1、考研数学三（微积分）模拟试卷 132 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在3.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某邻域内有定义，且在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则（分数：2.00）A.存在常数 k，使B.C.D.当(x) 2 +(y
2、) 2 0 时 f(x 0 +x，y 0 +y)一 f(x 0 ，y 0 )一f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y =o( 4.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 u=e x sin （分数：2.00）填空项 1:_6.()设 f(xy， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：31，分数：62.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.求下列极限： （分数：2.
3、00）_9.证明极限 （分数：2.00）_10. （分数：2.00）_11.设 z=arctan （分数：2.00）_12.设 z=x y y x ，求 （分数：2.00）_13.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_14.设 z=f(u，v)，u=(x，y)，v=(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数 z=f(x，y)，(x，y)的一阶与二阶偏导数（分数：2.00）_15.设 z=f(2x 一 y，ysinx)，其中 f(u，v)有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_16.设 f(x，
4、y)与 (y)均是二次可微函数若 z=f(x，y)，其中 y=y(x)是由方程 x=y+(y)所确定，求（分数：2.00）_17.设 z=z(x，y)是由方程 F(xy，y+z，xz)=0 所确定的隐函数，且 F 具有一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_18.求二元函数 f(x，y)=x 4 +y 4 2x 2 一 2y 2 +4xy 的极值（分数：2.00）_19.求函数 z=x 2 y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值（分数：2.00）_20.求函数 f(x，y)=3x 2 +3y 2 一 x 2 在 D=(x，y)x 2
5、+y 2 16上的最大值与最小值（分数：2.00）_21.将 （分数：2.00）_22.设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求 I= （分数：2.00）_23.设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(一 1，1)和 C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域则 I= （分数：2.00）_24.求 I= （分数：2.00）_25.求 I= （分数：2.00）_26.设 D 由抛物线 y=x 2 ，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序将 I= （分数：2.00）_27.求 I= ydxdy，其中 D 由直线 x=一 2，y=0，y=2 及曲
6、线 x=一 （分数：2.00）_28.设 z(x，y)满足 （分数：2.00）_29.设 f(x，y)= （分数：2.00）_30.求下列各函数的偏导数与全微分： （分数：2.00）_31.求下列复合函数的偏导数： ()设 u=f(x，xy)， v=g(x+xy)，且 f 和 g 具有一阶连续偏导数，求； ()设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_32.设 f 具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分： ()z=f(x 2 +y 2 ，e y cosx)，求 （分数：2.00）_33.设 u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而 x=rs
7、inocos，y=rsinsin，z=rcos()若=0，试证明 u 仅为 与 的函数；()若 （分数：2.00）_34.设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y 一 z=e z 所确定的二元函数，求 dz， （分数：2.00）_35.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x 一 ye y =ze z 所确定，求 du（分数：2.00）_36.设由方程 (bzcy，cx 一 az，aybx)=0 (*) 确定隐函数 z=z(x，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 b 1 一 a 2 0，求 （分数：2.00）_37.设 u=f
8、(x，y，z)有连续的偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由 e xy xy=4 和 e z = （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 132 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析：这是讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导先讨论容易的，即 f(x，y)在点(0，0)处是否可
