1、考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f“(x) 0，y=f(x+x)一 f(x)，其中x0，则( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy02 设 f“(x)连续，f(0)=0 ， 则( ) （A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点3 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内二阶可导，且 f(0
2、)=0，f“(x)0，则在 (0 ，a上( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数4 设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小5 f(x)在( 一，+)内二阶可导，f“(x) 0， 则 f(x)在(一，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零6 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 则下列正确的是( ) （A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大值点（
3、D）x=0 是 f(x)的极小值点7 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) 二、填空题8 9 曲线 的斜渐近线为_10 11 设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 则曲线 y=f(x)在(一 3， f(一 3)处的切线为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)在 上连续，在 内可导，证明：存在 ， 使得 13 求极限14 设 是关于 x 的 3 阶无穷小，求 a，b15 设 求 y(5)(0)16 设当 x0 时，方程 有且仅有一个根，求 k 的取值范围17 求曲线 的渐近线18 证
4、明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x)19 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又|f(x)|M，证明： 20 设函数 f(x)，g(x) 在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f(a)=g(a) ， f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x) 21 证明：当 x0 时，x 2(1+x)ln 2(1+x)22 证明：不等式：23 求 的极值24 设 PQ 为抛物线 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值25 证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)x 226 证明：当 0x1 时，27
5、 证明：28 求 在0，1上的最大值、最小值29 证明方程 在(0，+)内有且仅有两个根30 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xlnx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点31 设 讨论 f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线32 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 32 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：33 存在 (a，b) ，使得 f()=2()34 存在 (a，b)，使得 f()+f()=0考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷
6、 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 根据微分中值定理，y=f(x+ x)一 f(x)=f()x0(x+ x x)，dy=f(x)x0，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 x，所以 f()f(x) ，于是 f()xf(x)x，即 dyy0，选(D)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用2 【正确答案】 B【试题解析】 由 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时， 从而 f“(x)0，于是 f(x)在(一 ，)内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(一 ，
7、0)时，f(x) 0，当 x(0，)时，f(x)0，x=0为 f(x)的极小值点，选(B)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用3 【正确答案】 B【试题解析】 令 h(x)=xf(x)一 f(x)，h(0)=0，h(x)=xf“(x)0(0 得 h(x)0(0xa)， 于是故 在(0，a上为单调减函数， 选(B)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+(x)，所以y 一 dy是x 的高阶无穷小，选(A)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用5 【正确答案】 B【试题解析】 由 得 f(0)
8、=0，f(0)=1 ，因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少，在(一 ，0) 内 f(x)f(0)=1 0，故 f(x)在(一，0)内为单调增函数，再由 f(0)=0，在(一 ，0) 内 f(x)f(0)=0 ，选(B)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用6 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0)=0， 由得 x=0 为极小值点，选(D)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用7 【正确答案】 C【试题解析】 设 显然 而 f(x)在 x=0 处不可导，(A)不对； 即存在只能保证 f(x)在 x=0 处右可导，故(B)不对； 因为于是存在不能保证 f(x)在 x=0 处
9、可导，故(D) 不对； 选(C)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用二、填空题8 【正确答案】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用9 【正确答案】 由得曲线的斜渐近线为 y=3x+5【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用10 【正确答案】 由 得 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用11 【正确答案】 由 得 f(1)=2， 再由得 f(1)=一 2， 又 f(一 3)=f(-4+1)=f(1)=2，f( 一 3)=f(一 4+1)=f(1)=一 2， 故曲线 y=f(x)在点( 一 3，f(一 3)处的切线为 y=2=一 2(x+3)，即 y=一 2x 一 4
10、【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 由柯西中值定理，存在 使得 由拉格朗日中值定理，存在使得 故 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用13 【正确答案】 由 得于是 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用14 【正确答案】 由题意得 解得【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用15 【正确答案】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用16 【正确答案】 令 (1)当 k0 时，由 f(x)0 得 f(x)在(0，+)内单调减少， 再由 f(0+0)=+， 得 k0 时，f(x)在(0， +
11、)内有且仅有一个零点， 即方程 在(0，+)内有且仅有一个根；(2)当 k0 时，令 f(x)=0，解得 因为 所以 为f(x)的最小值点，令最小值 解得 故 或 k0 时，方程 在(0，+)内有且仅有一个根【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用17 【正确答案】 由 得曲线无水平渐近线； 由 得 x=一1 为铅直渐近线； 由 得 x=1 不是铅直渐近线； 由得斜渐近线为 y=x+1【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用18 【正确答案】 令 f(x)=ex 一 1 一(1+x)ln(1+x)，f(0)=0 ， f(x)=e x 一 ln(1+x)一1，f(0)=0； 由 f“(x
12、)0(x0)得 f(x)f(0)=0(x0) ， 再由 f(x)0(x0)得 f(x)f(0)=0(x0) ，即 ex 一 1(1+x)ln(1+x)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用19 【正确答案】 由泰勒公式得 两式相减得 取绝对值得 因为 x2x，(1 一 x)21 一 x，所以 x2+(1 一 x)21，故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用20 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，显然 (a)=(a)=0，“(x)0(xa) 由得 (x)0(xa) ； 再由 得 (x)0(xa)，即 f(x)g(x) 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用21
13、【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2xln 2(1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0； 由得 f(x)0(x 0)； 由 得 f(x)0(x0)，即x2(1+x)ln 2(1+x)(x0)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用22 【正确答案】 得 x=0，因为 所以 x=0 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用23 【正确答案】 令 y=(1 一 x)arctanx=0，得 x=0 或 x=1，因为 y“(0)=10， 所以 x
14、=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用24 【正确答案】 令 因为 关于 y 轴对称，不妨设 a0 过 P 点的法线方程为 设 因为 Q 在法线上，所以 解得 PQ 的长度的平方为由为唯一驻点，从而为最小值点， 故 PQ的最小距离为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用25 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2x 一 ln2(1+x)一2ln(1+x)，f(0)=0 ； 故当0x1 时，(1+x)ln 2(1+x)2【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
15、26 【正确答案】 等价于一 2xln(1 一 x)一 ln(1+x)， 令 f(x)=ln(1+x)一ln(1 一 x)一 2x，则 f(0)=0， 由得 f(x)0(0 x1)，故当 0x1 时，【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用27 【正确答案】 令 方法一 由则 x=0 为f(x) 的最小值点，而最小值为 f(0)=0，故 f(x)0，即 方法二 令得 x=0，因为 所以 x=0 为 f(x)的最小值点，最小值为 f(0)=0，所以有 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用28 【正确答案】 由 f(x)=2x1=0 得 因为 所以 f(x)在0，1上的最大值为 最小值
16、为【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用29 【正确答案】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用30 【正确答案】 f(x)的定义域为(0 ，+)， 由f(x)=lnx+1=0，得驻点为 由 得 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零点 (3)当时，函数 f(x)在(0 ，+)内有两个零点，分别位于 与内.【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用31 【正确答案】 因为 所以 f(x)在(一，+)上单调增加 因为当 x为曲线y=f(x)的两条水平渐近线【知识模块】
17、 中值定理与一元函数微分学的应用32 【正确答案】 令 (x)一(b 一 x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 由 (x)=(b一 x)a-1(bx)f(x)一 af(x)得 (b 一 )a-1(b 一 )f()一 af()且(b 一 )a-10，故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用33 【正确答案】 令 (x)=e-x2f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0， 而 (x)=e-x2f(x)一 2xf(x)且 e-x20，故 f()=2()【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用34 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
