1、考研数学三（微积分）模拟试卷 133 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(x， y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有 (x，y)D)（B）若 f(x，y) 在 D 可积， f(x，y)0，但不恒等于 0(x，y)D) ，则 f(x，y)d0（C）若 f(x，y) 在 D 连续， f(x，y)d=0 ，则 f(x，y)0(x，y)D) （D）若 f(x， y)在 D 连续，f(x ，y)0 (x，y) D)，则 f(x，y)d01 比较积分值的大小：2 设 I1= ，其中D=(x，y)
2、(x1) 2+(y 一 1)22，则下述结论正确的是（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I13 设 Ii= d，i=1，2，3， 其中，D 1=(x，y)x 2+y2R2， D2=(x，y) x 2+y22R2， D3=(x，y)xR，yR，则下述结论正确的是（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I14 设 I= cos(x2+y2)d，其中D=(x，y) x 2+y21，则（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I25 设 D 是由
3、曲线 y=x3 与直线 x=一 1 与 y=1 围成的区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 (xy+cosxsiny)dxdy=_6 设区域 D=(x，y) x+y1 ，D 1 为 D 在第一象限部分， f(x，y)在 D 上连续且 f(x， y)0，则 f(x，y)d 成立的一个充分条件是（A）f(一 x，一 y)=f(x，y)（B） f(一 x，一 y)=一 f(x，y)（C） f(一 x，y)=f(x，一 y)=一 f(x，y)（D）f(一 x， y)=f(x，一 y)=f(x，y)二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设8 设 f(u)有连续的二阶导数且 z=f(
4、exsiny)满足方程 =e2xz，求 f(u)9 设函数 f(u， v)具有二阶连续偏导数，且满足 f“uu(u，v)=f“ vv(u，v)，若已知f(x，4x)=x，f u(x，4x)=4x 2，求 f“uu(x，4x)，f“ uv(x，4x)与 f“vv(x，4x)10 设函数 z=(1+ey)cosxyey，证明：函数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点11 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P1 和 P2；销售量分别为 Q1 和 Q2；需求函数分别为 Q 1=2402P 1， Q 2=10005P 2； 总成本函数C=35+40(Q1+Q2)试问：厂家如何确定两个
5、市场的售价，才能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少 ?12 求函数 f(x，y)=x 2+8y2 一 4x2y2 在区域 D=(x，y)x 2+4y24，y0上的最大值与最小值13 设闭区域 D=(x，y) x 2+y2y，x0 ，又 f(x，y) 为 D 上的连续函数，且求f(x，y)14 设 f(x)是0，1上单调减少的正值连续函数，证明01xf2(x)dx 01f3(x)dx01f3(x)dx 01f2(x)dx，即要证 I=01f2(x)dx 01f3(x)dx 一 01xf3(x)dx 01f2(x)dx015 求 x(x+2y)d，其中 D 是由曲线 x2+4y2=2x+8y
6、一 1 围成的平面区域16 设函数 f(x，y)连续，则二次积分 f(x，y)dy 等于_17 交换下列积分的积分顺序：18 设 x=rcos，y=rsin，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，) 中的累次积分： () f(x，y)dy； () 01dy01yf(x，y)dx19 设 x=rcos，y=rsin，把极坐标系中的累次积分 dp02sinf(rcos，rsin)rdr 改写成直角坐标系中两种积分次序的累次积分20 设 f(x)= dy，求 01xf(x)dx21 计算下列二重积分：22 计算累次积分 I=01dx1x+1ydy+12dxxx+1ydy+23dxx3ydy
