1、考研数学三（微积分）模拟试卷 117 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 0xf(t)dt= ，且 f(0)=1，则 f(x)=( )（A）（B） ex（C） e2x（D） e2x2 下列广义积分发散的是( )3 若曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，其中 a，b 是常数，则( )（A）a=0 ，b=一 2（B） a=1，b=一 3（C） a=一 3，b=1（D）a= 一 1，b=一 14 设 a，b， 为常数，则下列函数中弹性函数不为常数的是( )（A）y=ax+b（B） y=ax（C） y=（D）y=x
2、 二、填空题5 =_6 设函数 f(x)的一个原函数为 ，则x 2f(1 一 x3)dx=_7 设 f(x)为连续函数，满足 =f(x)，则 f(x)= _8 设某产品的价格与销售量的关系为 P=10 一 ，则销售量为 30 时的边际收益为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)在a ，b上连续，且对 f(x)+f(y)，求f(x)10 设 f(x)连续，y=y(x)由 exy+(x 一 1)y=ex 确定，又 02xtf(2xt)dt=0xy(t)dt，求 02f(x)dx11 设 f(x)可导，且有 f(x)+xf(x 一 1)=4，又 01f(xt)dx+0x
3、f(t 一 1)dt=x3+x2+2x，求f(x)12 设 f(x)=acosx+b sinx在 x=一 f2(x)dx=2，求常数a、b 的值13 设 (x)=0xf(t)g(xt)dt，其中 g(x)= f(x)=x，求 (x)14 设 f(x)在0，1上连续，且 01f(x)dx=A，求 0111f(t)dt+(1 一 x)f(x)dx15 设 f(x)= 16 求17 设 f(x)、g(x) 在 一 a，a(a0) 上连续，g(x)为偶函数，且满足 f(x)+f(一 x)=A(A为常数)(1)试证： aaf(x)g(x)dx=A0ag(x)dx；(2)计算： sinxarctane x
4、dx18 求 22min(2，x 2)dx19 设 f(x)在 一 1，1上连续， f(0)=1，求 20 计算21 已知 22 计算23 设 f(x)在f(x)dx24 设 f(x)在0，+)上连续且单调增加，试证：对任意的 a、b0，恒有 aaxf(x)dxb0bf(x)一 a0af(x)dx25 设f(x)M ，x 0，1，且 f(0)=f(1)=0，试证： 01f(x)dx M26 设 f(x)在a，b上有连续的二阶导数，并且 f(a)=f(b)=0，当 x(a，b)时，f(x)0，试证：27 已知 f(x)连续，且 x02xf(t)dt+2x0tf(2t)dt=2x3(x 一 1)，
5、求 f(x)在0，2上的最大值和最小值28 设 f(x)在1，+)上连续，且 f(x)0，求 (x)=1x( +lnt)f(t)dt(x1)的最小值，其中 12f(x)dx=a， 12( +lnx)f(x)dx=b29 设 y=y(x)由方程 ex+0y dt 一 ex+x=0 确定，且 y(0)=0，求 y=y(x)的最小值考研数学三（微积分）模拟试卷 117 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 积分得 lnf(x) =2x+ln cf(x)=ce 2x，又 f(0)=1，所以 c=1故选 C【知识模块】 微积分2 【正确
6、答案】 D【试题解析】 2+ (lnx)=ln(lnx) 2+=+故选 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，这两条曲线均过点(1，一 1)，且在此点的斜率相等，即 一 1=1+a+b由于对第一条曲线有即有 2+a=1由此可解得a=一 1，b= 一 1故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 4xx 2 为偶函数，【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 x 2f(1x)dx=一 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 一
7、2【试题解析】 R(30)=一 2【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由 f(x)+f(y)，可得 2xyf(t)dt=(yx)f(x)+f(y)令 x=a，得 2ayf(t)dt=(ya)f(a)+f(y)由变限积分的可导性知，f(y)可导，两边对 y 求导得 2f(y)=g(a)+f(y)+(y 一 a)f(y)分离变量得 积分得 lnf(y)一 f(a)=ln(y 一 a)+lnc，即 f(y)一 f(a)=c(y 一 a)令 y=b，得 c=(x 一 a)+f(a)【试题解析】 建立关于 f(x)的微分方程，解方程可求出 f(x)【知
8、识模块】 微积分10 【正确答案】 02xtf(2xt)dt 02x(2x 一 u)f(u)du=2x02xf(u)du 一 02xf(u)du 由题设有 2x 02xf(u)du02xuf(u)du=0xy(t)dt， 两边对 x 求导得 2 02xf(u)du+4xf(2x)一 4xf(2x)=y(x)，即 2 02xf(u)du=y(x) 令 x=1 得 02f(x)dx= y(1)又 ey(1)+0y(1)=e ，所以， y(1)=1故 02f(x)dx= 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 因为 01f(xt)dt 0xf(u)du，由题设有 0xf(u)du+x0xf(t 一
