1、考研数学三（微积分）模拟试卷 131 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 M= cos(cosx)dx 则有（A）M1N（B） MN1（C） NM 1（D）1MN2 设 P= ，则有（A）PQ1（B） PQ1（C） 1PQ（D）1PQ3 设函数 f(x)= F(x)=1xf(t)dt，则（A）F(x)是 f(x)在(一，+)上的一个原函数（B） F(x)在(一，+)内可微，但不是 f(x)的原函数（C） F(x)在(一，+)上不连续（D）F(x)在(一，+) 上连续，但不是 f(x)在(一，+) 上的原函数4 设函数 则在(一，+)内（A）f(x)
2、不连续，F(x)可微且是 f(x)的一个原函数（B） f(x)不连续且不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)与 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)5 设 F(x)= f(t)dt，f(x)连续，则 F(x)= _6 设 f(x)为( 一，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 0x(2t 一 x)f(x 一 t)dt，则F(x)是（A）单调增加的奇函数（B）单调增加的偶函数（C）单调减小的奇函数（D）单调减小的偶函数二、填空题7 函数 f(x)= 上的平均值为 _8 ()设 f(x)是连续函数，并
3、满足f(x)sinxdx=cos 2x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且F(0)=0，则 F(x)=_； ()若函数 f(x)连续并满足 f(x)=x+01xf(x)dx，则 f(x)=_9 已知反常积分=_10 ()由曲线 y=lnx 与两直线 y=e+1 一 x 及 y=0 围成平面图形的面积S=_； ( )由曲线 y=2x 一 与直线 y=a 及 y 轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 y=2x 一 及直线 y=a 所围图形面积的 ，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设某产品总产量 Q 的变化率为 f(t)=200+5t 一 t2，求：()在
4、 2t6 这段时间中该产品总产量的增加值；()总产量函数 Q(t)12 设 f(x)的原函数 F(x) 0，且 F(0)=1当 x0 时有 f(x)F(x)=sin22x，试求 f(x)13 比较定积分 的大小14 证明下列不等式：15 设 f(x)在(a，b)上有定义，c (a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问 f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么 ?16 设 f(x)定义在(a，b)上，c (a，b)，又设 H(x)， G(x)分别在(a，c，c ，b) 连续，且分别在(a，c)与(c ，b) 是 f(x)的原函数令 F(x)= 其中选常数 C0
5、，使得 F(x)在 x=c 处连续就下列情形回答 F(x)是否是 f(x)在(a，b)的原函数 ()f(x)在点 x=c 处连续； () 点 x=c 是 f(x)的第一类间断点； ()点 x=c是 f(x)的第二类间断点17 ()已知 f(x)= ，在(一 ，+)存在原函数，求常数 A 以及 f(x)的原函数； ()设y1，求 F(y)=11x 一 y e xdx18 计算下列不定积分：19 计算下列不定积分：20 计算下列定积分：21 设函数 f(x)在(一，+)内满足 f(x)=f(x 一 )+sinx，且当 x0，) 时，f(x)=x ，求 3f(x)dx22 计算下列反常积分：23 设
6、 f(x)=0x dt，求 f(x)24 设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求 25 求 I= 26 设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= f(u)du 在a，b上连续，其中 xa，b27 设 F(x)= ，试求： ()F(x)的极值； ( )曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () 23x2F(x)dx28 设曲线 y=bx 一 x2 与 x 轴所围平面图形被曲线 y=ax2(a0)分成面积相等的两部分，求 a 的值29 设一抛物线过 x 轴上两点(1，0)与(3，0) () 求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与 x 轴围成图形的
7、面积；()求上述两平面图形分别绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积之比30 设曲线方程为 y=ex(x0) ()把曲线 y=ex，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；并求满足 V(a)=V()的 a 值； ()在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴围成的平面图形的面积最大，并求出该面积31 设 D 是位于曲线 y= (a1，0x+)下方，x 轴上方的无界区域()求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V(a)；()当 a 为何值时，V(a)最小? 并求此最小值32 设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 ebf(b)=