7、23 计算二重积分 I= dxdy，其中 D 是由 y=1，y=x 2 及 x=0 所围区域(如图 433) 24 计算二重积分 I= dxdy，其中 D 是由 y=x，y=0，x=1 所围成的区域(如图 434) 25 计算 (a0)，其中 D 是由圆心在点(a，a)、半径为 a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域26 计算二重积分 (x+y)d，其中积分区域 D 是由直线 x=0，x=2，y=2 与曲线 y=所围成27 计算二重积分 x+y一 2dxdy，其中 D=(x，y)0x2，一 2y228 计算下列二重积分： () 围成的区域； () (x+y)d，其中 D 是由
8、直线 y=x，圆 x2+y2=2x 以及 x 轴围成的平面区域29 计算下列二重积分： () x 2+y2 一 1d ，其中 D=(x，y)0xl，0y ； () sin(x 一 y)d，其中 D=(x，y)0xy230 设函数 计算二重积分 (x，y)d，其中 D=(x，y) x+ y231 求下列二重积分：()I= ，其中 D=(x，y0x1，0y1；()I= 3x+4ydxdy，其中 D=(x，y)x 2+y2132 设函数 f(x)在区间0， 1上具有连续导数，f(0)=1，且满足其中 Dt=(x，y)0xt，0yt 一 x(0t1) 求 f(x)的表达式33 计算二重积分 ye(x+
9、y)d，其中 D 是由直线 y=x 与 y 轴在第一象限围成的区域。34 设 D=x，y)0x+，0y+，求 35 设 D=(x， y)x + ，一y+，求 考研数学三（微积分）模拟试卷 133 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接指出其中某命题不正确 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确 设(x 0，y 0)是 D 中某点，令f(x，y)= 则在在区域 D 上 f(x，y)0 且不恒等于零，但 f(x，y)d=0因此选 (B) 或直接证明其中三个是正确的 命题(A)是正确的用反
10、证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证 若 f(x，y)在 D不恒为零 (x0，y 0)D， f(x0，y 0)0，不妨设 f(x0，y 0)0，由连续性D，且当(x，y) D0 时 f(x，y)0，由此可得 f(x，y)d0，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，y)D) 命题(D)是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证 这是因为 f(x，y)minf(x，y)=f(x 0，y 0)0 ，其中(x 0，y 0)是 D 中某点，于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0，y 0)0，其中 是 D 的面积 命题(C)是正确的若f(x，y
11、)0在 (x，y)D 上 f2(x，y)0 且不恒等于零由假设 f2(x，y)在 D 连续 f2(x，y)d0与已知条件矛盾于是 f(x，y)0 在 D 上成立因此选(B)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 利用求极值的方法可以得到 0 1， (x，y)D( 上述不等式也可由图 418 看出)，因此(A)正确【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 容易看出：D 1 D2，因此(C)正确【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 在积分区域 D=(x，y)x 2+y21上有 (x 2+y2)2x2+y2 ，且等号仅在区域 D 的边界(
12、x，y) x 2+y2=1上与点(0，0)处成立从而在积分区域 D上有 cos(x2+y2)2cos(x2+y2)cos ，且等号也仅仅在区域 D 的边界(x，y)x 2+y2=1上与点(0，0)处成立此外，三个被积函数又都在区域 D 上连续，按二重积分的性质即得 I3I 2I 1，故应选(A)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 用曲线段 =(x，y)y=一 x3，一 1x0与 x 轴，y 轴将区域 D 分成 D1，D 2，D 3，D 4 四个部分(见图 419)，于是 D1 与 D2 关于 y 轴对称，D 3 与 D4关于 x 轴对称由于 xy 对 x 或对 y 均为奇函数
13、，因此 xydxdy=0又由于cosxsiny 对 x 是偶函数，而对 y 是奇函数，所以cosxsinydxdy=0综上所述，应选(A)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 (D) 表明 f(x，y)关于 x 是偶函数，关于 y 也是偶函数，故当条件(D)成立时，结论成立 (A) 不充分如 f(x，y)=xy，有 f(一 x，一 y)=xy=f(x，y) ，但xyd0 同样，令 f(x，y)=xy，可知满足 (C)的条件，但xyd0，故条件 (C)不充分 对条件(B)，令 f(x，y)=xy 2，有 f(一x，一 y)=一 f(x，y)，但 xy2d0【知识模块】 微积分二、
