时 F(x)=在 x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得故 F(x)在(-，+)上连续【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】
10、因 f(x)=由 f(x)连续及 x2可导知 f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x).2x f(x)=x在(*) 式中令 x=0 可得 f(0)=0于是(*)式【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 一
11、元函数积分学20 【正确答案】 首先，已知该曲线过原点，因而 c=0又当 0x1 时，y0，可知a0，a+b0于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围面积为该图形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积为可知，要使该图形绕戈轴旋转一周所得立体体积最小，a，b 的值应分别是 b=【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 设(x 0，y 0)为切点，如图 31，则切线方程为 y-y 0=(1+lnx0)(x-x0)由此可知所围图形面积为故当 x0=2 时，S 取得最小值，且 minS=【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 曲线 y=lnx 上一点(x 0，lnx 0)的切线方程为 y-lnx
12、0= 由于切线过原点，故有 lnx0=1 x0=e.由 y=lnx，x 0=e，y=0 所围图形面积【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 () 如图 32，P 处切线方程的斜率为 ，因而 P 处切线方程可表示为()该切线交 x 轴于(10-a，0)，所求旋转体体积 V，可用锥体体积减去曲线部分的旋转体体积，即【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 () 如图 33由 x=xlnx，知两曲线的交点为(e，e) 由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积()如图 34所求面积为【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由曲线 与直线 y=a(其中 0a1)以及 x=0，
13、x=1 围成的平面图形分为左、右两个部分区域，即(见图 35(a)在 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状是圆形薄片，其半径为 ，厚度为 dy，从而这个圆形薄片的体积 dV=(1-y2)dy，于是区域 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积在D2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其内半径为 外半径为 1，厚度为 dy，从而这个圆环形薄片的体积为 dV=1-(1-y2)dy=y2dy，故区域 D2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积把 V1(a)与 V2(a)相加，就得到了【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 令 x
14、-t=u，则【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 由于因而 f()=f(0) 根据题设 f(x)在0，上满足罗尔定理的条件，因此，使得 f(c)=0 成立【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 在左端表达式中令 x=2t，可得在式的第二个表达式中令 t= ，可得在式的第一个表达式中令 t= ，则将式与式代入式可得【试题解析】 所证等式左右两端积分区间相同，被积函数都含 ，不同点是左端被积函数中含 为了能将 lnx 与 ln2 联系起来，可考虑换元 x=2t【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 当 xa， b，h充分小时，x+h A，B，因而 f(x+h)-f(x)在
15、a， b上连续对 作积分变量替换，则有由于上式每一项对 h 可导且 h0 时均趋于零因此，由洛必达法则有【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 ()F(x)在(-，+) 上有定义，且 F(x)=作换元 t=-u，则当 t=0-x u：0x，且 dt=-du，代入可得这表明 F(x)是(- ，+)上的奇函数 () 显然 F(0)=0，由 f(x)在(-，+) 上有连续导数，且 f(0)0 知 使当x 时 f(xx)与 f(0)同号为确定起见，无妨设 f(0)0，于是当x时 f(x)0计算可得故(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 令 f(x)= (1-t2)sin2ntdt，则 f(x)=(x-x2)sin2nx，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)时 f(x)=0 外，均有 f(x)0，故 f(x)在0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当 t0时，sintt，于是当 x0 时有 【知识模块】 一元函数积分学
