1、考研数学三（微积分）模拟试卷 131 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 M= （分数：2.00）A.M1NB.MN1C.NM1D.1MN3.设 P= （分数：2.00）A.PQ1B.PQ1C.1PQD.1PQ4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)是 f(x)在(一，+)上的一个原函数B.F(x)在(一，+)内可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)在(一，+)上
2、的原函数5.设函数 （分数：2.00）A.f(x)不连续，F(x)可微且是 f(x)的一个原函数B.f(x)不连续且不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)与 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F(x)=f(x)6.设 F(x)= f(t)dt，f(x)连续，则 F(x)= _ （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)为(一，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 0 x (2t 一 x)f(x 一 t)dt，则 F(x)是（分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数D.单调减小
3、的偶函数二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.()设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2 x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且 F(0)=0，则F(x)= 1； ()若函数 f(x)连续并满足 f(x)=x+ 0 1 xf(x)dx，则 f(x)= 2（分数：2.00）填空项 1:_10.已知反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.()由曲线 y=lnx 与两直线 y=e+1 一 x 及 y=0 围成平面图形的面积 S= 1； ()由曲线 y=2x 一与直线 y=a 及 y 轴在第一象限所围平面
4、图形的面积是仅由曲线 y=2x 一 及直线 y=a 所围图形面积的 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设某产品总产量 Q 的变化率为 f(t)=200+5t 一 （分数：2.00）_14.设 f(x)的原函数 F(x)0，且 F(0)=1当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x，试求 f(x)（分数：2.00）_15.比较定积分 （分数：2.00）_16.证明下列不等式： （分数：2.00）_17.设 f(x)在(a，b)上有定义，c(a，b)，又 f(x)在(a，
5、b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?（分数：2.00）_18.设 f(x)定义在(a，b)上，c(a，b)，又设 H(x)，G(x)分别在(a，c，c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是 f(x)的原函数令 F(x)= （分数：2.00）_19.()已知 f(x)= （分数：2.00）_20.计算下列不定积分： （分数：2.00）_21.计算下列不定积分： （分数：2.00）_22.计算下列定积分： （分数：2.00）_23.设函数 f(x)在(一，+)内满足 f(x)=f(x 一 )+sinx，且当 x0，)时，f(x)=x，求 3
6、 f(x)dx（分数：2.00）_24.计算下列反常积分： （分数：2.00）_25.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）_26.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求 （分数：2.00）_27.求 I= （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= （分数：2.00）_29.设 F(x)= （分数：2.00）_30.设曲线 y=bx 一 x 2 与 x 轴所围平面图形被曲线 y=ax 2 (a0)分成面积相等的两部分，求 a 的值（分数：2.00）_31.设一抛物线过 x 轴上两点(1，0)与(3，0)()求证：此抛物线与两坐
7、标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与 x 轴围成图形的面积；()求上述两平面图形分别绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之比（分数：2.00）_32.设曲线方程为 y=e x (x0) ()把曲线 y=e x ，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕x 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；并求满足 V(a)= （分数：2.00）_33.设 D 是位于曲线 y= （分数：2.00）_34.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 e b f(b)= （分数：2.00）_35.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0 试证明：在(0，)内至少
8、存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_36.设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，f(x)的值域为0，+)，且 f(x)0，f(0)=0又 x=(y)为y=f(x)的反函数，对于常数 a0，b0，试证明： 0 a f(x)dx+ 0 b (y)dy （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 131 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 M= （分数：2.00）A.M1N B.MN1C.N
9、M1D.1MN解析：解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在0， 上连续，由 sinxx 知 sin(sinx) ，故3.设 P= （分数：2.00）A.PQ1B.PQ1C.1PQD.1PQ 解析：解析： 由 QP 可见结论(A)，(C)不正确，由 Q4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)是 f(x)在(一，+)上的一个原函数B.F(x)在(一，+)内可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(一，+)上不连续D.F(x)在(一，+)上连续，但不是 f(x)在(一，+)上的原函数 解析：解析：利用分段积分法求 F(x)，当 x0 时， 由此可见 F(x)在(一，+)上
10、连续，在 x0处 F(x)=f(x)，又 F (0)=(x 2 +1) x=0 =1，F + (0)= 5.设函数 （分数：2.00）A.f(x)不连续，F(x)可微且是 f(x)的一个原函数 B.f(x)不连续且不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)与 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F(x)=f(x)解析：解析：可验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 上式等号右端第二项极限不存在(无界，但不为无穷大量) 但可以验证 F(x)在 x=0 处可微，且6.设 F(x)= f(t)dt，f(x)连续，则 F(x)=
