1、考研数学三（微积分）模拟试卷 209 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域连续且 f(0)=0， =2，则 f(x)在 x=0 处（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）有极大值（D）有极小值2 若 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x 且 f(x)=0(x00)，则（A）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） f(x0)不是 f(x)的极值， (x0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)是 f(x)的极大值3 曲线 y=arctan
2、 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）44 曲线 y=f(x)=一 (x 一 1)ln(x 一 1)的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题5 曲线 y=x2 的渐近线方程为_6 曲线 y=xln(e+ )(x0)的渐近线方程为_ 7 曲线(x 一 1)3=y2 上点(5 ，8)处的切线方程是_8 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_9 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aPb，其中 a 和 b 是常数，且a0，则该商品需求对价格的弹性 =_10 设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=1005P若商
3、品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设生产某产品的固定成本为 c，边际成本 C(Q)=2aQ+b，需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q= (dP)，其中 a，b，c，d，e 都是正的常数，且 db求：11 产量 Q 为多少时，利润最大?最大利润是多少?12 这时需求对价格的弹性是多少?13 需求对价格的弹性的绝对值为 1 时的产量是多少?14 设某商品的需求量 Q 是单价 P(单位：元)的函数 Q=1200080P；商品的总成本C 是需求量 Q 的函数 C=25000+50Q；每单位商品需要纳税 2 元，试
4、求使销售利润最大的商品单价和最大利润额14 求下列函数带皮亚诺余项型至括号内所示阶数的麦克劳林公式：15 f(x)=excosx (3 阶)；16 f(x)= (3 阶)16 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：17 f(x)= ；18 f(x)=xln(1 一 x2)18 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：19 f(x)=ex 一 1 一 x 一 xsinx；20 f(x)=(1+ )cosx 一 120 求下列极限：21 22 23 24 确定常数 a 和 b 的值，使得 =625 设 f(x)在点 x=0 处具有二阶导数，且 =e3，求 f(0)，f(0)与f“(0)26
5、 设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导(n2)，且当 xa 时 f(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小量求证；f(x)的导函数 f(x)当 xa 时是 x 一 a 的 n 一 1 阶无穷小量27 设 f(x)在点 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f(4)(a)0求证：当 f(4)(a)0 时 f(a)是 f(x)的极小值；当 f(4)(a)0 时 f(a)是 f(x)的极大值28 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内具有二阶连续导数求证：存在(a， b)，使得 f(b)一 2f f“()(b 一 a)2考研数学三（微积分）模拟试卷 209 答案
6、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因 =2，由极限的保号性质知， 0，使当0x 时 0，由于 1 一 cosx0当 0x 时 f(x)0，又f(0)=0，故 f(x)在 x=0 取得极小值故应选 D 可以举反例来说明 A，B 不正确取 f(x)=xsinx，满足 f(0)=0， =2 的条件，但 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，这与 A，B 矛盾【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知 f“(x)=一 3f(x)2+ ，又由 f“(x)存在可知 f(x)连续，再由 在 x=x00 附近连续可
7、知 f“(x)在 x=x0 附近连续，于是 f“(x 0)0 由 f(x0)=0 及f“(x0)0 可知 f(x0)是 f(x)的极小值故应选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)=arctan ，f(x)的定义域是(一 ，一 2)(2，1)(1，+)，因f(x) ，从而 x=1 与 x=2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因 故 y= 是曲线 y=f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( 一，一 1)(一 1， 1)(1，+)，且在定义域内处处连续由 令f“(
8、x)=0，解得 x1=0，x 2=2；f“(x)不存在的点是 x3=一 1，x 4=1(也是 f(x)的不连续点) 现列下表：由上表可知，y 在 x1=0 与 x2=2 的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选 B【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 y=0【试题解析】 函数 y=x2 的定义域是(一，+)，因而无铅直渐近线又因故曲线 y=x2 有唯一的水平渐近线 y=0【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y=x+【试题解析】 本题中曲线分布在右半平面 x0 上，因xlnx=00=0，故该曲线无垂直渐近线又其中利用了当 x时 ，故曲线仅有斜渐近线 y=x+
9、 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 y=3x 一 7【试题解析】 由隐函数求导法，将方程(x 一 1)3=y2 两边对 x 求导，得 3(x 一 1)2=2yy 令 x=5，y=8 即得 y(5)=3故曲线(x 一 1)3=y2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x 一 5) y=3x 一 7【知识模块】 微积分8 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因y=lnx 上点(x 0，y 0)=(x0，lnx 0)(x00)处的切线方程是y=lnx0+ +lnx0 一 1，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必