8、exf(x)dx，求证：至少存在一点 (a，b)使得 f()=一 f()33 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)dx=0f(x)cosxdx=0 试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=034 设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，f(x) 的值域为 0，+) ，且 f(x)0，f(0)=0又 x=(y)为 y=f(x)的反函数，对于常数 a0，b0，试证明： 0af(x)dx+0b(y)dy考研数学三（微积分）模拟试卷 131 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 sin(s
9、inx)， cos(cosx)均在0， 上连续，由 sinxx 知 sin(sinx)，故即N1因此选(A) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由 QP 可见结论(A) ，(C)不正确，由 Q 1 可见结论(B)不正确故应选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 利用分段积分法求 F(x)，当 x0 时，由此可见 F(x)在(一，+)上连续，在 x0 处 F(x)=f(x)，又 F(0)=(x2+1) x=0=1，F +(0)= +1，从而 F(0)不存在因此(A)，(B)，(C)都不正确，应选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】
10、可验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 上式等号右端第二项极限不存在(无界，但不为无穷大量) 但可以验证 F(x)在 x=0 处可微，且即当 x(一 ，+) 时有 F(x)=f(x)，因而 F(x)是 f(x)在(一，+)上的一个原函数故选(A)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得 F(x)=f(lnx)(lnx)一 故应选(A)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 对被积函数作变量替换 u=x 一 t，就有 F(x)= 0x(2t 一 x)f(x 一 t)dt=0x(x 一 2u)f(u)d
11、u =x0xf(u)du 一 20xuf(u)du 由于 f(x)为奇函数，故 0xf(u)du 为偶函数，于是 x0xf(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 0xuf(u)du 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 F(x)= 0xf(u)du+xf(x)一 2xf(x)=0xf(u)du 一 xf(x)， 由积分中值定理知在 0 与 x 之间存在 使得 0xf(u)du=xf()从而 F(x)=xf()一 f(x)，无论x0，还是 x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0 ，从而应选(C) 其实由 F(x)=0xf(u)du 一 xf(u)=0xf(u)一 f(x)du
12、及 f(x)单调增加也可得 F(x)0【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 () 一 2sinx；()x+【试题解析】 () 按题意 F(x)=0xf(t)dt为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sinxdx=(cos2x+C)=一 2sinxcosx，从而 f(x)=一 2cosx，于是 F(x)= 0xf(t)dt=0x 一 2costdt=一 2sinx( )定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 01xf(x)dx=A，只要求得常数 A 就可得到函数 f
13、(x)的表达式为此将题设等式两端同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 利用分部积分法，可得【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 () 解方程组 得唯一交点(e，1)，而所给曲线与直线分别交 x 轴于 x=1 及 x=e+1围成图形如图 310 中阴影部分，其面积()先画草图 (如图 311)，曲线是开口向下的二次曲线，且与 x 轴的交点为 x=0与 x=4由图形的对称性及条件可知 S1=S2，故 S+S2=S+S1，即 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】