9、偏导由于 f(x，0)=0 因此 f(x，y)在点(0，0)处不连续故应选(C) 再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性令 y=x 3 ，则 3.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )的某邻域内有定义，且在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则（分数：2.00）A.存在常数 k，使B.C. D.当(x) 2 +(y) 2 0 时 f(x 0 +x，y 0 +y)一 f(x 0 ，y 0 )一f x (x 0 ，y 0 )x+f y (x 0 ，y 0 )y =o( 解析：解析：选项(A)表示 f(x，y)
10、当(x，y)(x 0 ，y 0 )时极限存在；选项(B)表示 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续；选项(D)表示 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微它们在题设条件下都未必成立而选项(C)表示一元函数 f(x 0 ，y)与 f(x 0 ，y 0 )分别在点 y=y 0 ，x=x 0 处连续由于 f x (x 0 ，y 0 )= 4.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 2 I 3 I 1 C.I 3 I 1 I 2 D.I 3 I 2 I 1解析：解析：先比较 I 1 和 I 3 的大小：由于 I 1 和 I 3 被积函数连续，相同且非负，而
11、I 1 的积分域包含了 I 3 的积分域，由性质 7 可知 I 1 I 3 再比较 I 2 和 I 3 的大小：由于 I 2 和 I 3 的积分域相同，又 x 2 +y 2 2xy，由比较定理可知 I 3 I 2 ，从而有 I 1 I 3 I 2 故应选(B)二、填空题(总题数：2，分数：4.00)5.设 u=e x sin （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： (对 x 求导时 y 为常量) 将上式对 y 求导，得(对 y 求导时 x 为常量)6.()设 f(xy， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()dxdy； ()2edx+(e
12、+2)dy）解析：解析：()求解本题的关键是确定函数 f(x，y)的解析式令 u=xy，v= 一 1=u 2 一 uv，即f(x，y)=x 2 一 xy，求一阶全微分可得 df(x，y)=(2xy)dxxdy 在上式中令 x=1，y=1 即得 df (1，1) =dxdy ()利用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算即得 dz=e x+y dx+xd(e x+y )+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)dln(1+y) =e x+y dx+xe x+y d(x+y)+ln(1+y)dx+(x+1) =e x+y dx+xe x+y (dx+dy)+ln(1+y)dx+ 三、解答
13、题(总题数：31，分数：62.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.证明极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x，y)沿不同的直线 y=kx 趋于(0，0)，有 再令(x，y)沿抛物线 y 2 =x 趋于(0，0)，有 )解析：解析：先考察(x，y)沿不同的直线趋于(0，0)时 f(x，y)的极限若不同，则得证；若相同，再考察点(x，y)沿其他特殊的路径曲线趋于(0，0)时 f(x，y)的极限10. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设 z=
14、arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定义 )解析：12.设 z=x y y x ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =yx y1 y x +x y y x lny=xy y1 y x (y+xlny)， =x y1 lnxy x (y+xlny)+x y1 xy x1 (y+xlny)+xny)+x y1 y x (1+ )解析：13.设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)都是可微函数，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数求导法可得 )解析：14.设 z=f(u，v)，u=(x
15、，y)，v=(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数 z=f(x，y)，(x，y)的一阶与二阶偏导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 第二步，再求 (f 1 )这里 f(u，v)对中间变量 u，v 的导数 f 1 = 仍然是 u，v 的函数，而 u，v 还是 x，y 的函数，它们的复合仍是 x，y 的函数，因而还要用复合函数求导法求 (f 2 )即 )解析：15.设 z=f(2x 一 y，ysinx)，其中 f(u，v)有连续的二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f 1 (2x 一 y，ysinx)2+f 2 (2x 一 y，ysinx)ycosx， =一2
