1、考研数学三（微积分）模拟试卷 116 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f()=2， 0f(x)+f“(z)sinxdx=5，则 f(0)等于( )（A）2（B） 3（C） 5（D）不确定2 若 f(sin2x)=cos2x，则 f(x)=( )（A）sinx 一 sin2x+c（B） c 一 x2+c（C） cosx 一 sinx+c（D） x2 一 x+c3 设 =( )4 由曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴围成平面图形的面积为( )（A） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx12x(x 一 1)(2 一 x)dx（B）
2、一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx 二、填空题5 11x(1+x2009)(exex)dx=_6 =_7 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_8 设 y=y(x)二阶可导，且 =(4y)y(0)，若 y=y(x)的一个拐点是(x 0，3)，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求10 求11 求12 求13 求14 设 f(x)在0，+)上可导，f(0)=1，且 f(x)一 f(x)+ 0xf(t)dt=0，求
3、 f“(x)一f(x)exdx15 求16 设 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=0，f(0)= ，求01(t)dt17 计算18 设 f(x)连续，且 =0xf(xt)costdt，求 01f(x)dx19 计算20 计算21 计算22 计算 I= ln(1+tanx)dx23 设 f(x)连续，且 f(x)0xf(t)dt+1= (x0)，求 f(x)24 设 f(x)连续，f(2)=0，且满足 0xtf(3xt)dt=arctan(1+ex)，求 23f(x)dx25 设 f(x)为连续的偶函数，F(x)为 f(x)的原函数，且 11F(x)dx=0，求 F(x)26 设 f(x
4、)=arcsin(x 一 1)2 及 f(0)=0，求 01f(x)dx27 设 f(x)=0x ，求 0f(x)x28 设 f(x)在(0，+)内连续，且 f(x)0，讨论 (x)的单调性，其中 (x)= 29 求 f(x)= 的极值30 设 f(x)在0，1上可导， f(x)0，求 (x)=01f(x)一 f(t)dt 的极值点考研数学三（微积分）模拟试卷 116 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 用分部积分法 0f(x)+f“(x)sinxdx=一 0f(x)dosx+0sinxdf(x) =一f(x)cosx 0+
5、0cosxf(x)dx+f(x)sinx 00f(x)cosxdx =2+f(0) 所以，2+f(0)=5，即 f(0)=3，故选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(sin2x)=cos2x=1 一 sin2x，令 sin2x=t，则 f(t)=1 一 t所以 f(x)=x 一 x2+c故选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2x)与 x 轴的交点是 (0，0)，(1，0)，(2，0) 且0x1 时，y0；1x2 时，y0 因此所求面积为一 01x(x
6、 一 1)(2x)dx+12x(x一 1)(2 一 x)dx故选 C【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 原式= 11x(exex)dx+11x(exex)dxe xex 为奇函数，x(e xex)为偶函数，x 2010(exex)为奇函数所以 11x2010(ex+ex)dx=0 11x(exex)dx=201xd(ex+ex)=2x(ex+ex) 0101x+ex)dx=【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 故所求直线方程为 y 一 0=1(x 一 1)，即 y=x 一 1【知识模块】
7、微积分8 【正确答案】 3【试题解析】 由于 y(x)二阶可导，(x，3) 是拐点，则 y(x0)=3，y“(x 0)=0得4 一y(x0)y(x0)=0，即 =3【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 令 arcsinx=t，则 x=sint，dx=costdt【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由题设知，f(x)一 f(x)+ 0xf(t)dt=0，并且 f(0)=f(0)=1于是
8、，有 (1+x)f(x)一(1+x)f(x)+ 0xf(t)dt=0 两边对 x 求导得 f(x)+(1+x)f“(x)一 f(x)一(1+x)f(x)+f(x)=0即 (1+x)f“(x)一 xf(x)=0 令 f(x)=p，则有(1+x)p一 xp=0lnp=xln(1+x)+lnc，由 f(0)=1，得 c=1代入上式得，p=f(x)= 故 f“(x)一 f(x)exdx=f“(x)exdx 一f(x)e xdx =f(x)ex+f(x)exdxf(x)exdx =f(x)ex+c= +c【试题解析】 f“(x)一 f(x)exdx=f(x)exdxf(x)exdx =f(x)ex+f(
9、x)exdxf(x)exdx =f(x)ex+c 计算该积分的关键是求 f(x)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=0，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 =cosx0xf(u)cosudu+sinx0xf(u)sinudu，且 2e 2x=一 sinx0xf(u)cosudu+f(x)cos2x+cosx0xf(u)sinudu+f(x)sin2x， 4e2x=f(x)一 cosx0xf(u)cosudu 一 f(x)sinxcosxsinx0xf(u)sin
10、udu +f(x)sinxcosx =f(x)一 e2x，从而 f(x)=5e2x于是，有 01f(x)dx=xf(x) 01501xedx【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 将 后再积分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 x=t，则 dx=一 dt于是，【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+1，则 F(0)=1F(x)=f(x)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由 f(x)为连续的偶函数可知， 0xf(t)d
11、t 为奇函数，且 F(x)=0xf(t)dt+c0 又 11F(x)dx=1x0xf(t)dt+c0dx=2c0=0， 所以，F(x)= 0xf(t)dt【知识模块】 微积分26 【正确答案】 01f(x)dx=01f(x)d(x 一 1)=(x1)f(x) 01 一 01f(x)(x 一 1)dx【知识模块】 微积分27 【正确答案】 0f(x)dx=0f(x)d(x 一 ) =(x)f(x) 0 一 0(x 一 )f(x)dx =0sinxdx=2【试题解析】 直接求 f(x)不可能，用分部积分法可把积分号去掉【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为所以(x)在(0，+)内单调增加【试
12、题解析】 函数的单调性可用导数的符号判定【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)当 x0 时，y=x 2x=e2xlnx，y=e 2xlnx(2lnx+2)知 f(x)在 x=0 处不可导但当x很小时，对 x 0 有 y0；对 x0 有 y0，故 f(x)在 x=0 处取极大值 1【试题解析】 先分段求极值，再讨论分段点处的函数值【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由 f(x)0 可知，f(x)单调增加，于是可知 所以 (x)= 0xf(x)一 f(t)dt+x1f(t)一 f(x)dt =xf(x)一 0xf(t)dt+x1f(t)dt+xf(x)一 f(x) =(2x 一 1)f(x)一 0xf(t)dtx1f(t)dt， (x)=2f(x)+(2x 一 1)f(x)一 f(x)一 f(x) =(2x 一 1)f(x) 令 (x)=0，得 x=是 (x)的极小值点【试题解析】 先去掉 (x)的绝对值符号，再求极值【知识模块】 微积分