14、微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小当被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小【知识模块】 微积分14 【正确答案】 () 设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且可见函数 f(x)在点 x=，又因 f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而【知识模块】 微积分15 【正确答案】 设 F(x)是 f(x)在(a ，b)的原函数考察由于 x=c是 f(x)的第一类间断点
15、，故 f(x)存在，但不相等，即 F+(c)F(c)或 f(c)， 即 F(c)f(c) 这都与 F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数相矛盾因此 f(x)在(a，b)不存在原函数【试题解析】 f(x)在(a， c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看 x=c处的情况【知识模块】 微积分16 【正确答案】 ()F(c)= =f(c)，因此，F(x)是 f(x)在(a， b)的原函数 ()F(x)不是 f(x)在(a ，b)的原函数，因为在这种情形下 f(x)在(a， b)不存在原函数 ()在这种情形下结论与 f(x)的表达式有关，需要对问题作具体分析【试题解析】 关键就看是否有
16、F(c)=f(c)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 () 易求得仅当 A=0 时 f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在(一，+)连续，从而存在原函数当 A0时，x=0 是 f(x)的第一类间断点，从而 f(x)在(一，+)不存在原函数因此求得A=0下求 f(x)的原函数 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数当 x0 时，取 C1=0，随之取 C2=1，于是当 x0 时与 x0 +时 f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的一个原函数 因此 f(x)dx=F(
17、x)+C，其中 C 为任意常数 ()把被积函数改写成分段函数的形式，即 xyex= 从而 F(y)= 11xye xdx=1y(yx)exdx+y1(xy)exdx分别计算上式右端的两个积分即得 1y(y 一 x)exdx=1y(y 一 x)d(ex)=(y 一 x)ex x=1x=y 一 1yexd(yx) =一(y+1)e 1+1yexdx=ey 一 (y+2)， y1(xy)exdx=y1(x 一 y)d(ex)=(xy)ex x=yx=1 一 y1exd(x 一 y) =e(1 一 y)一 y1exdx=e(1一 y)一 e+ey=eyey把以上结果代入知 F(y)=2e y 一 (y
18、+2)一 ey【知识模块】 微积分18 【正确答案】 () 采用凑微分法，并将被积函数变形，则有()如果令 t= ，计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)=acosxbsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosxbsinx)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1)记原式为 J，先分项：()利用分项积分法与分部积分法可得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 ()被积函数中含绝对值，可
19、化为分段函数的积分，x=2 是分界点，因此()令 u=sin2x 作换元，则 x：0 对应于 u：01，且 du=d(sin2x)=2sinxcosxdx=sin2xdx，于是 再令 t=eu 作换元，则 u：01 对应于 t：1e，且()这是有关含根式的积分问题，应通过变量替换去掉根式为此令 u= ，于是 t=ln(1+u2)，且 t：x2ln2 对应于 u： ，故解出 x，得 x=ln2【知识模块】 微积分21 【正确答案】 3f(x)dx=3f(x 一 )+sinxdx【试题解析】 由于题目只给出了 f(x)在区间0 ，)上的具体表达式，为计算 f(x)在，3上的积分值，就应该通过换元法
20、使其积分区间换到0 ，上另外，也可以通过 f(x)=f(x 一 )+sinx 及 f(x)在0，) 上的表达式，求出 f(x)在 ，3)上的表达式，然后再求积分值【知识模块】 微积分22 【正确答案】 () 这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为(1+sint)，代入即得【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【试题解析】 这里被积函数也含参变量 x，要设法转化为被积函数不含参变量 x 的情形
21、注意相对于积分变量 t 来说被积函数中的 x 是常量 先将被积函数恒等变形，作配方 tx 一 t2=一 可分离出来提到积分号外，最后再作变量替换 s=t 一 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 f( )与 g(xt)不含 x 才可以求导令由积分中值定理，在 0 与 x 之间存在 ，使 0xg(u)du=xg()，于是有【知识模块】 微积分25 【正确答案】 这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数 f(x)= 还是变限积分注意到这一点就容易求得【知识模块】 微积分26 【正确答案】