16、f“ 11 (2xy，ysinx)+2f“ 13 (2x 一 y，ysinx)sinx 一 f“ 21 (2x 一 y，ysinx)ycosx+f“ 22 (2xy，ysinx)sinxycosx +f 2 (2xy，ysinx)cosx 为书写简便，可以把变量省略，写成 )解析：16.设 f(x，y)与 (y)均是二次可微函数若 z=f(x，y)，其中 y=y(x)是由方程 x=y+(y)所确定，求（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y+(y)两端对 x 求导，得 )解析：17.设 z=z(x，y)是由方程 F(xy，y+z，xz)=0 所确定的隐函数，且 F 具有一阶连续偏导
17、数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程 F(xy，y+z，xz)=0 看成关于(x，y)的恒等式，两端求全微分，由一阶全微分形式不变性可得 0=dF(xy，y+z，xz)=F 1 d(xy)+F 2 d(y+z)+F 3 d(xz) =F 1 (ydx+xdy)+F 2 (dy+dz)+F 3 (zdx+xdz) =(yF 1 +zF 3 )dx+(xF 1 +F 2 )dy+(F 2 +xF 3 )dz， )解析：18.求二元函数 f(x，y)=x 4 +y 4 2x 2 一 2y 2 +4xy 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为求函数 f(x，y)的驻点，
18、解如下方程组 得到三个驻点(x 1 ，y 1 )=(0，0)，(x 2 ，y 2 )= 为判定上述三个驻点是否是极值点，再计算 在点(0，0)处，由于 A(0，0)=一 40，B(0，0)=4，C(0，0)=一 4，且 ACB 2 =0，故无法用充分条件判断点(0，0)是不是 f(x，y)的极值点但由于在直线 y=x 上，f(x，y)=2x 4 在 x=0 取极小值；而在直线 y=一 x 上，f(x，一 x)=2x 4 8x 2 在 x=0 取极：大值，所以点(0，0)不是函数 f(x，y)的极值点 在点( )处，由于A=200，B=4，C=20，ACB 2 =3840，故 f( )=一 8
19、是函数 f(x，y)的极小值 在点(一 )处，由于 A=200，B=4，C=20，ACB 2 =3840，故 f(一 )解析：19.求函数 z=x 2 y(4 一 x 一 y)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 41 所示，它是有界闭区域z(x，y)在 D 上连续，所以在 D 上一定有最大值与最小值，或在 D 内的驻点达到，或在 D 的边界上达到 为求 D 内驻点，先求 得 z(x，y)在D 内有唯一驻点(x，y)=(2，1)且 z(2，1)=4 在 D 的边界 y=0，0x6 或 z=0，0y6
20、上 z(x，y)=0； 在边界 x+y=6(0x6)上将 y=6 一 x 代入得 z=x 2 (6 一 x)(一 2)=2(x 3 一 6x 2 )，0x6， 令h(x)=2(x 3 一 6x 2 )，则 h(x)=6(x 2 一 4x)，h(4)=0，h(0)=0，h(4)=一 64，h(6)=0， 即 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为一 64 因此， )解析：20.求函数 f(x，y)=3x 2 +3y 2 一 x 2 在 D=(x，y)x 2 +y 2 16上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数 f(x，y)在有界闭域 D
21、上连续，所以 f(x，Y)在 D 上存在最大值与最小值解方程组 得两个驻点(x，y)=(0，0)与(x，y)=(2，0) 令 F(x，y，)=3x 2 +3y 2 一 x 3 一 (x 2 +y 2 16)，解方程组 )解析：21.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：采用直角坐标系 x 2 +y 2 =2ax 与 x 2 +y 2 =2ay 是两个圆，其交点为 0(0，0)与P(a，a)从 D 的图形(图 410)可知 )解析：22.设 D 是由曲线 =1(a0，b0)与 x 轴，y 轴围成的区域，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对 x 积分区域 D 如图 41
22、2 所示 )解析：23.设 D 是 Oxy 平面上以 A(1，1)，B(一 1，1)和 C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域则 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：8)解析：解析：连 将区域 D 分成 D 1 (三角形 OAB)，D 2 (三角形 OBC)两个部分(见图 413)，它们分别关于 y 轴与 x 轴对称由于 (xy)对 x 与 y 均为奇函数，因此 24.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 414被积函数只含 y，先对 x 积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单若先对 y 积分，则求积分 要费点功夫 选择先对 x 积分，将 D 分块：
23、)解析：25.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分区域 D 上被积函数分段表示为 y 一 x 2 = (x，y)D， 因此要将 D 分块，用分块积分法又 D 关于 y 轴对称，被积函数关于 x 为偶函数，记 D 1 =(x，y)(x，y)D，x0，yx 2 ，D 2 =(x，y)(x，y)D，x0，yx 2 ， )解析：26.设 D 由抛物线 y=x 2 ，y=4x 2 及直线 y=1 所围成用先 x 后 y 的顺序将 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 415 所示，将 D 分成 x0 与 x0 两部分，用分块积分法得 )解析：27.求 I=