14、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性，分别对两个方程求全微分，由第一个方程可得 du=f 1d(xut)+f2d(yut)+f3d(zut) =f1dx+f2dy+f3dzt(f1+f2+f3)duu(f1+f2+f3)dt，于是可解得 du= 由第二个方程可得 g 1dx+g2dy+g3dz=0 dz= 一 (g1dx+g2dy) 把所得的 dz 代入 du表达式的右端经整理有【试题解析】 在题设的两个方程中共有五个变量 x，y，z，t 和 u按题意 x，y是自变量，u 是因变量，从而由第二个方程知 z 应是因变量，即第二个方程确定 z是
15、x，y 的隐函数这样一来在五个变量中 x，y 和 t 是自变量，u 与 z 是因变量【知识模块】 微积分8 【正确答案】 令 u=exsiny，则有由已知条件，得 f“(u)e2x=e2xf(u)，即 f“(u)一 f(u)=0 此二阶常系数方程的特征方程是 2 一 1=0，特征根 =1，故 f(u)=C1eu+C2eu，其中 C1 和 C2 是两个任意常数【试题解析】 z=f(e xsiny)是 z=f(u)与 u=exsiny 的复合函数，由复合函数求导法可导出 与 f(u)，f“(u)的关系式，从而由 =e2xz 导出 f(u)满足的微分方程式，然后解出 f(u)【知识模块】 微积分9
16、【正确答案】 按复合函数求偏导数的法则将恒等式 f(x，4x)=x 两端对 x 求导数得 f u(x，4x)+4f v(x，4x)=1， 把 fu(x，4x)=4x 2 代入上式可得 f v(x，4x)= 一 x2 (*)再分别将恒等式 fu(x，4x)=4x 2 与(*) 式两端对 x 求导数，并利用 f“uu(x，y)=f“vv(x，y)就有【知识模块】 微积分10 【正确答案】 解得(x ，y)=(2n ，0) 或 (x，y)=(2n+1)，一 2)， 其中 n=0，1，2， ()判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点 在(2n，0)处，由于=一 20，则(2n，0) 是极大值
17、点 在(2n+1) ，2) 处，由于0，则(2n+1)，一 2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点 (2n，0)(n=0，1，2，)，而无极小值点【知识模块】 微积分11 【正确答案】 总收益函数是 R=P1Q1+P2Q2=24P1+10P202P 12 一 005P 22， 总成本函数是 C=35+40(Q1+Q2)=13958P1 一 2P2，于是，该厂的总利润函数是 L(P1，P 2)=RC=一 02P 12 一 005P 22+32P1+12P21395 =一 02(P 180)2 一005(P 2120)2+605 由上式知，厂家应分别按 P1=80，P 2=120 的价格在两
18、个市场上销售该产品，才能获最大利润，最大总利润是 605【知识模块】 微积分12 【正确答案】 首先求 f(x，y)在 D 内其驻点处的函数值令因在 D 内 y0，从而可解出f(x，y)在 D 内有且只有两个驻点 。计算可得其次求 f(x，y)在 D 的边界=(x，y) x2 ，y=0上的最大值与最小值把 y=0 代入 f(x，y)的表达式可得 f(x，0)=x 2，不难得出在 上 f(x，y)的最小值为 f(0，0)=0，最大值为 f(一2，0)=f(2，0)=4 最后求 f(x，y)在 D 的边界 =(x，y)x 2+4y2=4，y0上的最大值与最小值把 y= 代入 f(x，y)的表达式可
19、得一元函数 =x2+(2 一 x2)(4 一 x2)=x45x2+8 令 h(x)=4x3 一 10x=4x(x2 一 内共有三个驻点(0， 1)， ，函数 f(x，y)在这三个驻点处的函数值分别是 又因 f(x，y)在的端点(一 2，0) 与(2，0) 处的函数值为 f(一 2，0)=f(2 ，0)=4比较即知 f(x，y)在 比较以上各值可知 f(x，y)在 D 上的最大值为 f(0，1)=8，最小值为 f(0，0)=0 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 设 f(u，v)dudv=A，在已知等式两边计算区域 D 上的二重积分(图 4 17)，有【试题解析】 在函数 f(x，y)的表达
