1、考研数学三（微积分）模拟试卷 163 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 2，则级数 anx2n1 的收敛半径为( ) 2 曲线 y 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 f(x)连续，且 F(x) f(t)dt，则 F(x)( )二、填空题4 设 a ，则 _5 xyy x，则 y_6 _7 设 uf(x， y，z) e xyz2，其中 zz(x ，y)是由 xyz xyz0 确定的隐函数，则 _8 函数 f(x) 展开成 x 的幂级数为_9 差分方程 yt1 y t2t 21 的特解形式为 yt*_三、解答
2、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 求 13 求 f(x) 的间断点并判断其类型14 举例说明函数可导不一定连续可导15 证明：不等式：xarctanx ln(1x 2)16 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()f()cot17 求 18 设 f(x) ，且 f(x) f(x)sinxdx，求 f(x)19 计算 20 求由曲线 y4x 2 与 x 轴围成的部分绕直线 x3 旋转一周所成的几何体的体积21 设 xyxf(z) yg(z)，且 xf(z)yg(z)0 ，其中 zz(x，y)是 x，y 的函数证明：xg(z
3、) yf(z) 22 求 I cos(x y)dxdy，其中 D(x ，y)0x ，0y )23 判断级数 的敛散性24 (1)验证 y x 满足微分方程(1x)y y1x；(2)求级数 yx 的和函数25 求微分方程 y4y4y0 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 163 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)得 x0 为铅直渐近线；由 f(x) 得 y为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 x1 及 x2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应
4、选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)f(lnx)(lnx) ，选(A)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 由 xyy x，得 ylnxxlny ，两边求导数得ylnx lny y，解得 y 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 e xtan C【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 1【试题解析】 xyzxyz 0 两边关于 x 求偏导得 1 0，将x0，y1，z 1 代入得 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y t
5、*t(at 2btc)【试题解析】 p 1，f(t) 2t21，故特解形式为 yt*t(at 2btc)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 x1，x0，x1，x2 为 f(x)的间断点，由 得 x1 为第二类间断点，由 得 x0 为可去间断点，由 f(x)得 x1 为第二类间断点，由 f(20) f(x)得 x2 为第二类间断点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 f(x) ，当 x0 时，f(x)2xsin ，当
6、x0 时，f(0)0，即 f(x) ，因为 f(x)不存在，而 f(0)0，所以 f(x)在 x0 处可导，但 f(x)在 x0 处不连续【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)xarctanx ln(1x 2)，f(0)0令 f(x) arctanx arctanx0，得 x0，因为 f(x) 0，所以 x0 为f(x)的极小值点，也为最小值点，而 f(0)0，故对一切的 x，有 f(x)O，即xarctanx ln(1x 2)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)f(x)sinx，则 (0)(x)0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()0，而 (x)f(x)si
7、nxf(x)cosx，于是 f()sinf()cos 0，故 f()f()cot 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 x1 为被积函数的无穷间断点，则【知识模块】 微积分20 【正确答案】 取x，xdx 2，2 ，则 dV2(3x)(4x 2)dx，V 2 2dV2 2 2(3x)(4x 2dx6 2 2(4 x2)dx12 02(4x 2)dz1264【知识模块】 微积分21 【正确答案】 xyxf(z)yg(z) 两边分别对 x，y 求偏导，得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 直线 xy 将区域 D 分为 D1，D 2，其中 D1(x，y) 0x，0y x)，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (2)由(1x)y y1x 得 即 ，两边积分得ln(1x) C 或 y2(1x)C(1x) ，由 y(0)0 得 C2，故y2x(1 x)ln(1x)( 1x1)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程为 24 40，特征值为 1 22，则原方程的通解为 y(C 1C 2x)e2x 【知识模块】 微积分
