1、考研数学三（微积分）模拟试卷 150 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）= 的间断点及类型是（ ）（A）x=1 为第一类间断点， x=1 为第二类间断点（B） x=1 均为第一类间断点（C） x=1 为第二类间断点，x= 1 为第一类间断点（D）x=1 均为第二类间断点2 设 F（x）=g（x） （x），x=a 是 （x）的跳跃间断点，g（a ）存在，则g（a）=0，g （a）=0 是 F（x）在 x=a 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件3 设 f（ x）在（0，+）内二阶可
2、导，满足 f（0）=0，f “（x）0（x0），又设ba0，则 axb 时，恒有（ ）（A）af（x）xf（a）（B） f（x）xf（b）（C） xf（x）bf（b）（D）xf （x）af（a）4 设 f（ x）具有二阶连续导数，且 f（1）=0 ， 则（ ）（A）f（1）是 f（x）的极大值（B） f（1）是 f（x）的极小值（C）（ 1，f（1）是曲线 f（x）的拐点坐标（D）f（1）不是 f（x）的极值，（ 1，f（1）也不是曲线 f（x）的拐点坐标5 若 f（ x）的导函数是 sinx，则 f（x）有一个原函数为（ ）（A）1+sinx（B） 1sinx（C） 1+cosx（D）1co
3、sx6 方程 0x =0 根的个数为（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）37 设函数 z= f（x，y）的全微分为 dx=xdx+ydy，则点（0，0）（ ）（A）不是 f（x，y）的连续点（B）不是 f（x，y）的极值点（C）是 f（x，y）的极大值点（D）是 f（x，y）的极小值点8 设 f（ x，y）为连续函数，则 d01f（rcos，rsin ） rdr 等于（ ）9 级数 （a 0，0）的敛散性（ ）（A） 与 取值有关（B） 与 取值有关（C）与 和 的取值都有关（D）与 和 的取值都无关10 微分方程 y“一 2y=ex+ex（0）的特解形式为（ ）（A）a（e x+ex）（
4、B） ax（e x+ex）（C） x（ae x+bex）（D）x 2（ae x+bex）二、填空题11 12 设 f（x）=x（x+1）（x+2）（x+n ），则 f（0）=_ 。13 曲线 处的切线方程为_。14 设 a0，则15 设函数 f（u）可微，且 f（0）= ，则 z=f（4x 2 一 y2）在点（1，2）处的全微分 dz|（1，2） =_。16 设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 minm（x，y） dxdy=_。17 幂级数 的收敛半径 R=_。18 微分方程 y“一 y+ =0 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 20 设 g（
5、x）= 其中 f（x）在 x=0 处二阶可导，且 f（0）=f（ 0） =1。（）a ，b 为何值时，g（x）在 x=0 处连续；（）a ，b 为何值时，g（x）在 x=0 处可导。21 证明 ，1x1。22 （）比较 01|lnt|ln（1+t） ndt 与 01tn|ln t|dt（n=1，2，）的大小，说明理由。（）记 un=01|lnt|ln（1+t） ndt（n=1，2，），求极限 un。23 设曲线 y=f（x），其中 y=f（x）是可导函数，且 f（x）0。已知曲线y=f（x）与直线 y=0，x=1 及 x=t（t1）所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形
6、面积值的 t 倍，求该曲线方程。24 25 求二元函数 z=f（x，y）=x 2y（4xy）在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域 D 上的最大值与最小值。26 设 D=（x，y）|x 2+ y2 ，x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数。计算二重积分 xy1+x2+y2 dxdy。27 设方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 xn 收敛。28 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1（n=1，2，）所围成区域的面积，记 S1=a2n1，求 S1 与 S2 的值。29 在 xOy 坐
7、标平面上，连续曲线 L 过点 M（1，0 ），其上任意点 P（x，y）（x0）处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax（常数 a0）。（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值。考研数学三（微积分）模拟试卷 150 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 分别就|x|=1，|x|1，|x| 1 时求极限 得出 f（x）的分段表达式：所以，x=1 均为 f（x）的第一类间断点，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因 （x）在 x=a 处不可导，所以