20、式中含有函数 f(x，y)本身的二重积分，我们曾经遇到过有关定积分的同类问题，可用同样方法求解因二重积分也是一个常数，只要令 f(u，v)dudv=A 即可【知识模块】 微积分14 【正确答案】 记 I=01f2(x)dx 01f3(x)dx01xf3(x)dx 01f2(x)dx，则由定积分与积分变量所 I= 01xf2(x)dx 01f3(y)dy01yf3(y)dy 01f2(x)dx =0101xf2(x)f3(y)dxdy0101yf3(y)f2(x)dxdy = f2(x)f3(y)(x 一 y)dxdy， 其中D=(x，y) 0x1 ，0y1 由于积分区域 D 关于直线 y=x
21、对称，又有 I= f2(y)f3(x)(y 一 x)dxdy 由式与 式相加，得 I= f2(x)f2(y)(y 一 x)f(x)一 f(y)dxdy 由于 f(x)单调减少，所以 I0，即 01f2(x)dx 01f3(x)dx01xf3(x)dx 01f2(x)dx(*) 又 f(x)取正值，故 01xf3(x)dx0， 01f3(x)dx0用 01xf3(x)dx 与 01f3(x)dx 除(*)式，不等式得证。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由于 x2+4y2=2x+8y1 +(y 一 1)2=1，故积分区域D 是 xy 平面上以(1，1) 为中心，长短半轴分别为 2 与 1
22、的椭圆域 引入坐标系的平移 u=x1， v=y 一 1，则 D 在 uv 平面上对应区域 D=(u，v) +v21，且在此利用了 u(v+2)是关于 u 的奇函数，v 是奇函数以及 u2 分别关于 u 与 v 是偶函数，而 D分别关于 u 轴与 v 轴对称，还利用了区域 D的面积是 2，其中 D1 是 D在 uv 平面上第一象限的部分区域(如图 420)因为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 B【试题解析】 设二次积分D 又可表示为 D=(x ，y)0y1， arcsinyx，故交换积分次序即得 dxsinx1f(x，y)dy= 01dyarcsinyf(x，y)dx，所以选 (B)【知识
23、模块】 微积分17 【正确答案】 () 先对 x 积分，就是从区域 D 的左侧边界 x=y2 到右侧边界x=y+2两边界线的交点为(1，一 1)与(4，2)，所以区域 D 又可表示为(如图422) D=(x，y)一 1y2，y 2xy+2，()由题中的累次积分的积分限知，积分区域 D 的图形如图 423，它的上侧边界由抛物线 y=x2 与圆x2+y2=2 构成，二者的分界点为(1，1)，而 D 的下侧边界是 x 轴，D 中最左点的横坐标是 x=0，最右点的横坐标是 从而 D 的另一形式的不等式组表示是 D=(x，y) 0x1 ，0yx 2(x，y)1x 一 x2，所以改变积分顺序时需分块进行积
24、分，即 【试题解析】 在第() 小题中，累次积分的表示式表明：积分区域 D 由两部分构成，当 0x1 时，区域 D 的下侧边界为 y=一 ；当 1x4时，D 的下侧边界为 y=x 一 2，上侧边界为 y= ，即 D=(x，y) 0x1 ，一其图形为图 422 所示，改变积分顺序，先对 x 求积分，就要把区域 D 的边界表示成 y 的函数，即 D 的左侧边界为 x=y2，右侧边界为 x=y+2，最后再求出 x=y2 与 x=y+2 的两个交点的纵坐标 y=一 1 和 y=2，即可将区域 D 表示为 D=(x，y)1y2 ，y 2xy+2，由此不难写出新的累次积分第()小题可作类似分析重要的是画出
25、区域的图形，正确表示积分区域的边界，正确表示积分的上、下限【知识模块】 微积分18 【正确答案】 () 积分区域 D 如图 424 所示，可见区域 D 位于的扇形中，且极点在 D 的边界上，D 的边界方程为 r=cos，于是 D可表示为 D=(r，) ，0rcos ，故()积分区域 D 如图 425 所示，可见区域 D 位于 0 的扇形中，且极点在 D的边界上，D 的上边界方程的直角坐标方程是 x+y=1，从而它的极坐标方程是 r=，于是。可表示为 D=(r，) 0 ，故 01dy01yf(x，y)dx= f(rcos，rsin)rdr。【试题解析】 求解与本例同类问题的步骤是：第一步，画出题
26、设累次积分对应的积分区域 D 的图形；第二步，用极坐标系(r，)中的不等式组表示 D；第三步，按照第二步中结果写出极坐标系中的累次积分【知识模块】 微积分19 【正确答案】 积分区域 D 如图 426 所示，可见 D 由直线 x+y=0 与圆x2+y2=2y 围成，且 D 位于直线 x+y=0 的右上侧容易得出直线 x+y=0 与圆x2+y2=22，的交点为 (0，0)及(一 1，1)，从而区域 D 可表示为【试题解析】 求解与本例同一类型问题的步骤是：第一步，画出对应的积分区域D 的图形；第二步，用直角坐标系中两种不同形式的不等式组表示区域 D；第三步，按照第二步中结果写出相应的两种积分次序
