1、考研数学三（微积分）模拟试卷 172 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 (a0)( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关2 设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B） f(x，y) 存在（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D） f(x，y 0)存在3 设 yy(x)由 x dt0 确定，则 y(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e2（C） e21（D）e 2 14 当 x0 时，下列无穷小中，阶数最高的是( )（A）ln(1 x
2、2)x 2（B） cosx2（C） 0x2ln(1t 2)dt（D）e x21 x2二、填空题5 _6 设 f(x) 且 f(0)存在，则 a_，b_，c _7 设 f(x) dt，则 01 dx_8 由方程 xyz 确定的隐函数 zz(x，y)在点(1，0，1)处的微分为dz_9 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 12 设 (x3 sin3xax 2b)0，求 a，b 的值13 设 yf ，且 f(x) lnx，求 y14 设 f(x) 验证 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理的条件，求 (0，2)内使得 f(2)f(0) 2f()成立的 15
3、设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)xlnxk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点。16 求 17 18 设 f(x)sin 3x xf(x)dx，求 0f(x)dx19 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：存在 (a，b)，使得 f() bg(x)dxg()af(x)dx20 设 zfxg(y)，xy，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 21 (1)求二元函数 f(x，y) x2(2y 2)ylny 的极值 (2)求函数 f(x，y)(x 2 2xy)e y 的极值22 求 02adx (xy) 2dy(a0)23 判断级数 的敛散性，若级数收敛，判断其是
4、绝对收敛还是条件收敛24 设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x) 1 1xf(t)dt，求 f(x)25 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点 ，求 L 的方程考研数学三（微积分）模拟试卷 172 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1 收敛，即原级数绝对收敛，选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数 f(x，y)在(0 ，0)处可偏导，但 f(
5、x，y)不存在，(B) 不对；f(x ，y)在(x 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，选(D) ，事实上由 fx(x0，y 0) 存在得 f(x，y 0)f(x 0，y 0)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，由 iyet2 dt0 得 y 1，x 1xy et2 dt0 两边对 x 求导得 ，【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 ln(1x 2)x 2 ， ex21x 21x 2 (x 4)1x 2 ln(1t 2)dt 为最高阶无穷小，选(C)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
6、微积分6 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 f(00) f(x)a，f(0)2，f(00)c ，因为 f(x)在 x0 处连续，所以 f(00)f(0)f(0 0)， 因为 f(x)在 x0 处可导，即 f (0)f (0)，故b2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 e 1 1【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 dx【试题解析】 xyz 两边求微分得 yzdxxzdyxydz (xdxydyzdz)0，把(1 ，0，1) 代入上式得 dzdx 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 x【试题解析】 2xy 2，则 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤。10 【正确答案】 当 0x1 时，0 lnn(1x)x n，【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 (x3 ax 2 b) 由麦克劳林公式得sin3x 3x (x 3)3x x3(x 3)于是 sin3xaxbx 3(3a)x(b)x3(x 3)，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 f(10)f(1) f(10)1 得 f(x)在 x1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续 得 f(x)在 x1 处可导且 f(1)1，从而 f(x)在(0，2) 内可导，故 f(x)在0，2上满足拉格朗日中值定理
8、的条件f(2) f(0) 1,当 x(0,1)时，f(x)x；当 x1 时，f(x) , 当 01 时，由 f(2)f(0)2f()得12，解得 ；当 12 时，由 f(2)f(0)2f()得1 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 f(x)的定义域为(0 ，) ， 由 f(x)lnx 10，得驻点为x 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f(x)在(0，)内没有零点；(2) 当 k 时，函数 f(x)在(0 ，) 内有唯一零点 x ；(3)当 0k 时，函数 f(x)在(0，)内有两个零点，分别位于(0， )内【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知
9、识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 xsin3xdx2 0xsin3xdx 0sin3xdx2 sin3xdx从而 f(x)sin 3x 故 0f(x)dx 0(sin3 )dx 0sin3xdx 0dx(1 2)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 (x) axf(t)dtbxg(t)dt，显然 (x)在a，b上可导，又 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0，而 (x)f(x)g(t)dtg(x)axf(t)dt， 所以 f()bg(x)dxg() af(x)dx0，即 f()g(x)dxg() af(x)dx【知识模
10、块】 微积分20 【正确答案】 g(y)f 1f 2， g(y)f 1g(y)xg(y)f 11f 12xg(y)f21f 22g(y)f 1xg(y)g(y)f 11xg(y)g(y)f 12f 22【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)二元函数 f(x，y)的定义域为 D(x，y)y0， 因为ACB 20 且 A0，所以 为 f(x，y)的极小点，极小值为 f(0， 由ACB 22 0 及 A20 得(x，y)(1，0)为 f(x，y)的极小值点，极小值为f(1，0)1【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 (0 ，0r2acos)，则 02adx (xy)2dy dx02ac
11、osr3(sincos) 2dr4a 4 (12sincos)cos4d4a 4 cos4d8a 4 sincos5d 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 f(x)1 1xf(t)dt 得 xf(x)x 1xf(t)dt，两边对 x 求导得f(x)xf(x) 1f(x)，解得 f(x) ，f(x) lnxC，因为 f(1)1，所以 C1，故 f(x)lnx1【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Yyy(Xx)令X0，则 Yyxy，故 A 点的坐标为(0，yxy)由MAOA，得yxy 即 2yy x，则 y2 x(xC),因为曲线经过点，所以 C3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y (0x3)【知识模块】 微积分
