1、考研数学三（微积分）模拟试卷 170 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若正项级数 an 收敛，则 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定2 设区域 D 由 x0，y0，xy ，xy1 围成，若 I1 ln(xy)3dxdy，I 2 (xy) 3dxdy，I 3 sin3(xy)dxdy ，则( ) （A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I2I3（D）I 2I3I13 设 f(x)具有二阶连续可导，且 2，则( )（A）x1 为 f(x)的极大点（B） x1 为 f(x)的极小点（C） (1，f(1)是曲线 y
2、f(x)的拐点（D）x1 不是 f(x)的极值点， (1，f(1) 也不是 yf(x)的拐点4 函数 f(x)xsinxe cosx， x 是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数二、填空题5 _6 设 f(x) 可导，则 a_，b_7 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x) 01，则 f(x)_8 设 zf(xy，yz，zx)，其中 f 连续可偏导，则 _9 连续函数 f(x)满足 f(x)3 0xf(xt)dt2，则 f(x)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x(1bxcx 2
3、)1ax (x 3)13 求下列函数的一阶导数： (3)yx(sinx) cosx14 设 f(x) 求 f(x)15 求 f(x) 01xtdt 在0，1上的最大值、最小值16 求 17 求 18 设 yarctan(x 一 1)2，y(0)0，求 01y(x)dx19 设 f(x)f(b)0， abf2(x)dx1，f(x)a，b(1)求 abf(x)f(x)dx；(2)证明：abf2(x)dxabx2f2(x)dx 20 已知 u(x，y) ，其中 f，g 具有二阶连续导数，求 xuxxyu xy21 设 zfx(x y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 22 设 f(x,
4、y) f(x,y)dxdy其中 D(x，y)axyb)(0ab)23 设 un0(n1，2，)，S nu 1u 2u n证明： 收敛24 求微分方程 xyyln 的通解25 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v 0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程考研数学三（微积分）模拟试卷 170 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由 xy1 得ln(xy) 30，于是 I1 ln(xy) 3dxd
5、y0；当 xy1 时，由(xy) 3sin3(xy)0 得 I2I30，故 I2I3I1，选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 2 及 f(x)二阶连续可导得 f(1)0，因为 20，所以由极限保号性，存在 0，当 0x1 时， 0，从而 ，故(1，f(1)是曲线 yf(x)的拐点，选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 显然函数为偶函数，选(D)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 3，2【试题解析】 f(10)f(1)ab，f(10)1，因为 f(x)在 x1 处连续，所以ab1
6、 ，且 f(x)在 x1 处可导，所以 a3故 a3，b2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 z f(x y，yz，zx)两边求 x 求偏导得【知识模块】 微积分9 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 由 0xf(xt)dt x0f(u)(du) 0xf(u)du 得 f(x)3 0xf(u)du2，两边对 x 求导得 f(x)3f(x)0，解得 f(x) Ce 3x，取 x0 得 f(0)2，则C2，故 f(x)2e 3x【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】
7、 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (1)由 y 得 (2)lny ln(x21)ln(1x)，两边对 x求导得 ，故 y (3)lnylnxcosxlnsinx，两边对 x 求导得 故y x(sinx)cosx 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 当x1 时，f(x) ；当 x1 时，f(x)1；当 x1时，f(x)1；又 则 f(x)在 x1 处不连续，故也不可导由 f(10)f(10)f(1)0 得 f(x)在 x1 处连续因为 所以 f(x)在 x1 处也不可导，【知识模块】 微积分15 【正确答案】 f(x)
8、 01xtdt 0x(xt)dt x1(tx)dt x(1x)x 2x 由 f(x)2x10 得 x ，因为 f(0) ，所以 f(x)在0，1上的最大值为 ，最值为 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 01y(x)dxxy(x) 01 01xarctan(x1) 2dxy(1) 01(x1)arctan(x1) 2d(x1) 01arctan(x1) 2dx 01arctan(x1) 2d(x1)2 01arctantdt【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1) abxf(x)f(x)dx (2) ab
9、xf(x)f(x)dx (abxf(x)f(x)dx)2abf2(x)dxabx2f2(d)dx【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 z fx P(xy)，y两边对 y 求偏导得f 1 f 2 (f 11f 12)f 1f 21f 22f 11()22f 12f 1f 22【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 D1(x，y)0xa，axybx，D2(x，y)axb，0ybx ，则 f(x,y)dxdy 0aex dxax bx ey dy abex dx0bx ey dy 0aeex (exa e xb )dx abex (1e xb )dx(a1)(e a e b )(ba)e b 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 ln(lnu1)lnxlnC，即 lnu1Cx ，或 ue Cx1 ，故原方程的通解为 yxe Cx1 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 Fma 解此微分方程得 v(t)v 0et 由 v0et ,得 tln3，从开始到 tln3 的时间内质点所经过的路程为【知识模块】 微积分