8、不能对 F（x）用乘积的求导法则，须用定义求 F（a）。题设 （x）以 x=a 为跳跃间断点，则存在A+，A +A。当 g（a）=0 时，这表明，g（a）=0 时，F（a）存在 下面证明若 F（a）存在，则 g（a）=0 。反证法，若 g（a）0，（x）= 由商的求导法则，（x）在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g（a）=0，g（a）=0 是 F（x）在 x=a 处可导的充要条件。故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 将 A，B 选项分别改写成 于是，若能证明或 xf（x）的单调性即可。又因 令 g（x）=xf（x） f（x ），则 g（0）=0，g（x）=xf“（
9、x）0（x0），那么 g（x）g（0）=0 （x0），即 故 在（0，+）内单调减小。所以当axb 时， 故选 B。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 选取特殊 f（x）满足:f“ （x）= （x1） 2，如取 f（x）= （x1） 4，则 f（x）满足题中条件，f（x）在 x=1 处取极小值，而其余均不正确。故选B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由 f（x）= sinx，得 f（x）=f（x）dx=sinxdx= cosx+C 1， 所以f（x）的原函数是 F （x） =f（x）dx= （ cosx+C 1）dx= sinx+C 1x+C2， 其中C
10、1，C 2 为任意常数。令 C1=0，C 2=1 得 F（x）=1 sinx。故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 设 F（x）= 0x +cosx0et2dt，则 F（x）在（一，+）内连续，又 F（0）= 10et2dt 0， 0，由零点定理得 F（x）=0至少有一个根。又易知 且当 x（一 ，+ ）时，1（等号仅当 x=0 成立），又 0 1，1sinx1 ，所以有1sinx1，又 F（0） =10，因此 F（x）0，从而有 F（x）在（一，+）严格单调递增，由此 F（x）=0 最多有一个实根。综上，F（x）=0 在（一，+ ）上有且仅有一个实根，故选 B。【知
11、识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 根据 dz=xdx+ydy 可得，又在（0，0）处，ACB 2=10，根据二元函数极值点的判断方法可知，（0，0）为函数 z=f（x，y）的一个极小值点。因此正确选项为 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知，积分区域 D 如图 145 所示，则【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 （1）当 01 时，级数发散。（2）当 1 时，级数收敛。（ 3）当 =1 时，原级数为 ，当 1 时收敛，当 a1 时发散，故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的
12、特征方程为 r2 一 2=0，其特征根为r1，2 =A，所以 y“一 2y=ex的特解为 y1*=axex，y“一 2y=e2x 的特解为 y2*=bxex，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y *=y1*+ y2*=x（ae x+bex）， 因此选C。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 n!【试题解析】 由于f（x）= （x+1）（x+2 ）（x+n ）+x（x+2）（x+n）+（x+1 ）（x+2） （x+n1），所以 f（0）=n!。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 在点 处的切线的斜率为 ，在曲线
13、方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，原式可化为根据定积分的几何意义可得 （半径为 a 的半圆的面积），所以【知识模块】 微积分15 【正确答案】 4dx 2dy【试题解析】 直接利用微分的形式计算，因为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知， min（x，y）dxdy =01dyy3ydx+01dy0yxdx= 。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 首先设 an= ，则当满足条件 1 时，即|x| 时，该幂级数是收敛的。因此，此幂级数的收敛半径是 。【知识模块】 微积分1