27、的累次积分【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 () 交换积分顺序由于 0x1 时，区域 D 的下侧边界为 y=x，上侧边界为 y= ，其图形为图 428这样，就有=01(1 一 y)sinydy=01(y1)d(cosy)=(y 一 1)cosy 01 一 01cosyd(y1)=1 一 01cosydy=1 一 sin1 ()由现有积分限画出积分区域的图形为图 429，这样就有()积分区域 D 是三角形，如图 431 所示，交换 x，y 的积分次序，得所以原式= 0af(y)dy=f(y) 0a=f(a)一 f(a)【试题解析】 本题虽然是二重积分
28、的计算，而且已经化成了累次积分，但是都不是初等函数，所以不能先对 y 积分，必须交换积分顺序【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由累次积分限知：0x1 时 1yx+1；1x2 时 xyx+1：2x3时 xy3，于是积分区域 D 如图 432 所示，因此 D 可表示为D=(x，y) 1y3 ，y 一 1xy，从而【试题解析】 本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对 y 积分，必须先确定积分区域 D，然后再交换积分顺序【知识模块】 微积分23 【正确答案】 被积函数中含有 ，若先对 y 积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对 x
29、 积分【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因被积函数中含 cos2，而D=(xy)0x1，0yx ，于是【试题解析】 被积函数 xcos2，若先对 x 积分，则原函数不易求出故只能采用先对 y 进行积分，后对 x 积分的积分次序【知识模块】 微积分25 【正确答案】 区域 D 如图 435，区域 D 的上边界是方程为(x 一 a)2+(y 一 a)2=a2 的下半圆上的一段弧，它的方程为 y=a 一 ，下边界方程为 y=0，故区域 D 可表示为【知识模块】 微积分26 【正确答案】 积分区域 D 如图 436 所示，D 的不等式表示是D=(x，y) 0x2 ， y2，从而【知识模块】 微积
30、分27 【正确答案】 因如图 437 所示，用直线 y=一 x+2，y=一 x 将 D 分成 D1，D 2 与 D3，于是可得【知识模块】 微积分28 【正确答案】 () 积分域 D 见图 438D 的极坐标表示是：00 ，0rsin2 ，于是()在极坐标系 x=rcos，y=rsin 中积分区域 D=(r，) 0 ，0r2cos，如图 439，故【试题解析】 第() 小题的积分域涉及圆，自然应该用极坐标系第()小题尽管与圆无关，但是若书直角坐标系，边界曲线的表达式很复杂，所以也应该用极坐标系【知识模块】 微积分29 【正确答案】 () 将积分区域分块，如图 440设 D 1=(x，y)x 2
31、+y21D，D 2=(x，y) x 2+y21D，则 D=D1+D2，且可分块计算二重积分 用极坐标x=cos，y=rsin 计算第一个二重积分由于计算第二个二重积分由于 D2=DD1，故()依图 4 41 所示将区域 D 分割，则sin(yx)dxdy =0dxx+1sin(x 一 y)dy+0dxxx+sin(yx)dy+2dxsin(y 一 x)dy =0cos(xy) x+2dx 一 2cos(y 一x) xx+dx2cos(yx) x2dx【知识模块】 微积分30 【正确答案】 积分区域 D 如图 442 所示不难发现，区域 D 分别关于 x 轴和y 轴对称，而被积函数关于 x 和
32、y 都是偶函数，从而原积分可化为在第一象限积分的 4 倍，即为计算 D2 上积分的方便，引入极坐标：x=rcos，y=rsin，则 x+y=1 的方程为 r=，从而【知识模块】 微积分31 【正确答案】 考察积分区域与被积函数的特点，选择适当方法求解()尽管D 的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便 D 的边界线 x=1及 y=1 的极坐标方程分别为()在积分区域 D 上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂因 D 是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形这时可利用周期函数的积分性质 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin ，则D=(r，)02，0r1从而其中 sin0=由周期函数的积分性质，令 t=+0 就有【知识模块】 微积分32 【正确答案】 积分区域 Dt 如图 443 所示，计算可得解微分方程(*) 又可得 f(t)= 代入 f(0)=1 可确定常数 C=16，故 f(x)=(0x1)【知识模块】 微积分33 【正确答案】 无界区域 D 的左边界是 y 轴，右边界是 y=x，而 y 的取值范围是0y+(如图 444)D 的不等式表示： D=(x ，y)0y+，0xy
