1、考研数学三（微积分）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 ，则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值2 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点3 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，且 ，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0
2、，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 设 y=y(x)由 确定，则 y“(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e2（C） e2 一 1（D）e 2 一 15 设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，y=f(x+ x)一 f(x)，其中 x0，则( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy06 设 f“(x)连续，f(0)=0， ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）f(0)非极值，(0，f(
3、0)也非 y=f(x)的拐点二、填空题7 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 =_8 设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在(1，1)处的法线方程为_9 10 设周期为 4 的函数 f(x)处处可导，且 ，则曲线 y=f(x)在(一 3， f(3)处的切线为 _11 设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f“(0)0 ，设 u(x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求 13 设 f
4、(x)在 x=a 处二阶可导，证明：。14 设 f(x)连续，f(0)=0，f(0)=1，求15 设 f(x)连续，且 g(x)= ，求 g(x)16 证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性17 举例说明函数可导不一定连续可导18 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)一f(y)M xy k (1) 证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续； (2)证明：当k1 时，f(x)常数19 设 处处可导，确定常数 a，b，并求 f(x)。20 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x
5、(x2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性21 设 求 f(x)并讨论其连续性22 设23 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= (1)求 g(x)； (2)讨论 g(x)在 x=0 处的连续性24 设 求 f(x)25 求常数 a， b 使得 在 x=0 处可导26 设 f(x)= 求 f(x)并讨论 f(x)在 x=0 处的连续性考研数学三（微积分）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0)=1， 由极限的保号性，存在 0，当0x 时， ，即 f(x)1=f(0)，
6、 故 x=0 为 f(x)的极大点，应选D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 f“(1)=0， 由极限保号性，存在 0，当0x 一 1 时， ， 当 x(1 一 ，1)时，f“(x)0；当 x(1，1+)时，f“(x)0，则(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，应选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由极限保号，存在 0，当 0x时， 当x0 时，x+x 30，则当 0x 时，f“(x)0， 从而 0x 在0x 内单调增加， 由， 则 x=0 为 f(x)的极小点，应选 B【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微
7、积分5 【正确答案】 D【试题解析】 根据微分中值定理，y=f(x+ x)一 f(x)=f()x0(x+ xx)，dy=f(x)x 0，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 x，所以 f()f(x) ，于是 f()xf(x)x，即 dyy0，选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， ，从而 f“(x)0，于是 f(x)在(一 ，)内单调增加，再由 f(0)=0，得当 x(一 ，0)时，f(x)0，当 x(0，) 时，f(x)0，x=0 为 f(x)的极小值点，选 B【知识模块】
8、 微积分二、填空题7 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 一 x+2【试题解析】 xy+2lnx=y 4 两边对 x 求导得 ，将 x=1，y=1代入得 ，故曲线 y=f(x)在点(1，1) 处的法线为 y 一 1=一(x 一 1)，即 y=一 x+2【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 一 2x 一 4【试题解析】 又 f(3)=f(4+1)=f(1)=2，f(一 3)=f(一 4+1)=f(1)=一 2， 故曲线 y=f(x)在点(一3，f(3)处的切线为 y 一 2=一 2(x+3)，即 y=一 2x
9、一 4【知识模块】 微积分11 【正确答案】 8【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=一 2，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 设 f(x)在a ，b上连续，令 g(x)=f(x) ， 对任意的 x0a，b，有 0g(x)一 g(x0)=f(x)f(x 0)f(
10、x)一 f(x0)， 因为 f(x)在a，b上连续，所以 =f(x0)， 由夹逼定理得 ， 即f(x) 在 x=x0 处连续，由 x0 的任意性得f(x) 在a，b上连续 设 f(x)=x，则 f(x)在x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为 不存在，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，但 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)对任意的 x0a，b，由已知条件得 0f(x)一 f(x0)Mxx0 k， =f(x0)， 再由 x0 的任意性得 f(x)在 a，b上连续 (2) 对任意的x0
11、a，6，因为 k1， 所以 0 Mxx 0，由夹逼定理得f(x0)=0，因为 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为 f(0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=2a=f(0)=f(0 一 0)=3b，【知识模块】 微积分26 【正确答案】 所以 f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 微积分
