1、考研数学三（微积分）模拟试卷 164 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y4ye 2xx 的特解形式为( )（A）ae 2xbxc（B） ax2e2xbxc（C） axe2xbx 2cx（D）axe 2xbxc2 设 an(x1) n 在 x1 处收敛，则此级数在 x2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定3 函数 f(x)x 33xk 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k24 当 x0，1时，f(x) 0，则 f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小次序为( )（A）
2、f(0)f(1)f(0)f(1)（B） f(0)f(1)f(1)f(0)（C） f(0)f(1)f(1)f(0)（D）f(0)f(1)f(0)f(1)二、填空题5 _6 设 f(x)一阶可导，且 f(0)f(0) 1，则 _7 xcos2xdx _8 设 zxyf ，其中 f(u)可导，则 _9 级数 在1x1 内的和函数为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 13 设 f(x) ，求 f(x)的间断点并判断其类型14 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有f(x)f(y)Mxy k (1) 证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连
3、续； (2)证明：当k1 时，f(x)常数15 求 y 0x(1t)arctantdt 的极值16 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在(a， b)，使得 f()f()g()017 求 18 设 f(x) 1xet2 dt，求 01x2f(x)dx19 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 af(x)dx bf(x)dx20 过曲线 yx 2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积21 设 zf(x，y)由方程
4、 zyzze zyx 0 确定，求 dz22 计算二重积分 (xy)dxdy，其中 D：x 2y 2xy123 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?24 将 f(x)arctanx 展开成 x 的幂级数25 求微分方程 yy2y0 的通解考研数学三（微积分）模拟试卷 164 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y4y0 的特征方程为 040，特征值为 12， 22 y4ye 2x 的特解形式为 y1axe 2x， y4yx 的特解形式为 y2bx c ，故原方程特解形式为 axe2xbxc，选(D) 【知识模块
5、】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 an(x1) n 在 x1 处收敛，即 an(2) n 收敛，所以antn 的收敛半径 R2，故当 x2 时，21R，所以级数 an(x1) n在 x2 处绝对收敛，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)， f(x)，令 f(x)3x 23x 230，得x1，f(x)6x，由 f(1)60，得 x1 为函数的极大值点，极大值为f(-1)2k，由 f(1)60，得 x1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)2k，因为 f(x)x 33xk 只有一个零点，所以 2k0 或2k 0，故k2，选 (C)【知识模块】 微积
6、分4 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)f(0) f(c)(0c1)，因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c)f(1)，即 f(0)f(1)f(0)f(1)，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 2z【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 xln(1x 2)x 3x 3ln(1x 2)(1x1)【试题解析】 x 2ln(1x 2)x 2(1x1)，所以 xln
7、(1x 2)x 3x 3ln(1x 2)(1x1)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 当 x0 及 x1 时 f(x)间断由 f(00)0，f(0 0) 得x0 为 f(x)的第二类间断点由 f(10) ，f(10) 等得 x1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点。同理 x1 也为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 微积分14 【正确答案】 (1)对任意的 x0a，b，由已知条件得 0f(x)f(x 0)Mxx 0
8、k， f(x)f(x 0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在a,b上连续 (2)对任意的 x0a，b，因为 k1，所以 0 Mxx 0 k1 ，由夹逼定理得f(x0)0，因为 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 y(1x)arctanx0 ，得 x0 或 x1，y arctanx ，因为 y(0)10，y(1) 0，所以 x0 为极小值点，极小值为 y0；x1为极大值点，极大值为 y(1) 01(1t)arctantdt 01arctantdt 01tarctantdt【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)f(x)e g
9、(x)， 由 f(a)f(b)0 得 (a)(b)0，则存在(a， b)，使得 ()0， 因为 (x)e g(x)f(x)f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()f()g()0 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 g(x) axf(t)dt xbf(t)dt， 因为 f(x)在a ，b 上连续，且 f(x)0， 所以 g(a) abf(t)dt0,g(b) abf(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()0，即 af(x)dx bf(x)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设切
10、点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 ya 22a(xa) ，即y2axa 2，由题意得 S ，解得 a1，则切线方程为 y2x1，旋转体的体积为 V 01x4dx 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 对 zy xxe zyx 0 两边求微分，得dzdydx ezyx dxxe zyx (dzdydx)0，解得 dz dxdy【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 f(x) (1) nxn(1x1)，f(0)0，得 f(x)f(x)f(0) 0xf(x)dx 0x (1) nx2ndx，由逐项可积性得 f(x) ，显然 x1 时级数收敛，所以 arctanx (1x1) 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 特征方程为 2 20，特征值为 ，则原方程的通解为 y【知识模块】 微积分
