1、考研数学三（微积分）模拟试卷 178 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设(a n 与b n )为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n 0，则 D.若 a n 为无穷大，且 3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)4，f(2) ，f(4)6，则 g(4
2、)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线 y （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条5.设 条件收敛，且 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r1D.r1二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)可导且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 yy(x)由 ye xy xcosx10 确定，求 dy x0 1（分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x
3、) D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求极限 （分数：2.00）_14.证明： （分数：2.00）_15.设 x 3 3xyy 3 3 确定 y 为 z 的函数，求函数 yy(x)的极值点（分数：2.00）_16.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0证明：存在 (1，1)，使得 f()3（分数：2.00）_17.求由方程 x 2 y 3 xy0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_
4、18.设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_19. 0 2 （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)f(0)1证明： 0 a f 2 (x)dx1（分数：2.00）_21.令 f(x)xx，求极限 （分数：2.00）_22.设二元函数 f(x，y)xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)0（分数：2.00）_23.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面
5、 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_24.设 a n 0(n1，2，)且a n n1 单调减少，又级数 (1) n a n 发散，判断 （分数：2.00）_25.设 f(x)的一个原凼数为 F(x)，且 F(x)为方程 xyye x 的满足 y(x)1 的解 (1)求 F(x)关于 x 的幂级数；(2)求 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在0，)内可导，f(0)1，且 f(x)f(x) （分数：2.00）_27.某人的食量是 2 500 卡天，其中 1 200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，
6、而一千克脂肪含热量 10 000卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 178 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设(a n 与b n )为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n 0，则 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：(A)不对，如 a
7、 n 2(1) n ，b n 2(1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n 3， 显然a n b n 收敛；(B)，(C)都不对，如 a n n1(1) n ，b n n1(1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n 0，显然a n b n 有界且 3.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)4，f(2) ，f(4)6，则 g(4)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 g(4)4.曲线 y （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 解析：解析：因为 y，所以曲线 y 水平渐近线；
8、 由 ，得曲线 y 有两条铅直渐近线； 由 (yx)0，得曲线 y5.设 条件收敛，且 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r1 D.r1解析：解析：因为 条件收敛，所以级数 一定不是正项或负项级数，故 r0 若r1，则 r1，级数 绝对收敛，矛盾； 若r1，则 r1，存在充分大的N，当 nN 时，u n 单调增加， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 0 x tsin(x 2 t 2 )dt 0 x sin(x 2 t 2 )d(x 2 t 2 ) 0 x2 sinudu，得 7.设 f(x)可导且
9、 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 yy(x)由 ye xy xcosx10 确定，求 dy x0 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx）解析：解析：当 x0 时，y1，将 ye xy xcosx10 两边对 x 求导得 e xy ye xy (y )cosxxsinx0， 将 x0，y1 代入上式得 9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解
10、析：由 0 x tf(2xt)dt (2xu)f(u)(du) x 2x (2xu)f(u)du2x x 2x f(u)du x x uf(u)du 得 2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)du arctanx 2 ，等式两边对 x 求导得 2 x 2x f(u)dx2x2f(2x)f(x)4xf(2x)xf(x) ，整理得 2 x 2x f(u)duxf(x) ， 取 x1 得 2 1 2 f(u)f(1) ，故 1 2 duf(x)dx 11.设 f(x) D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在 D 1 (x，y)x
11、，0y1)上，f(y)y； 在 D 2 ：0xy1 上，f(xy)xy， 则在 D 0 D 1 D 2 (x，y)yx1y，0y1上，f(y)f(xy)y(xy)， 所以 f(y)f(xy)dxdy 0 1 dy y 1y y(xy)dx 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 zx1，2时有 1 dx， 当 x2，3时有 dx， 当xn，n1时有 dx， )解析：15.设 x 3 3xy
12、y 3 3 确定 y 为 z 的函数，求函数 yy(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 3xyy 3 3 两边对 x 求导得 3x 2 3y3x (xy 2 )， 令 0 得 yx 2 ，代入 x 3 3xyy 3 3 得 x1 或 x ， 因为 10，所以 x1 为极小值点，极小值为 y1； 因为 10，所以 x 为极大值点，极大值为y ； xy 2 时， )解析：16.f(x)在1，1上三阶连续可导，且 f(1)0，f(1)1，f(0)0证明：存在 (1，1)，使得 f()3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(1)f(0)f(0)(10)
13、(10) ， 1 (1，0)， f(1)f(0)f(0)(10) (10) 3 ， 2 (0，1)， 两式相减得f( 1 )f( 2 )6 因为 f(x)在1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定 理，f(x)在 1 ， 1 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf( 1 )f( 2 )2M， 即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：17.求由方程 x 2 y 3 xy0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据隐函数求导数法，得 y 得 y 0x，得 y2x，再将 y2
14、x 代入原方程得 x ，函数值为 y ，y0 代入 y得 320，所以 x为函数的极大值点，且极大值为 y )解析：18.设 f(x)在 xx 0 的邻域内连续，在 xx 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)f(x 0 )f()(xx 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，则 )解析：19. 0 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，且 f(1)f(0)1证明： 0 a f 2 (x)dx1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1f(1)f(0) 0 1 f(x)dx， 得
15、 1 2 1( 0 1 f(x)dx) 0 1 1 2 dx 0 1 f 2 (x)dx 0 1 f 2 (x)dx，即 0 1 f 2 (x)dx1)解析：21.令 f(x)xx，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为xmxm(其中 m 为整数)，所以 f(x)xx是以 1 为周期的函 数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x) 对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn1，则 0 n f(x)dx 0 x f(x)dx 0 n1 f(x)dx， 而 0 n f(x)dxn 0 1 f(x)dxn 0 1 xdx ，同理 0 n1 f(x)dx ，
16、 )解析：22.设二元函数 f(x，y)xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f x (0，0)，f y (0，0)存在 (充分性)若 (0，0)0，则 f x (0，0)0，f y (0，0)0 所以 )解析：23.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S：x
17、 2 y 2 (za) 2 R 2 ， 由 得球面 S 在定球内的部分在xOy 面上的投影区域为 D xy ：x 2 y 2 (4a 2 R 2 )， 球面 S 在定球内的方程为 S：za ， 因为 S 40，所以当 R )解析：24.设 a n 0(n1，2，)且a n n1 单调减少，又级数 (1) n a n 发散，判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为a n n1 单调减少且 a n 0(n1，2，)，所以 A， 由 (1) n a 0 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由 )解析：25.设 f(x)的一个原凼数为 F(x)，且 F(x)为方程 xyye x 的满足
18、 y(x)1 的解 (1)求 F(x)关于 x 的幂级数；(2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 f(x)在0，)内可导，f(0)1，且 f(x)f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (x1)f(x)(x1)f(x) 0 x f(t)dt0，两边求导数，得 (x1)f(x)(x2)f(x) 再由 f(0)1，f(0)f(0)0，得 f(0)1，所以 C1，于是f(x) (2)当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)1，所以 f(x)f(0)1 令 g(x)f(x)e x ，g(0)0，g(x)f(x)e x 0， 由 )解析：27.某人的食量是 2 500 卡天，其中 1 200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10 000卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2 500 卡天，输出率为(1 20016)，其中 为体重， 根据题意得 ，(0) 0 ， )解析：
