1、考研数学三（微积分）模拟试卷 149 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.把 x0 + 时的无穷小量 =cost 2 dt，= （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，3.设 f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则 f（0）=0 是 F（x）在 x=0 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件4.设函数 f（x）连续，且 f（0）0，则存在 0，使
2、得（ ）（分数：2.00）A.f（x）在（0，）内单调增加B.f（x）在（，0）内单调减少C.对任意的 x（0，8 有 f（x）f（0）D.对任意的 x（一 ，0）有 f（x）f（0）5.函数 y= f（x）在（一，+）连续，其二阶导函数的图形如图 122 所示，则 y= f（x）的拐点个数是（ ） （分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.设 （分数：2.00）A.f（x）在1，1上存在原函数B.令 F（x）=f 1 x f（t）dt，则 f（0）存在C.g（x）在1，1上存在原函数D.g（0）存在7.由曲线 y= （0x）与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为（
3、）（分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足 f（0）0，g（0）0，且 f（0）=g（0）=0，则函数 z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00）A.f“（0）0，g“（0）0B.f“（0）0，g“（0）0C.f“（0）0，g“（0）0D.f“（0）0，g“（0）09.设 f（x）为连续函数，F（t）= 1 t dy y e f（x）dx，则 F（2）等于（ ）（分数：2.00）A.2f（2）B.f（2）C.f（2）D.010.设 0a n （n=1，2，），则下列级数中一定收敛的是（ ） （分数：2.0
4、0）A.B.C.D.11.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为（ ）（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x（Asinx+Beosx）B.y * =x（ax 2 +bx+c+Asinx+Bcosx）C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数（m2），则 （a 1 n +a 2 n +，a m n ） （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_14.函数 y=ln（12x）在 x=0 处的
5、 n 阶导数 y （n） （0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设某商品的收益函数为 R（p），收益弹性为 1+p 3 ，其中 p 为价格，且 R（1）=1，则 R（p）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.设 f（x）= max1，x 2 ，则 1 x f（t）dt= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 f（u）可微，且 f（2）=2，则 z=f（x 2 +y 2 ）在点（1，1）处的全微分 dz| （1，1） = 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.D 是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填
6、空项 1:_19.若数列（a 1 +a 2 ）+（a 3 +a 4 ）+（a 1 +a 2n ）+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 y 1 =e 3x xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.证明当 x0 时，（x 2 l）lnx（x1） 2 。（分数：2.00）_24.求不定积分 （
7、分数：2.00）_25.设曲线 y= ax 2 （x0，常数 a0）与曲线 y=1x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y= ax 2 围成一平面图形 D，求： （）D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V（a）； （）a 的值，使 V（a）为最大。（分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_28.计算二重积分 （分数：2.00）_29.设 a 1 =2，a n+1 = ，（n=1，2，）。 证明： （分数：2.00）_30.求
8、级数 （分数：2.00）_31.设 y=y（x）是区间（一 ，）内过 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 149 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.把 x0 + 时的无穷小量 =cost 2 dt，= （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：因为 3.设 f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则 f（0）=0 是 F（x）在 x=0 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分条件但非
