1、考研数学三（微积分）模拟试卷 191 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）2 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( )3 设 k0，则函数 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题4 =_5 设 f(x)连续，且 =_6 设 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_7 =_8 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)=1，则 =_9 设 z=xf(x+y)+
2、g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_10 设 f(u)连续，则 0xduu1vf(u2v 2)=_11 差分方程 yt+12y t=32t 的通解为 y(t)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0xtf(t2x 2)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求n 及 f(0)13 求极限14 求15 设f(x)在0，1上可导， f(0)=0， f(x) f(x)证明：f(x)0 ，x 0，116 求由方程 x2+y2xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还
3、是极小值17 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a2)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得18 求19 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x( ， +)有f(x)+f(x)1.证明：f(x)1 20 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：In 01f(x)dx01lnf(x)dx20 设21 f(x，y)在点(0，0)处是否连续 ? 22 f(x，y)在点(0，0)处是否可微 ?23 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D：x 2+y22x+2y124 设 f(x)在0，1上连续且单调减
4、少，且 f(x)0证明：25 设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 的敛散性26 证明： 满足微分方程 y(4)y=0 并求和函数 S(x)27 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值28 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学三（微积分）模拟试卷 191 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
5、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 于是f(x)在(0，+)内有且仅有两个零点，选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 1【试题解析】 0xt
6、f(xt)dt x0(xu)f(u)(du)=x 0xf(u)du 0xuf(u)du， 0xtan(x t)2dt x0arctanu2(du)= 0xarctanu2du，则【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 a=2，b=1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续， 于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1由 f(x)在 x=1 处可微得a=2，所以 a=2，b=1.【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积
7、分学9 【正确答案】 f+xf+xy1 g1+yxy1 lnxg1+yx2y1 lnxg11+2y2xy1 g12+2xy+1lnxg21+4xyg22.【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy1 g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2)=f+xf+xy1 g1+yxy1 lnxg1+yx2y1 lnxg11+2y2xy1 g12+2xy+1lnxg21+4xyg22.【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 xf(x 21)【试题解析】 uxf(u2v 2)dv= u1f(u2v 2)d(u2 v2)=
8、 0u21 f(t)dt，则0xduu1vf(u2v 2)= 0xdu0u21 f(t)dt= 0x21 f(t)dt， 0xduvf(u2v 2)du=xf(x 21)【知识模块】 重积分11 【正确答案】 【试题解析】 y t+12y t=0 的通解为 y(t)=C2t，f(t)=32 t，因为 2 为特征值，所以设特解为 yt*=at2t，代入原方程得 ，故原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 F(x)= 0xtf(t2x 2)dt= 0xf(t2x 2)d(t2x 2)则 n2=2 ，n=4，且于是f(0)
9、=4【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x00 时，M=f(x 0)=f(x 0)一 f(0)=f()x 0f() 其中(0， x0)，故 M=0，于是 f(x)0，x0 ，1【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得 令
10、得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设 c为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1ca 2a n令构造辅助函数 (x)=f(x)k(xa 1)(x 2)(x n)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c) ， 2(1)(c，a 2)， ， n(1)(an1 ，a n)，使得 (1(1)=(2(1)=( n(1)=0，(x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使
11、用罗尔定理，则 (n1) (x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n1) (c1)=(n1) (c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a n)，使得 n()=0而 n(x)=fn(x)n!k，所以 fn()=n!k，从而有【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)， 由f(x)+f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 ()=0，则 (x)=(x)()= x(x)dx，两边取绝对值得 e xf(x) x
12、(x)dx xexdx=ex，所以f(x)1【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 g(t)=lnt(t0)， 再令 x0=01f(x)dx，则有g(t)g(x0)+g(x0)(tx 0)=gf(x)g(x0)+g(x0)f(x) x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因为 =0=f(0，0)，故 f(x，Y)在点(0，0)处连续【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 所以 f(x，y)在点(0，0)处不可微【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 D：x 2+y22x+
13、2y1 可化为 D：(x 1) 2+(y1) 21，令0t2，0r1，则 (x+y2)dxdy=02dt01(1+rcost+1+2rsint+r2sin2t)rdr=【知识模块】 重积分24 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x)dx01f2(x)dx，等价于 01f2(x)dx01f(y)dy01f(x)dx01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)f(y)dy0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)f(y)dy，根据对称性，I= 01dx01xf(x)f(y)f(y)f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(yx
14、)f(x)f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(yx)f(x) f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 重积分25 【正确答案】 由 y=x+y 得 y=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y(0)=2，根据麦克劳林公式，有因为 绝对收敛【知识模块】 级数26 【正确答案】 显然级数的收敛域为(，+) ，显然 S(x)满足微分方程 y(4)y=0 y (4)y=0 的通解为y=C1ex+C2ex +C3cosx+C4sinx，由 S(0)=1，S(0)=S(0)=S(0)=0 得C4=0，故和函数为【知识模块】 级数27 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得令arctanp=C1x因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 P x=0=1，从而 y=因为曲线过点(0，1)，所以所求曲线为 因为【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则两边积分，得 由 y()=0，得 c0=x0k，从而当 k1 时，由 y(x10)=0，得则 B 的轨迹方程为当 k=1 时，B 的轨迹方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程
