1、考研数学三（微积分）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt，则 ( )（A）a= ， b=1，c=0（B） a=- ，b=1，c=0（C） a= ，b=一 1，c=0（D）a=0 ，b=2，c=02 设 f(x)=0sinxsint3dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 f(x)=0xdt0ttin(1+u2)du，g(x)=(1 一 cost)dt，则当
2、 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设a n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且（D）若 an 为无穷大，且 =0，则 bn 一定是无穷小5 设 f(x)= ，则( ) （A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b0二、填空题6 =_7 =_8 =_9 =_10 当 x0 时，xsinxcos2xcx k，则 c=_，k=_ 11 设 ，则 a=_12 =_13
3、14 设 =8，则 a=_15 =_16 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 确定常数 a，b，c ，使得 =c18 求19 求20 求21 设 f“(0)=6，且22 设23 求24 求25 求26 求极限27 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0xtf(t 一 x)dt，且当 x0 时，F(x) x，求 n及 f(0)28 设 f(x)在1，+)内可导，f(x)0 且29 设 a0， x10，且定义 xn+1= 存在并求其值30 设 a1=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n收敛并求其极限31 设 f(x)在0，2上连续，且
4、 f(0)=0，f(1)=1 证明：(1)存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；(2)存在 0，2 ，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()32 设 =A，证明：数列 an有界33 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 e-f(x)在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续34 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 存在且大于零证明：f(x)在(a， +)内至少有一个零点35 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判断其类型36 求 f(x)= 的间断点并判断其类型考研数学三（微积分）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
5、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ax3+bx2+cx 0ln(1+2x)sintdt， 得a=0，b=2，选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 故 x0 时，f(x)是 g(x)的低阶无穷小，应选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 A 不对，如 an=2+(一 1)n，b n=2 一(一 1)n，显然a n与b n都发散，但 anbn=3，显然a nbn收敛；B、C 都不对，如 an=n1+(一 1)n，b n=n1 一(一 1)n，显然a
6、n与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界 0；正确答案为 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)=0，所以b0，选 C【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 ；3【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 2【试题解析】 .由 ea一 aea 一 ea 得 a=2【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识
7、模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 lna【试题解析】 ，由 e3a=8，得a=ln2【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24
8、 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an+1 一 an=f(n+1)一nn+1f(x)dxf(n+1)一 f()0(n，n+1) ，所以a n单调减少【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (1)令 (x)=f(x)一 1+2x，(0)= 一 1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存
9、在 c(0，1) ，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c (2)因为 f(x)C0，2，所以f(x)在0，2 上取到最小值 m 和最大值 M， 于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 微积分32 【正确答案】 取 0=1，因为 =A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有a n 一 A 1，所以a n A+1 取M=maxa 1，a 2，a N，A+1) ， 则对一切的 n，有a nM 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 对任意的 x0，1 ，因为 ex(x)与 e-f(x)在0，1 上单调增加，令 xx 0，由夹逼定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x0 一 0)=f(x0+0)=f(x0)， 即 f(x)在 x=x0处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0 ，1上连续【知识模块】 微积分34 【正确答案】 令，所以存在X00，当 xX0 时，有f(x)一 k ，特别地，f(X 0)0，因为 f(x1)在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识模块】 微积分35 【正确答案】 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，一 1，一 2， 及 x=1【知识模块】 微积分
