1、考研数学三（微积分）模拟试卷 137 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列各式中正确的是（ ）2 设对任意的 x，总有 （x）f（x）g（x），且 g（x）（x）=0，则（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在3 设 ，则（ ）（A）f（x）在 x=x0 处必可导且 f（x 0）=a（B） f（x）在 x=x0 处连续，但未必可导（C） f（x）在 x=x0 处有极限但未必连续（D）以上结论都不对4 设0， 4区间上 y=f（x）的导函数的图形如图 12 1 所示，则 f（x）（ ）（A）在0 ，2 单调上升且为凸的
2、，在 2，4 单调下降且为凹的（B）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凹的，2，4是凸的（C）在 0，1，3 ，4单调下降，在1 ，3单调上升，在 0，2 是凸的，2，4是凹的（D）在0 ，2 单调上升且为凹的，在 2，4 单调下降且为凸的5 设 f（ x）有二阶连续导数，且 f（0）=0 ， 则（ ）（A）f（0）是 f（x）的极大值（B） f（0）是 f（x）的极小值（C）（ 0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）f（0）不是 f（x）的极值，（ 0，f（0）也不是曲线 y=f（x）的拐点6 设 I1= ，则（ ）7 已知 f（x，y）= ，则（ ）（A
3、）f x（0，0），f y（0 ，0）都存在（B） fx（0，0）不存在， fy（0，0）存在（C） fx（0，0）不存在， fy（0，0）不存在（D）f x（0，0），f y（0 ，0）都不存在8 9 d0acosf（rcos ，rsin）rdr（a0），则积分域为（ ）（A）x 2+y2a2（B） x2+y2a2（x0）（C） x2+y2ax（D）x 2+y2ax（y0）10 设 pn= ，n=1 ，2，则下列命题正确的是（ ）二、填空题11 数列 xn= =_。12 设函数 f（x）= =_。13 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_。14 15 16 设函数 z=
4、z（x，y）由方程 z=e2x3z+2y 确定，则 =_。17 设 f（x，y）连续，且 f（x，y） =x+ f（u， ）dud，其中 D 是由y= ， x=1， y=2 所围成的区域，则 f（x，y）=_。18 幂级数 的收敛域为_。19 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_。20 微分方程 y“+2y+5y=0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 求函数 f（x）= sinx 的间断点，并指出类型。22 设 f（x）在（一，+）内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f（x+y）=f（x）ey+f（y）e x，又设 f（0）存在且等于 a（a0）
5、，试证明对任意 x，f（x）都存在，并求 f（ x）。23 设 eabe 2，证明 ln2b 一 ln2a （ba）。24 设 f（x）= （）证明 f（x）是以 为周期的周期函数；（）求 f（x ）的值域。25 设 z=f（z 2 一 y2，e xy），其中 f 具有连续二阶偏导数，求26 求二重积分 max（ xy，1）dxdy，其中 D=（x，y）|0x2，0y2。27 求 ，其中 D 是由圆 x2+y2=4 和（x+1） 2+y2=1 所围成的平面区域（如图 142）。28 设有正项级数 是它的部分和。（）证明 收敛；（）判断级数 是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。29 将函数 f（
6、x）= 展开成 x 一 1 的幂级数，并指出其收敛区间。考研数学三（微积分）模拟试卷 137 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D 。对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可。对于 C 选项，因=e1，故 C 不正确，选 A。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 取 （x）=f （x）=g（x）=x，显然有 （x）f（x）g（x），且g（ x）（x）=0，但 不存在，故 A、B 排除。再取 （x）=f（x）=g（x）=1 ，同样有 （x）f（x）g（x ），且 g（x）
7、（x）=0，但 =1，可见 C 也不正确，故选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f（x）在 x=x0 处的左、右导数 f（x 0），f +（x 0）与f（x）在 x=x0 处的左、右极限 区分开。但不能保证 f（x）在 x0 处可导，以及在 x=x0 处连续和极限存在。例如 显然，x0 时，f（x）=1 ，因此 但是不存在，因此 f（x）在 x=0 处不连续，不可导。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 当 x（0， 1）或（3，4）时，f（x）0，那么 f（x）在0，1，3，4单调下降。当 x（ 1，3 ）时 f（x）0，那么 f
8、（x）在1，3 单调上升。又 f（x）在0 ，2单调上升，那么 f（x）在0，2是凹的。f （x）在2 ，4单调下降，那么 f（x）在2 ，4 是凸的。故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 根据极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域使对任意 x 即 f“（x）0。从而函数 f（x）在该邻域内单调增加。于是当 x0 时，有 f（x）f（0）=0 ；当 x0 时，f （x）f（0）=0 ，由极值的第一判定定理可知 f（x）在 x=0 处取得极小值。故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 1。从