9、必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件解析：解析： 4.设函数 f（x）连续，且 f（0）0，则存在 0，使得（ ）（分数：2.00）A.f（x）在（0，）内单调增加B.f（x）在（，0）内单调减少C.对任意的 x（0，8 有 f（x）f（0） D.对任意的 x（一 ，0）有 f（x）f（0）解析：解析：由导数定义，知 f（0）= 根据极限的保号性，存在 0，使对任意 x5.函数 y= f（x）在（一，+）连续，其二阶导函数的图形如图 122 所示，则 y= f（x）的拐点个数是（ ） （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：只须考查 f“（x）=0 的点
10、与 f“（x）不存在的点。 f“（x 1 ）=f“（x 4 ）=0，且在 x=x 1 ，x 4 两侧 f“（x）变号，故凹凸性相反，则（x 1 ，f（x 1 ），（x 4 ，f（x 4 ）是 y=f（x）的拐点。 x=0 处 f“（0）不存在，但 f（x）在 x=0 连续，且在 x=0 两侧 f“（x）变号，因此（0，f（0）也是 y= f（x）的拐点。 虽然 f“（x 3 ）=0，但在 x=x 3 两侧 f“（x）0，y=f（x）是凹的。（x 3 ，f（x 3 ）不是 y=f（x）的拐点。因此共有三个拐点。故选 C。6.设 （分数：2.00）A.f（x）在1，1上存在原函数B.令 F（x）=
11、f 1 x f（t）dt，则 f（0）存在C.g（x）在1，1上存在原函数 D.g（0）存在解析：解析：由 =0=g（0）可知，g（x）在 x=0 处连续，所以 g（x）在1，1上存在原函数。故选 C。 以下说明 A、B、D 均不正确。 由 =0 可知，x=0 是 f（x）的跳跃间断点，所以在包含 x=0的区间上 f（x）不存在原函数。 由 f （0）= =0，f + （0）= =1，可知 f（0）不存在。 由 7.由曲线 y= （0x）与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为（ ）（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y= f（x）绕 x 轴旋转一周所得
12、旋转体的体积计算公式，得8.设函数 f（x），g（x）均有二阶连续导数，满足 f（0）0，g（0）0，且 f（0）=g（0）=0，则函数 z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（分数：2.00）A.f“（0）0，g“（0）0 B.f“（0）0，g“（0）0C.f“（0）0，g“（0）0D.f“（0）0，g“（0）0解析：解析：由 z= f（x）g（y），得 9.设 f（x）为连续函数，F（t）= 1 t dy y e f（x）dx，则 F（2）等于（ ）（分数：2.00）A.2f（2）B.f（2） C.f（2）D.0解析：解析：交换累次积分的积分次序，得 F（t）
13、= 1 t dy y t f（x）dx= 1 t dx 1 x f（x）dy = 1 t （x1）f（x）dx， 于是 F（t）=（t1）f（t），从而 F（2）=f（2）。故选 B。10.设 0a n （n=1，2，），则下列级数中一定收敛的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 0a n 可知，0a n 2 ，而由 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 a n 2 收敛，从而 11.微分方程 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为（ ）（分数：2.00）A.y * =ax 2 +bx+c+x（Asinx+Beosx） B.y * =x（ax 2 +bx+c+
14、Asinx+Bcosx）C.y * =ax 2 +bx+c+AsinxD.y * =ax 2 +bx+c+Acosx解析：解析：对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2 +1=0， 特征根为 =i 对于方程 y“+y=x 2 +1=e 0 (x 2 +1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y 1 * =ax 2 +bx+c， 对于方程 y“+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为 y 2 * =x(Asinx+Bcosx)， 因此 y“+y=x 2 +1+sinx 的特解形式可设为 y * =ax 2 +bx+c+x（Asinx+Bcosx）。二、填空题(总题数：9，分数：1
15、8.00)12.设 a 1 ，a 2 ，a m 为正数（m2），则 （a 1 n +a 2 n +，a m n ） （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：maxa 1 ，a 2 ，a m ）解析：解析：假设 a 1 为最大值，则 原式=a 1 =a 1 1=a 1 。 因此 （a 1 n +a 2 n +a m n ） 13.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.函数 y=ln（12x）在 x=0 处的 n 阶导数 y （n） （0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 n （n1）!）解析：解析：将
16、 ln（1+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式 令 t= 2x 代入第 n 项可得 15.设某商品的收益函数为 R（p），收益弹性为 1+p 3 ，其中 p 为价格，且 R（1）=1，则 R（p）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由弹性的定义得16.设 f（x）= max1，x 2 ，则 1 x f（t）dt= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意可知 当 n1 时， 1 x f（t）dt= 1 1 f（t）dt+ 1 x f（t）dt = 1 1 1dt+ 1 x t 2 dt=2+ t 3 | 1