14、8 【正确答案】 y= （C 1+C2x），C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为 2 一 + =0，解方程得 1=2= 因此齐次方程的通解为 y= （C 1+C2x），C 1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 （）若要 g（x）在 x=0 处连续，必须 =g（0），即 b=1。故 b=1，a 为任意实数时，g（x）在 x=0 处连续。（）若要 g（x）在 x=0 处可导，则必须 g（x）在 x=0 处连续（b= 1），且 g（0）=g +（0），所
15、以所以当 a= f“（0）一 1，b =1 时，g （x）在 x=0 处可导。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 故 f（x）0，而f（0） =0，所以有 f（x） 0，即得故 f（x）0，因此仍有 f（ x）f （0）=0，即得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 （）令 f（t）=ln（1+t ）t。当 0t1 时，f （t ）= 一10，故当 0t1 时，f （t）f（0） =0，即当 0t1 时，0ln （1+t）t1，从而ln（1+t） ntn（n=1，2，）。又由|lnt|0 得 01|lnt|ln（1+t）ndt0ttn|lnt|dt（n=1，2， ）。（）由（）知，0u
16、n=01|lnt|ln（1+t ）ndt01tn|lnt|dt，因为 01tn|lnt|dt=01tn（lnt）dt【知识模块】 微积分23 【正确答案】 旋转体的体积为 v=1tf2（x）dx= 1tf2（x）dx，曲边梯形的面积为 s=1tf（x）dx，则由题可知 1tf2（x）dx=t 1tf（x）dx，即 1tf2（x）dx=t 1tf（x）dx。两边对 t 求导可得 f2（t）= 1tf（x）dx+f（t），即 f2（t ）一 tf（t ）= 1tf（x）dx，（*）等式两端求导可得 2f（t）f（t） f （t）一 tf（t ）=f（t ），化简可得（2t）t）f（t ）=2f（t
17、），即 =1，解之得 t=c 。在（*）式中令 t=1，则 f2（1） f（1）=0，因为已知 f（x）0，所以 f（1）=1，代入所以该曲线方程为 2y+ 3x=0。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 先求 而且 f（x）是一元函数 f（u）与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量；（xy）是一元函数 （）与二元函数 =x+y 的复合， 是中间变量。由于 方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为（2，1）=4。再求 f（x，y）在 D 边界上的最值（1）在 x 轴上 y=0，所以 f（x，0）=0
18、 。（2）在 y 轴上 x=0，所以 f（0，y）=0。（3）在 x+y =6 上，将 y=6x 代入 f（x，y）中，得 f（ x，y）=2x 2（x6），因此fx=6x224x=0。得 x=0（舍），x=4。所以 y=6x=2。于是得驻点 相应的函数值 f（4，2）=x 2y（4 x y）| （42） = 64。综上所述，最大值为 f（2，1）=4，最小值为 f（4，2）= 64。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 D1=（x，y|0x 2+y21，x0，y0，D 2=（x，y） |1x 2+ y2 ，x0 ，y0则【知识模块】 微积分27 【正确答案】 记 fn（x）=x n+n
19、x 一 1。由 fn（0）= 一 10，f n（1）=n0，结合连续函数的零点定理知，方程 xn+nx 一 1=0 存在正实数根 xn（0，1）。当 x0时，f n（x）=nx n1+n0 ，可见 fn（x）在0，+）上单调增加，故方程 xn+nx 一1=0 存在唯一正实数根 xn。由 xn+nx 一 1=0 与 xn 0 知 故当1 时， 0x n 。而正项级数 收敛，所以当 1 时，级数 xn 收敛。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由题意，y=x n 与 y=xn+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，所以故S2=1ln2。【知识模块】 微积分29 【正确答案】 （）设曲线的方程为 y=f（x），则由题设可得这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得 =x（ax+C） =ax 2+Cx，又 f（1）=0，所以 C=一 a。故曲线 L 的方程为 y=ax2 一 ax（x0）。（）L 与直线 y=ax（a0）所围成的平面图形如图 151 所示。 所以 D=02ax 一（ax 2 一ax）dx=a 02（2x 一 x2）dx= 故 a=2。【知识模块】 微积分