9、而，可见有I1I 2，可排除 C、D，又由 I2 ，可排除 A，故应选 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 所以 fy（0，0）存在。故选 B。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 结合二重积分的定义可得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由 r= acos 知 r2= arcos，即 x2+ y2= ax（a0），故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 若 an 绝对收敛，即 |an|收敛，由级数绝对收敛的性质知 an 收敛。而 pn= ，再由收敛级数的运算性质知， qn都收敛，故选 B。【知识模块】 微积分二
10、、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小因子代换，【知识模块】 微积分12 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =ff（x）f （x），则 |x=0=f（一 1）f （0），而当 x1时，f（x）=2，因此 f（1）=f（0）=2，代入可得 |x=0=4。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 y=x1【试题解析】 由题干可知，所求切线的斜率为 1。由 y = （lnx） = =1，得x=1，则切点为（1，0），故所求的切线方程为 y0 =1（x1），即 y=x1。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 x= tant，则 dx=sec2tdt，故【知识模块】
11、 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2【试题解析】 全微分法。利用全微分公式，得 dz=e2x3z（2dx3dz）+2dy=2e 2x3zdx+2dy 一 3e2x3zdz，即 （1+ 3e 2x3z）dz=2e 2x3zdx+2dy。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 首先令 A= f（u，）dud，则 A 为常数，此时 f（x，y）=x+Ay。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 4，6）【试题解析】 幂级数的系数为 an= ，则有因此，幂级数的收敛半径为 R=1，其收敛区间为（4，6）。当 x=4 时，原级数为 收敛；当
12、x=6 时，原级数为发散，故幂级数的收敛域是4，6）。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=tan （1+x） 2+C，C 为任意常数【试题解析】 将已知微分方程变形整理得， =（1+x ）（1+y 2），则 =（1+x）dx ，两边积分可得 arctany= （1+x） 2+C，因此 y=tan （1+x）2+C，C 为任意常数。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 y=e x（C 1cos2x+C2sin2x），C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 由题干可知，方程 y“+2y+5y=0 的特征方程为 r2+2r+5=0。解得则原方程的通解为 y=ex（C 1cos2x+C2si
13、n2x），C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 函数 f（x）的可疑间断点只有 x=0 和 x=1。所以 x=0 为可去间断点，x=1 为跳跃间断点。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 将 x=y=0 代入 f（x+y ）=f （x）e y+f（y）e x，得 f（0）=0，为证明 f（x）存在，则由导数的定义= f（x）+f（0）ex=f（x）+ae x。所以对任意 x，f（x）都存在，且 f（x）=f（x）+ae x。解此一阶线性微分方程，得 f（x）= e dxaexedxdx+C=ex（ax+C），又因
14、f（0）=0，得C=0，所以 f（x）=axe x。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 对函数 y=ln2x 在a ，b上应用拉格朗日中值定理，得 ln2b 一 ln2a=（ba）， ab。 当 te 时，（t）0，所以 （ t）单调减少，从而有 （ ） （e 2），即 故ln2bln2a （ba ）。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 故 f（x）是以 为周期的周期函数。（ ）因为|sinx| 的周期为 ，故只需在0，上讨论值域。因为所以f（x）的最小值是 2 ，最大值是 ，故 f（x）的值域是【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为由已知条件可得 = 2xf1+yexyf2，
15、= 2yf1+xexyf2， = 2xf11“（2y）+f 12“xe xy+exyf2“+xyexyf2“+yexyf21“（2y）+f 22“?xexy= 4xyf11“+2（x 2 一 y2）e xyf12“+xye2xyf22“+exy（1+xy）f 2“。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 曲线 xy =1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3（如图 14 15）【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 D1=（x，y）|x 2+y24，D 2=（x，y）| （x+1） 2+y21，（如图 14 21 所示）【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）设 Tn 为 的部分和，则 Tn=若正项级数 若正项级数 （）级数可整理为因正项级数的部分和数列 Sn 单调上升，将上式放缩 由（）可知 收敛，再由比较原理知， 收敛，因此原级数绝对收敛。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 先进行变形【知识模块】 微积分
