1、考研数学三（微积分）模拟试卷 193 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+Py+qy=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他2 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 存在，则 f(x)在 x0处可
2、导，且（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在x0 处 x=x0 不可导3 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( )（A）两个极大值点，两个极小值点，一个拐点（B）两个极大值点，两个极小值点，两个拐点（C）三个极大值点，两个极小值点，两个拐点（D）两个极大值点，三个极小值点，两个拐点4 二阶常系数非齐次线性微分方程 y2y 3y=(2x+1)e x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e x（B） x2ex（C） x2(ax+b)ex（D）x(ax+b)e x二、填空题5 =_6 =_7 设 则 f(x)=_8
3、 设 f(x)在( ，+)上可导，则 a=_9 =_10 设 f(x)的一个原函数为 =_11 设 z=f(x，y)二阶可偏导， 且 f(x，0)=l，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_12 设 f(x)连续，则 =_。13 已知 ，则 f(n)(3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 a0， x10，且定义 xn+1= (n=1，2，)，证明： 存在并求其值15 证明：16 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 证明：存在 (0，1)，使得f()817 设 f(x)=3x2+Ax3 (x0) ，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?
4、18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f+(a)fb(b)0证明：存在 (a，b)，使得 f()=019 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0,1，使得 f()=2 01(x)dx20 设 求 f(x)21 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明：21 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S22 求旋转曲面的方程；23 求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积24 计算 其中 D=(x，y)1x1，0y2)25 设 an=01x2(1 一 x)ndx，
5、讨论级数 的敛散性，若收敛求其和26 求函数 f(x)=ln(1x2x 2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域27 设级数 绝对收敛28 设函数 f(x，y)可微，求 f(x，y)29 设商品需求函数为 求收益 R 对价格 P 的弹性考研数学三（微积分）模拟试卷 193 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f(0)=2，于是 选 C【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 设 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的x00，因为 不存在，所以 f(x)在 x0 处不连
6、续，A 不对；同理 f(x)在 x=0处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，B不对；因为 其中 介于 x0 与 x 之间，且存在，所以 也存在，即 f(x)在 x0 处可导且 选 C；令不存在，D 不对【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极
7、大值点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小值点；当 x(0， x 3)时，f(x)0，则x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小值点；当xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大值点，即 f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y2y3y=(2x+1)e x 的特征方程为 22 3=0 ，特征值为1=1， 2=3，故方程 y2y3
8、y=(2x+1)e x 的特解形式为 x(ax+b)ex ，选 D【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由 0xsinc(x2t 2)dt= 0xsin(x2 一 t2)d(2xt 2)= 0x2sinudu，得【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 +时，有【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 由 得f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 1【试题解析】 由 f(x)f(x1)=f()，其中 介于 x1 与 x
9、 之间，令 x ，由=e2，即 e2ae 2，所以a=1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 (x)=x，即=2y+x，z=y 2+zy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 f(x，y)=y 2+xy+1.【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 0rtf(r2t 2)dt= 原式【知识模块】 重积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 级
10、数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有故x nn=2单调减少，再由 xn0(n=2，3，) ，则 存在，令【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 当 x1，2 时有 当 x2，3时有当 xn，n+1时有又当 x1，2时，当 x2，3 时， 当xn1，n时， 从而有【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， 由闭区间上连续函数最值定理知，f(x) 在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，
11、1)，使得 f(c)=1，再由费马定理知 f(c)=0，根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0c)+ (0c) 2， 1(0，c)f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2， 2(c，1)整理得所以存在(0， 1)，使得 f()8【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x33x 5，令 (x)=20x33x 5，由 (x)=60x2 15x4=0，得 x=2，(x)=120x 一 60x3，因为 (2)=2400，所以 x=2 为(x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 一元函数微分学
12、18 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f (b)0，根据极限的保号性，由 f+(a)=则存在 0(ba)，当 0 0，即f(x)f(a) ，所以存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)同理由 f (b)0，存在x2(a，b)，使得 f(x2)f(b)因为 f(x)在a ，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x 2)f(b)，所以 f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在 (a， b)，使得 f()为 f(x)在a，b上的最大值，故 f()=0【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，
13、对 f(x)f(0)=f(c)x( 其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)dx=01f(c)xdx，由 mf(c)M 得 m01xdx01f(c)xdxM01xdx，即 m201f(c)xdxM或 m201f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 lnx=t，则 当 t0 时，f(t)=t+C；当 t0 时，f(t)=e+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1+C2，故【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)m0，f
14、(x) M0，从而【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 = 1，1，1 ，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S ，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为M0(x0，y 0，z 0)，T(0 ，0，z)，由MT=M 0T，得 x2+y2=x02 +y02 ，因为 M0在直线 AB 上，所以有 代入 x2+y2=x02 +y02中得曲面方程为 S：x 2+y2=(1z) 2+z2，即 S：x 2+y2=2z22z+1 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为
15、A(z)=(x2+y2)=(2z22z+1)于是 V=01A(z)dz=【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 令 D1=(x，y)1x1，0yx 2，D2=(x，y) 1x1 ，x 2y2)，则【知识模块】 重积分25 【正确答案】 a n=01x2(1x) ndx 01(1t) 2tn(dt)= 01(tn+22t n+1+tn)dt因为收敛因为所以【知识模块】 级数26 【正确答案】 f(x)=ln(1x2x 2)=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(1 2x)，因为【知识模块】 级数27 【正确答案】 令 Sn=(a1a 0)+(a2a 1)+(an 一 an1 )，则 Sn=ana 0因为级数则有存在，于是存在 M 0，对一切的自然数 n有a nM因为 收敛，又0a nbnMb n，再由 收敛，根据正项级数的比较审敛法得绝对收敛【知识模块】 级数28 【正确答案】 由解得 f(0，y)=Csiny由 得 C=1，即 f(0，y)=siny又由得 lnf(x，y)=x+ln(y)，即 f(x，y)=(y)e x ，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny，所以 f(x，y)=e x siny【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 收益函数为 收益 R 对价格 P 的弹性为【知识模块】 常微分方程与差分方程