11、_ （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得 F(x)=f(lnx)(lnx)一7.设 f(x)为(一，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 0 x (2t 一 x)f(x 一 t)dt，则 F(x)是（分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数 D.单调减小的偶函数解析：解析：对被积函数作变量替换 u=x 一 t，就有 F(x)= 0 x (2t 一 x)f(x 一 t)dt= 0 x (x 一 2u)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 2 0 x uf(u)du 由于 f(x
12、)为奇函数，故 0 x f(u)du 为偶函数，于是x 0 x f(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 0 x uf(u)du 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 F(x)= 0 x f(u)du+xf(x)一 2xf(x)= 0 x f(u)du 一 xf(x)， 由积分中值定理知在 0 与 x 之间存在 使得 0 x f(u)du=xf()从而 F(x)=xf()一 f(x)，无论 x0，还是 x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0，从而应选(C) 其实由 F(x)= 0 x f(u)du 一 xf(u)= 0 x f(u)一 f(x)du 及f(x)单调增加也可得
13、F(x)0二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9.()设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2 x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且 F(0)=0，则F(x)= 1； ()若函数 f(x)连续并满足 f(x)=x+ 0 1 xf(x)dx，则 f(x)= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()一 2sinx； ()x+ ）解析：解析：()按题意 F(x)= 0 x f(t)dt为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sinx
14、dx=(cos 2 x+C)=一 2sinxcosx， 从而 f(x)=一 2cosx，于是 F(x)= 0 x f(t)dt= 0 x 一 2costdt=一2sinx ()定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知 可令 0 1 xf(x)dx=A，只要求得常数 A 就可得到函数 f(x)的表达式为此将题设等式两端同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有 10.已知反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分部积分法，可得11.()由曲线 y=lnx 与两直线 y=e+1 一 x 及 y=0 围成平面图形的
15、面积 S= 1； ()由曲线 y=2x 一与直线 y=a 及 y 轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 y=2x 一 及直线 y=a 所围图形面积的 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：()解方程组 得唯一交点(e，1)，而所给曲线与直线分别交 x 轴于 x=1 及 x=e+1围成图形如图 310 中阴影部分，其面积 ()先画草图(如图 311)，曲线是开口向下的二次曲线，且与 x 轴的交点为 x=0 与 x=4由图形的对称性及条件可知 S 1 =S 2 ，故 S+S 2 =S+S 1 ，即 三、解答题(总题数：25，分数：50.00)12.解答题解答应
16、写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设某产品总产量 Q 的变化率为 f(t)=200+5t 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)的原函数 F(x)0，且 F(0)=1当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x，试求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.比较定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小当被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小 )解
17、析：16.证明下列不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且 可见函数 f(x)在点x= ，又因 f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而 )解析：17.设 f(x)在(a，b)上有定义，c(a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数考察 由于 x=c 是 f(x)的第一类间断点，故 f(x)存在，但不相等，即 F +
18、(c)F (c) 或 )解析：解析：f(x)在(a，c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看 x=c 处的情况18.设 f(x)定义在(a，b)上，c(a，b)，又设 H(x)，G(x)分别在(a，c，c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是 f(x)的原函数令 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()F(c)= )解析：解析：关键就看是否有 F(c)=f(c)19.()已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()易求得 仅当 A=0 时 f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在(一，+)连续，从而存在原函数当 A0 时，x=0 是 f(
19、x)的第一类间断点，从而 f(x)在(一，+)不存在原函数因此求得 A=0下求 f(x)的原函数 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数 当 x0 时， 取 C 1 =0，随之取 C 2 =1，于是当 x0 时与 x0 + 时 f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的一个原函数 因此 f(x)dx=F(x)+C，其中 C 为任意常数 ()把被积函数改写成分段函数的形式，即 xyex= 从而 F(y)= 1 1 xye x dx= 1 y (yx)e x dx+ y 1
20、(xy)e x dx 分别计算上式右端的两个积分即得 1 y (y 一 x)e x dx= 1 y (y一 x)d(e x )=(y 一 x)e x x=1 x=y 一 1 y e x d(yx) =一(y+1)e 1 + 1 y e x dx=e y 一 (y+2)， y 1 (xy)e x dx= y 1 (x 一 y)d(e x )=(xy)e x x=y x=1 一 y 1 e x d(x 一 y) =e(1 一 y)一 y 1 e x dx=e(1 一 y)一 e+e y =e y ey 把以上结果代入知 F(y)=2e y 一 )解析：20.计算下列不定积分： （分数：2.00）_
21、正确答案：(正确答案：()采用凑微分法，并将被积函数变形，则有 ()如果令 t= ，计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是 对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 ()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)=acosxbsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1 sinx+b 1 cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosxbsinx) )解析：21.计算下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记原式为 J，先分项： ()利用分项积分法与分部积分法可得 )解析：22.计算下列定积分： （分数：2.0
