1、考研数学三（微积分）模拟试卷 124 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=xe x ，则 （分数：2.00）A.0B.+C.一D.不存在，仇也不是3.设 （分数：2.00）A.等价无穷小B.二阶无穷小C.三阶无穷小D.四阶无穷小4.设 f(x)=x 一 sinxcosxcos2x，g(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低价无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小二、填空题(总题数：1，分数：2.00)5.已知 （分数：2.00）填
2、空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.判断下列结论是否正确，并证明你的判断 ()设当 nN 时 x n y n ，已知极限 =B 均存在，则 AB； ()设 f(x)在(a，b)有定义，又存在 c(a，b)使得极限 =A，则 f(x)存(a，b)有界； ()若 =，则存在 0，使得当 0x 一 a 时 （分数：2.00）_8.设 f(x)= （分数：2.00）_9.设常数 x0，求极限 （分数：2.00）_10.求下列极限： （分数：2.00）_11.求下列极限： （分数：2.00）_12.()设常数
3、a0，求 （分数：2.00）_13. （分数：2.00）_14.求数列极限 w= （分数：2.00）_15.设 x n = （分数：2.00）_16.求数列极限： （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1连续，求 （分数：2.00）_18.求下列极限： （分数：2.00）_19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)= （分数：2.00）_21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.求下列极限： （分数：2.00）_23.求下列极限： （分数：2.00）_24.求下列极限： （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 124 答案解析(总分：48.00，
4、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=xe x ，则 （分数：2.00）A.0B.+C.一D.不存在，仇也不是 解析：解析：3.设 （分数：2.00）A.等价无穷小B.二阶无穷小C.三阶无穷小 D.四阶无穷小解析：解析：4.设 f(x)=x 一 sinxcosxcos2x，g(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低价无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得二、填空题(总题数：1，分数：2.00)5.已知 （分
5、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.判断下列结论是否正确，并证明你的判断 ()设当 nN 时 x n y n ，已知极限 =B 均存在，则 AB； ()设 f(x)在(a，b)有定义，又存在 c(a，b)使得极限 =A，则 f(x)存(a，b)有界； ()若 =，则存在 0，使得当 0x 一 a 时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()不正确令 a n =x n 一 y n ，则有 a n 0(nN)，因此 (x n 一 y n
6、)=AB0，即在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，x n = =0 ()不正确这时只能保证：存在点 c 的一个空心邻域 U 0 (c，)=x0x 一 c，使 f(x)在 U 0 (c，)中有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ，(a，b)=(0，1)，取定 c(0，1)，则 在(0，1)无界 ()正确因为 =0，由存在极限的函数的局部有界性即知：存在 0，使得当0x 一 a 时 )解析：8.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 由 f(0+0)=f(0 一 0)，得 a=因此，当且仅当 a= 时，存在 )解析：解析：分别求右、左极限 f
7、(0+0)与 f(00)，由 f(0+0)=f(00)定出 a 值9.设常数 x0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题中两个极限都是 1 型未定式，可用如下方法求解 limf(x) g(x) =e A ，其中 A=limg(x)f(x)一 1 )解析：11.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.()设常数 a0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：第()题是 型未定式，若直接用洛必达法则求解较繁，应先分离出非未定式因子，再用等价无穷小因子替换：
8、若 a0，则 a y 一 1ylna(y0)，最后用洛必达法则求解第()题是 型未定式，直接用洛必达法则求不出该极限，若利用 13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求数列极限 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小 )解析：16.求数列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()存在自然数 k，kM，使 1 ，当 nk 时，有 即当 nk时，有 0 =0。 ()由于x n 有界，故 0，对一切 n 有x n M于是 0 ，由题()的结
9、论及夹逼定理知 )解析：17.设 f(x)在0，1连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 0 1 n dx= ，且连续函数 f(x)在0，1存在最大值与最小值，分别记为 M 与 m，则 )解析：18.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x1 时，t=xlnx0 则 x x 一 1=e xlnx 一 1=e t 一 1t=xlnx，于是用等价无穷小因子替换得 =1 ()利用如下的等价无穷小因子替换：当 x1 时， ln(x 2 一 2x+2)=ln(x 一 1) 2 +1(x 一 1) 2 ， )解析：19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确
10、答案：(正确答案：函数 f(x)分别在区间(一，0)，(0，1)，(1，+)内连续，从而可去间断点的可疑点为 x=0 与 x=1由于 所以 x=1 为第二类间断点由于 又 )解析：20.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定义可知 f(x)分别在(一，0)，(0，+)内连续，又因 因此，补充定义f(0)= )解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先求出 f(x)注意到 其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在(一，一 1)，(一 1，1)，(1，+)上连续 最后，只需考察函数 f(x)在分界点 x=1 处连续所应满足的条件由于
11、 从而 f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(1 一 0)=f(1)a+b=1= (a+b+1) a+b=1： f(x)在 x=一 1 连续 f(一 1+0)=f(一 1 一 0)=f(一 1)a 一 b=一 1= (a 一 b1) ab=一 1 因此f(x)在 x=1 均连续 )解析：22.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()恒等变形：分子分母同除以 x，得 )解析：23.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属 型根据其特点可先作恒等变形与变量替换后再川洛必达法则求极限 w= =1，其中 t=xsinx ()先作恒等变形，并作当 x0 时等价无穷小代换 x 2 ，然后结合极限四则运算法则即得 )解析：24.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属0 型化为 型后再直接用洛必达法则求极限都不方便，应先作恒等变形再求解 ()属一型先通分化成 。直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明 ln(x+ )x(x0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)x(x0)就有 )解析：