10、要条件是=1 x0=1，即该切线为 y=x 一 1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 b【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 10P20【试题解析】 由 Q=1005P0 P0，20 从而 P 的取值范围是 10P20【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 由题设可得总成本函数 c(Q)=c+ 0Q(2at+6)dt=aQ2+bQ+c， 从而总利润函数 L(Q)=PQC(Q)=(deQ)QaQ 2 一 bQc=一(a+e)Q 2+(d 一 b)Qc， 令L(Q)=d 一 b2(a+e)Q=0 可得出唯一驻点
11、 Q0= ，且 L“(Q0)=一 2(a+e)0，可知上述驻点是 L(Q)的极大值点，而且 L(Q)也在该点取得最大值，故最大利润 maxL=L(Q0)= 一 c【知识模块】 微积分12 【正确答案】 这时需求对价格的弹性【知识模块】 微积分13 【正确答案】 令 =1【知识模块】 微积分14 【正确答案】 因 Q=1200080P， C=25000+50Q=25000+50(1200080P)=6250004000P，故总利润函数 L=PQC 一 2Q=(P 一 2)QC=(P 一 2)(1200080P)一 625000+4000P =一 80P2+16160P 一 649000。计算可得
12、 由此可见当 P=101(元)时获利最大，且最大利润 maxL=L(101)=167080(元)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 把 e2=1+x+ x3+(x3)与 cosx=1 一 x2+(x3)相乘，即得 excosx=1+x+ x3+(x3)=1+x 一 x3+(x3)【知识模块】 微积分16 【正确答案】 又 t= =2x1+x+x2+(x2)=2x+x2+x3+(x3)， t 2=( )2=4x21+x+(x)2=4x21+2x+(x)=4x2+2x3+(x3)， t 3=( )2=8x31+(1)2=8x3+(x3)(其中 (1)表示当 x0 时的无穷小
13、量)，把它们代入(*)式即得 2x+x2+x3+(x3) 4x2+2x3+(x3) + 8x3+(x3)+(x3) =1+x+x2+x3+(x3)一 x2+2x3+(x3)+ x3+(x3)+(x3) =1+x+ +(x3)【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因为【知识模块】 微积分18 【正确答案】 把 t=一 x2 代入已知的麦克劳林公式【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分19 【正确答案】 利用麦克劳林公式故 f(x)=ex 一 1 一 x 一 xsinx 当 x0 时是 x 的三阶无穷小量【知识模块】 微积分20 【正确答案】 利用麦克劳林公式 cosx=1
14、 一 x4+(x5)可得故f(x)=(1+*)cosx 一 1 当 x0 时是 x 的四阶无穷小量【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由于当 x0 时分母是 x3 阶的无穷小量，而当 x0 时 e x=1+x+(x3)，sinx=x 一 +(x3)，因此当 x0 时，e xsinx=1+x+(x3)注意到当 x0 时从而当 x0 时，exsinx=x+x2+( )x3+(x3)，e xsinxx(1+x)= x3+(x3)因此 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数因此当 x0 时 f(x)=f(0)+f(0)x
15、+ f“(0)x3+(x3)， arctanx=x 一 x3+(x3)， arctanxsinx=一 x3+(x3)， +(x4)一 1=x2+(x3)，ln(1+x)=x 一 +(x2)， ln(1+x) 2=x+(x2)2=x2x3+2xo(x2)x2o(x2)+ +(x2)2 =x2 一 x3+(x3)， ln(1+x) 2 一+1=一 x3+(x3)于是原式= =6【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为 ln(12x+3x 2)=一 2x+3x2 一 (一 2x+3x2)2+(一 2x+3x2)2) =一 2x+3x22x2+(x2)=一
16、2x+x2+(x2)，可此即得 a 一 2=0，b+1=6，故 a=2，b=5【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由题设可得 =3，从而当 x0 时必有 ln1+x+=3x+(x)， 于是 1+x+ =e3x+(x)=1+3x+(x)+(3x+(x)=1+3x+(x)， 故当x0 时有 =2 把 f(x)当 x0 时的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x2+(x2)代入就有从而 f(0)=f(0)=0，f“(0)=4【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导且 =A0 知，把 f(x)在x=a 的带皮亚诺余项的
17、n 阶泰勒公式代入即得从而 f(a)=f(a)=f“(a)=f(n1)(a)=0，f (n)(a)=n!A0 设 g(x)=f(x)，由题设知 g(x)在 x=a 处 n一 1 阶可导，且 g(a)=f(a)=0，g(a)=f“(a)=0， g(n2)(a)=f(n1)(a)=0， g (n1)(a)=f(n)(a)=n!A0由此可得 f(x)=g(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 n 一 1 阶泰勒公式为 f(x)=g(x)=g(a)+g(a)(x 一 a)+ (x 一 a)n2 + (xa)n1+(x 一 a)n1 = (x 一 a)n1+(x 一 a)n1=nA(x 一 a)n1+(x
18、一 a)n1)，故 f(x)当 xa 时是 x 一 a 的 n 一 1 阶无穷小量【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由题设可得 f(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式为 f(x)=f(a)+f(x 一 a)+ f“(a)(x 一 a)3 + f(4)(a)(x 一 a)+(x 一 a)4) =f(a)+ f(4)(a)(x 一 a)4+(x 一 a)4)，从而 由极限的保号性质可得，存在 0 使得当 0x 一 a 时 f(4)(a)同号，即 f(x)一 f(a)与 f(4)(a)同号 故当 f(4)(a)0 时就有 f(x)一 f(a)0 在 0x 一 a 中成立，即 f(a)是 f(x)的一个极小值；当 f(4)(a)0 时就有 f(x)一 f(a)0 在 0x 一 a 中成立，即 f(a)是 f(x)的一个极大值【知识模块】 微积分28 【正确答案】 把函数 f(x)在 x= 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式可得由闭区间上连续函数的性质可得，存在 1， 2 (a，b)，使得 f“()= f“(1)+f“(2)，代入上式可知，存在 (a，b)，使得 f(b)一 (b 一 a)2f“()【知识模块】 微积分