9、1)dt=x4+x3+2x2两边对 x 求导得 f(x)+ 0xf(t 一 1)dt+xf(x 一 1)=4x3+3x2+4x两边对 x再求导得 f(x)+f(x 一 1)+f(x 一 1)+xf(x 一 1)=12x2+6x+4由 f(x)+xf(x 一 1)=4，得f(x 一 1)=6x2+3x所以， f(x)=6(x+1) 2+3(x+1)=6x2+15x+9【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由 f(x)为偶函数可知，f 2(x)为偶函数于是有【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 这是分段函数的变限积分，在分段积分时，关键是看分段点是否在积分区间内【知识模块】 微积
10、分14 【正确答案】 令 (x)=x1f(t)dt，则 (x)=f(x)，(0)= 01f(t)dt=A于是， 01x1f(t)dt+(1x)f(x)dx=01(x)+(x1)(x)dx =01(x 一 1)(x)dx=(x1)(x) 01 =(0)=A【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (1) aaf(x)g(x)dx=a0f(x)g(x)dx+0af(x)g(x)dx，又 f(x)g(x)dx0af(一 t)g(一 t)dt，所以， aaf(x)g(x)dx=0af(一 t)g(一 t)dt+0af(x)g
11、(x)dx =0af(x)g(x)dx+0af(x)g(x)dx =0af(x)+f(x)g(x)dx =A0ag(x)dx，故 aaf(x)g(x)dx=A0ag(x)dx (2)在积分 sinxarctane xdx 中， f(x)=arctanex，g(x)=sinx因为 g(一 x)=g(x)，由 f(x)+f(一 x)=(arctanex+arctanex)=0，可知 f(x)+f(一 x)=arctanex+arctanex=c(常数)，即 arctanex+arctanex=arctane0+arctane0= ，所以，f(x)，g(x)满足已证结论的条件，故【试题解析】 先拆分
12、，经变量替换转化为同一区间上的积分后再合并【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 所给含参变量的积分不易计算，先将积分拆分，然后由积分中值定理将 f(x)提到积分号外再计算【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 将待求的广义积分转化为已知的广义积分【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 易知，等式右边的两个广义积分收敛，所以原广义积分收敛【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【试题解析】 要证 (1 一 x2)f(x)dx0，即证 (1+x)(1 一 x)f(x)dx0只
13、要构造一个非负的辅助函数即可被积函数不能保证非负性，但将 1 换为 和 a 可得非负函数(因为 f(x)0)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=x0xf(t)dt，则 F(x)=0xf(t)dt+xf(x)于是 F(b)一F(a)=abF(x)dx=ab0xf(t)dt+xf(x)dx abxf(x)+xf(x)dx=2abxf(x)dx，即 abxf(x)dxb0bf(x)dx 一 a0af(x)dx【试题解析】 待证结论的右边 b0bf(x)dx 一 a0af(x)dx 可看作是函数 F(x)=x0af(t)dx在 a、b 两点函数的差，所以可考虑用积分基本公式进
14、行放缩【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 01f(x)dx=01f(x)d(xc)=(xc)f(x) 01 一 01(xc)f(x)dx =一01(xc)f(x)dx，所以 01f(x)dx 01(xc)f(x)dx 01(xc)f(x)dx M01xcdx=M 0c(cx)dx+c1(xc)dx【试题解析】 要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小，用分部积分法建立 f(x)与 f(x)定积分的关系式，然后再放缩由 f(0)=f(1)=0 可知，分部积分应注意应用小技巧 dx=d(xc)，c0 ，1【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由拉格朗日中值定理 f(x 0)一 f(
15、a)=(x0 一 a)f(1)， 1(a，x 0)，f(b)一 f(x0)一(b 一 x0)f(2)， 2(x0，b)【试题解析】 这是广义积分不等式的证明问题，要分广义积分发散和收敛两种情况证明【知识模块】 微积分27 【正确答案】 对已知等式两边分别求导： 左边=(x 02xf(t)dt+2x0tf(2t)dt)=02xf(t)dt+2xf(2x)2xf(2x) =02xf(t)dt， 右边=2x 3(x 一 1)=8x3 一 6x2，由题设有 02xf(t)dt=8x3 一 6x2 两边再对 x 求导得 2f(2x)=24x 2 一 12x即 f(2x)=6x(2x 一 1)=32x(2
16、x 一 1)令 u=2x，得 f(u)=3u(u 一 1)，即 f(x)=3x(x 一 1) 再求 f(x)在0，2上的最值 令 f(x)=6x 一 3=0，得 x= 比较分别是 f(x)的最大值和最小值【试题解析】 对变限积分求导，可得 f(x)的解析式，然后求最值【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 f(x)0，得 1xf(t)dt0(因为 x1) 令 (x)=0，得 x=2 又当 1x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0所以，x=2 是 (x)的极小值点，又驻点唯一，故 x=2 是(x)的最小值点，且最小值为 (2)=(1+ln2) 12f(x)dx 一 12( +lnx)f(x)dx =(1+ln2)ab【知识模块】 微积分29 【正确答案】 方程两边对 x 求导得所以，y(0)=0 为极小值，又驻点唯一，故 y=y(x)的最小值为 y(0)=0【知识模块】 微积分