17、x 当1x1 时， 1 x f（t）dt = 1 x 1dt = x 1。 当 x1 时， 1 x f（t）dt= 1 x t 2 dt= 所以， 17.设函数 f（u）可微，且 f（2）=2，则 z=f（x 2 +y 2 ）在点（1，1）处的全微分 dz| （1，1） = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4（dx+dy）解析：解析：由题干可知，dz=f（x 2 + y 2 ）（2xdx+2ydy），则 dz| （1，1） =f（2）（2dx+2dy）=4（dx+dy）。18.D 是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域，则 （分数：2
18、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：积分区域可以表示为 D=（x，y）|0y1+x，0x1，则 （1+x）sinyd= 0 1 dx 0 1+x （1+x）sinydy = 0 1 （1+x）一（1+x）cos（1+x）dx， 利用换元法，令1+x=t，x0，1时，t1，2，则 19.若数列（a 1 +a 2 ）+（a 3 +a 4 ）+（a 1 +a 2n ）+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设 a n 收敛，则级数（a 1 +a 1 ）+（a 3 +a 4 ）+（
19、a 2n1 +a 2n ）+收敛，与题设矛盾，故 20.已知 y 1 =e 3x xe 2x ，y 2 =e x 一 xe 2x ，y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：显然 y 1 一 y 3 =e 3x 和 y 2 一 y 3 =e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y * =一 xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为
20、 y=C 1 e 3x +C 2 e x 一 xe 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.证明当 x0 时，（x 2 l）lnx（x1） 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=（x 2 一 1）lnx （x1） 2 ，易知 f（1）=0。又 )解析：24.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设曲线 y= ax 2 （x0，常数 a0）与曲线 y=
21、1x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线y= ax 2 围成一平面图形 D，求： （）D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V（a）； （）a 的值，使 V（a）为最大。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，y=ax 2 与 y=1x 2 的交点为 ，直线 OA 的方程为 （）旋转体的体积 )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题可转化为一个约束函数的情况，求 u=
22、x 2 +y 2 +x 4 +2x 2 y 2 +y 4 在条件x+y+x 2 +y 2 =4 下的最值，设 F（x，y，）=u=x 4 +y 4 +2x 2 y 2 +x 2 +y 2 +（x+y+x 2 +y 2 4），令 )解析：28.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 D 1 =（x，y）|x 2 +y 2 1，（x，y）D， D 2 =（x，y）|x 2 +y 2 1，（x，y）D， 因此 )解析：29.设 a 1 =2，a n+1 = ，（n=1，2，）。 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）显然 a n 0（n=1，2，），由初等不等式：
23、对任意的非负数 x，y 必有x+y 。 易知 因此a n 单调递减且有下界，故极限 a n 存在。 （）由a n 单调递减，知 0，则原级数是正项级数。 由 a n 1，得 0 a n a n+1 。 而级数 （a n 一 a n+1 ）的部分和 S n = （a k a k+1 ） =a 1 一 a n+1 ， 且 a n+1 存在，则级数 （a n 一 a n+1 ）收敛。 由比较判别法知 )解析：30.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 y=y（x）是区间（一 ，）内过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以
24、有 y= ，即 ydy=一 xdx，得 y 2 =一 x 2 +C。 又 代入 y 2 =一 x 2 +C 得 C= 2 ，从而有 x 2 +y 2 = 2 ，即 y= 当0x 时，y“+y+x=0，得其对应齐次微分方程 y“+y=0 的通解为，即 y= y * =C 1 cosx+C 2 sinx。 设其特解为 y 1 =Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得 A=一 1，B=0，故 y 1 =一 x 是方程的特解，因此y“+y+x=0 的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 一 x。 因为 y=y（x）是（一 ，）内的光滑曲线，故 y 在x=0 处连续且可导，所以由已知得 y| x=0 =， y| x=0 =0， 故得 C 1 =，C 2 =1，所以 )解析：