24、 ydxdy，其中 D 由直线 x=一 2，y=0，y=2 及曲线 x=一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 的图形如图 416 所示若把 D 看成正方形区域挖去半圆 D 1 ，则计算 D 1 上的积分自然选用极坐标变换若只考虑区域 D，则自然考虑先 x 后 y 的积分顺序化为累次积分若注意 D关于直线 y=1 对称，选择平移变换则最为方便 作平移变换 u=x，v=y1，注意曲线 x=一 即 x 2 +(y1) 2 =1，x0，则 D 变成 DD由 u=一 2，v=一 1，v=1，u 2 +v 2 =1(u0)围成，则 )解析：28.设 z(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答
25、案：(正确答案：把 y 看作任意给定的常数，将等式两边对 x 求积分得 )解析：解析：实质上这是一元函数的积分问题当 y 任意给定时，求 z(x，y)就是 x 的一元函数的积分问题，但求积分后还含有 y 的任意函数，要由 z(1，y)定出这个任意函数29.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求下列各函数的偏导数与全微分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得 )解析：31.求下列复合函数的偏导数： ()设 u=f(x，xy)， v=g(x+xy)，且 f 和 g 具有一阶连续偏导数，求； ()设 z
26、= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由复合函数求导法可得 =f 1 +yf 2 又 v=g(x+xy)是一元函数v=g(z)与 z=x+xy 的复合函数，z 是中间变量，同样由复合函数求导法得 ()先求 由于f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y)是一元函数 (v)与二元函数v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便，由复合函数求导法则得 )解析：32.设 f 具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分： ()z=f(x 2 +y 2 ，e y cosx)，求 （分
27、数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用一阶全微分形式不变性与全微分的四则运算法则可得 dz=f 1 d(x 2 +y 2 )+f 2 d(e y cosx) =(2xdx+2ydy)f 1 +(一 e y sinxdx+e y cosxdy)f 2 =(2xf 1 e y sinxf 2 )dx+(2yf 1 +e y cosxf 2 )dy， z x =2xf 1 e y sinxf 2 ，z y =2yf 1 +e y cosxf 2 从而 =z“=(x x ) y =(2xf 1 e y sinxf 2 ) y =2x(f 1 ) y 一 e y sinxf 2 一 e y si
28、nx(f 2 ) y =2x(2yf“ 11 +e y cosxf“ 12 )一 e y sinxf 2 一 e y sinx(2yf“ 21 +e y cosxf“ 22 ) =4xyf 11 +2e y (xcosxysinx)f“ 12 一 e 2y sinxcosxf“ 22 一 e y sinxf 2 ()u= 复合而成的 x，y，z 的三元函数先求 du(从而也就求得 )由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 )解析：33.设 u=u(x，y，z)具有连续偏导数，而 x=rsinocos，y=rsinsin，z=rcos()若=0，试证明 u 仅为 与 的函数；()若 （
29、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按函数的复合关系可得 =A(r 2 sincoscos 2 +r 2 sincossin 2 一 r 2 sincos) =r 2 (sincos 一 sincos)=0， 所以 u 不依赖于 注意到中间变量 z 不依赖于自变量 ，所以 )解析：解析：这是三个中间变量、三个自变量的复合函数，变量间的依赖关系如下： 为证明结论()，只需证明34.设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y 一 z=e z 所确定的二元函数，求 dz， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程两边求全微分后求出 dz 由 dz 可求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得 ydx+xdy+dx+dydz=e z dz )解析：35.设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xe x 一 ye y =ze z 所确定，求 du（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x，y，z)=xe x 一 ye y ze z ，则 )解析：36.设由方程 (bzcy，cx 一 az，aybx)=0 (*) 确定隐函数 z=z(x，y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 b 1 一 a 2 0，求 （分数：2.00）_