22、0）_正确答案：(正确答案： ()被积函数中含绝对值，可化为分段函数的积分，x=2 是分界点，因此 ()令 u=sin 2 x 作换元，则 x：0 对应于 u：01，且 du=d(sin 2 x)=2sinxcosxdx=sin2xdx， 于是 再令 t=e u 作换元，则 u：01 对应于 t：1e，且 ()这是有关含根式的积分问题，应通过变量替换去掉根式为此令 u= ，于是 t=ln(1+u 2 )，且t：x2ln2 对应于 u： ，故 )解析：23.设函数 f(x)在(一，+)内满足 f(x)=f(x 一 )+sinx，且当 x0，)时，f(x)=x，求 3 f(x)dx（分数：2.00
23、）_正确答案：(正确答案： 3 f(x)dx= 3 f(x 一 )+sinxdx )解析：解析：由于题目只给出了 f(x)在区间0，)上的具体表达式，为计算 f(x)在，3上的积分值，就应该通过换元法使其积分区间换到0，上另外，也可以通过 f(x)=f(x 一 )+sinx 及 f(x)在0，)上的表达式，求出 f(x)在，3)上的表达式，然后再求积分值24.计算下列反常积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为
24、a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为 (1+sint)，代入即得 )解析：25.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这里被积函数也含参变量 x，要设法转化为被积函数不含参变量 x 的情形注意相对于积分变量 t 来说被积函数中的 x 是常量 先将被积函数恒等变形，作配方 tx 一 t 2 =一 可分离出来提到积分号外，最后再作变量替换 s=t 一 26.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但
25、分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 f( )与 g(xt)不含 x 才可以求导令 由积分中值定理，在 0 与 x 之间存在 ，使 0 x g(u)du=xg()，于是有 )解析：27.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数f(x)= 还是变限积分注意到这一点就容易求得 )解析：28.设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： x，x+xa，b，考察 (x+x)一 (x)= f(M)du= x x+x f(u)du， 由 f(x)在a，b可积f(x)在a，b有界设f(x)M
26、(xa，b)，则 (x+x)一(x) x x+x f(u)duMx 因此， )解析：29.设 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 F(x)= ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值 0，且无其他极值 ()F“(x)=2(14x 4 ) 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标 ()注意到 x 2 F(x)为奇函数，因此 2 3 x 2 F(x)dx= 2 2 x 2 F(x)dx+ 2 3 x 2 F(x)dx=2 2 3 x 3 dx = )解析：30.设曲线 y=bx 一 x 2 与 x 轴所围平面图形被曲线 y=ax 2 (a0)分成面积相等的两部分，求 a 的值（分
27、数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 b0，画草图如图 312(当 b0 时，其图形与 b0 时的图形关于 y 轴对称)求两曲线的交点：由 bx 一 x 2 =ax 2 x(a+1)x 一 b=0 )解析：31.设一抛物线过 x 轴上两点(1，0)与(3，0)()求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与 x 轴围成图形的面积；()求上述两平面图形分别绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设抛物线的方程为 y=a(x 一 1)(x 一 3)，其中常数 a0不妨设 a0，如图313(当 a0 时，其图形与 a0 时的图形关于 x 轴对
28、称) ()此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 S 1 = 0 1 a(x 一 1)(x 一 3)dx=a 0 1 (x 一 2) 2 一 1dx 此抛物线与 x 轴围成图形的面积 S 2 = 1 3 a(x 一 1)(x 一 3)dx=a 1 3 1 一(x 一 2) 2 dx 从而，由计算结果知 S 1 =S 2 (11)上述两平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 V 1 = 0 1 a 2 (x 一 1) 2 (x 一 3) 2 dx=a 2 1 2 (t 2 一 1) 2 dt = s， V 2 = 1 3 a 2 (x1) 2 (x3) 2 dx=a 2 1 1 (1t 2
29、) 2 dt=2a 2 0 1 (1t 2 ) 2 dt= )解析：32.设曲线方程为 y=e x (x0) ()把曲线 y=e x ，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕x 轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；并求满足 V(a)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 它与 x 轴的交点是(1+x 0 ，0)，它与 y 轴的交点是(0，(1+x 0 ) )，于是切线与两坐标轴所围平面图形是两直角边长分别为1+x 0 和1+x 0 的直角三角形，其面积为 5= ，x 0 0 令 S= ，在 x 0 =1 有 S“(1)0，故 S 在 x 0 =1 取得最大值，且
30、 maxS=S(1)= 处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，且该面积是 )解析：33.设 D 是位于曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 e b f(b)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在 (a，b)使得 f()=一 f() (a，b)使得f(x)+f(x) x= =0(e dx =e x ) e x f(x)+f(x) x= =(e x f(x) x= =0 现引进辅助函数 F(x)=e x f(x)，它在a，b可导，若能在a，b的某区间上用罗尔定理即可得证 由已知条件及积分中值定理即知至少存在
31、一点 c(a， )使得 F(b)=e b f(b)= )解析：35.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosxdx=0 试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0又因为 0= 0 f(x)cosxdx= 0 cosxdF(x)=F(x)cosx 0 + 0 F(x)sinxdx= 0 F(x)sindx， 所以存在(0，)，使 F()sin=0，因若不然，则在(0，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为负，均与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾但当 (0，)时 sin0，故 F()=0 由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1 (0，f)和 2 (，)，使 F( 1 )=F( 2 )=0，即 f( 1 )=f( 2 )=0)解析：解析：令 F(x)= 0 x f(t)dt，则 F(0)=F()=0若由条件 0 f(x)cosxdx=0 能找到另一点(0，)，使 F()=0，再用两次罗尔定理即可36.设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，f(x)的值域为0，+)，且 f(x)0