22、x，x+ xa，b ，考察 (x+x)一 (x)= f(M)du=xx+xf(u)du，由 f(x)在a，b可积f(x)在a，b有界设f(x)M(x a，b)，则 (x+ x)一 (x) xx+xf(u)duMx因此， (x+x)一 (x)=0，即 (x)在a，b上连续【知识模块】 微积分27 【正确答案】 () 由 F(x)= ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值 0，且无其他极值 ()F“(x)=2(14x 4)为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标 ()注意到 x2F(x)为奇函数，因此 23x2F(x)dx=22x2F(x)dx+23x2F(x)dx=223x3 dx = (e16 一
23、e81)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 不妨设 b0，画草图如图 312(当 b0 时，其图形与 b0 时的图形关于 y 轴对称)求两曲线的交点：由 bx 一 x2=ax2x(a+1)x 一 b=0【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设抛物线的方程为 y=a(x 一 1)(x 一 3)，其中常数 a0不妨设a0，如图 313(当 a 0 时，其图形与 a0 时的图形关于 x 轴对称) ()此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 S 1=01a(x 一 1)(x 一 3)dx=a 01(x 一 2)2 一 1dx 此抛物线与 x 轴围成图形的面积 S2=13a(x 一 1)(x 一 3)d
24、x=a 131 一(x 一 2)2dx从而，由计算结果知S1=S2 (11)上述两平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 V 1=01a2(x一 1)2(x 一 3)2dx=a212(t2 一 1)2dt = s， V 2=13a2(x1)2(x3)2dx=a211(1t2)2dt=2a201(1t2)2dt= a2从而，两者体积之比 V1：V 2=19：8【知识模块】 微积分30 【正确答案】 ()它与 x 轴的交点是(1+x 0，0) ，它与 y 轴的交点是(0 ，(1+x 0) )，于是切线与两坐标轴所围平面图形是两直角边长分别为1+x 0和1+x 0 的直角三角形，其面积为
25、5= ，x 00令 S=，在 x0=1 有 S“(1)0，故 S 在 x0=1 取得最大值，且 maxS=S(1)=处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，且该面积是 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 因此当 a=e 时 V(a)取最小值，且最小值 V(e)=e2【知识模块】 微积分32 【正确答案】 存在 (a，b)使得 f()=一 f() (a，b)使得f(x)+f(x) x=0(edx=ex) e xf(x)+f(x) x=(exf(x) x=0 现引进辅助函数 F(x)=exf(x)，它在a，b可导，若能在a，b的某区间上用罗尔定理即可得证 由已知条件及积分中值定理即知至少
26、存在一点 c(a， )使得 F(b)=e bf(b)=ecf(c)=F(c)所以在区间c ，b上有 F(c)=F(b)由罗尔定理即知存在 (c，b)，使得 F()=e f()+f()=0，又 e0，所以有 f()=一 f()【知识模块】 微积分33 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0又因为 0= 0f(x)cosxdx=0cosxdF(x)=F(x)cosx 0+0F(x)sinxdx=0F(x)sindx， 所以存在 (0，) ，使 F()sin=0，因若不然，则在(0，) 内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，均与 0F(x)sinxdx=0
27、 矛盾但当 (0，) 时 sin0，故 F()=0 由以上证得，存在满足0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0 再对 F(x)在区间0， ， 上分别用罗尔定理知，至少存在 1(0，f)和 2(，)，使 F( 1)=F(2)=0，即 f( 1)=f(2)=0【试题解析】 令 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=F()=0若由条件 0f(x)cosxdx=0 能找到另一点 (0，)，使 F()=0，再用两次罗尔定理即可【知识模块】 微积分34 【正确答案】 设 g(a)=0af(x)dx+0b(y)dyab，则 g(a)=f(a)一 b令 g(a)=0，得b=f(a)，即 a=(b)当 0a(b)时，由 f(x)0 有 f(a)f(b)=b，从而知 g(a)0；当 0(b)a 时有 f(6)=bf(a)，从而知 g(a)0，所以 g(b)为最小值，即 g(b)= 0(b)f(x)dx+0b(y)dy 一 (b)b由于 (g(b)=f(b)(b)+(b)一 (b)一(b)b =b(b)+(b)一 (6)一 (b)b0，又 g(0)= 0(0)f(x)dx+00(Y)dy 一 (0)0=0(因 (0)=0)，所以 g(b)0，从而有 g(a)= 0af(x)dx+0b(y)dy【知识模块】 微积分
