1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 元二次型 f(x1，x 2，,x n)=XTAX，其中 AT=A如果该二次型通过可逆线性变换 X=CY 可化为 f(y1， y2，y n)=YTBY，则以下结论不正确的是 ( )（A）A 与 B 合同（B） A 与 B 等价（C） A 与 B 相似（D）r(A)=r(B) 2 设 ， 1， 2 线性相关， 2， 3 线性无关，则( ) （A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C） 1 可用 ， 2， 3 线性表示（D） 可用 1,2 线性表示
2、二、填空题3 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3 为正定二次型，则 a 的取值范围_.4 设 n 阶实对称矩阵 A 满足条件 A2+6A+8E=O，且 A+tE 是正定矩阵，则 t 的取值范围为_5 已知 1=(1， 1，2，2，1)， 2=(0，2，1，5，-1)， 3=(2，0，3，-1，3)，4=(1， 1，0， 4，-1)， 则 r(1， 2， 3， 4)=_6 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3 的正、负惯性指数都是1，则 a=_7 设向量组 1， 2， 3 线
3、性无关，问常数 a，b，c 满足什么条件时，a 1-2，b 2-3， c3-1 线性相关?三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 已知向量组 1=(t，2，1)， 2=(2，t，0) ， 3=(1，-1，1)，试讨论：8 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关?9 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性无关?10 有 k 个坛子，每一个装有 n 个球，分别编号为 1 至 n，今从每个坛子中任取一球，求 m 是所取的球中的最大编号的概率11 已知 P(A)=04，P(B)=025，P(A-B)=025，求 P(AB)，P(AB)，P(B-A)12 将 13 个分别写有
4、A、A、A、C、E、H、I、I、M、M 、N 、T、T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率13 一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以 A、B、C 分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件，判断 A、B、C 是否两两独立，是否相互独立14 设 1， 2， , r， 都是 n 维向量， 可由 1， 2，, r 线性表示，但 不能由1， 2，, r-1 线性表示，证明：r 可由 1， 2， , r-1， 线性表示14 互不相容事件与对立事件的区别何在?说出下列各对事件之间的关系：15 |x-a|2
5、0 与 x20；17 x20 与 x20 与 x22；19 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中恰有一件是废品”；20 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中至少有一件是废品”；21 “20 件产品全是合格品” 与“20 件产品中至多有一件是废品”考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数积分学二、填空题3 【正确答案】 -24【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 3【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案
6、】 -2【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 abc=1【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 当 t-2，3 时， 1， 2， 3 线性无关；【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 当 t=-2 或 t=3 时， 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 每次取球编号有 n 种可能，k 次取球共有 nk 种可能，而“取得号码不超过 m”的可能取法有 mk，类似地，“取得号码不超过 m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m 为最大号码” 的取法有 mk- (m-1)k
7、 种，则 P(m 为最大号码)=m k-(m-1)k/nk【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 利用概率性质 P(A-B)=P(A)-P(AB)，有P(AB)=P(A)-P(A-B)=04-0 25=015；根据加法公式，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+0 25-015=05；根据减法公式，有P(B-A)=P(B)-P(AB)=025-015=0 1；【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 P(13 个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!1112!2!12!)/13!=48/13!【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 根据题意，有
8、 P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4， P(ABC)=1/4，因此P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，A，B，C 两两独立，而 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)，故 A，B，C 不相互独立【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 因为 可由 1， 2，, r 线性表示，设 =k 11+k22+kr-1r-1+krr， 又因为 不能由 1， 2，, r-1 线性表示，所以 kr0，故 r=(1/kr)(p - k 11-k22-kr-1r-1)， 即 r可由 1， 2，,
9、 r-1， 线性表示【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 |x-a|20 与 x20为对立事件；【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 x20 与 x20 与 x22为相容事件；【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”与“20 件产品中恰有一件是废品”为互不相容事件；【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”与“20 件产品中至少有一件是废品”为对立事件；【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 “20 件产品全是合格品 ”是“20 件产品中至多有一件是废品”的子事件，两者呈包含关系，前者包含于后者【知识模块】 一元函数积分学
