1、考研数学三（微积分）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=0xf(xt)dt，G(x)= 01xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小2 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关3 设 = ，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C
2、）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题4 设 f(sin2x)= =_5 设 f(lnx)= ，则f(x)dx=_6 设xy(x)dx=arcSinz+C，则 =_7 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_8 求 =_9 求 =_10 求 =_11 求 =_12 =_13 =_14 =_15 =_16 maxx+2，x 2dx=_17 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 f(x)连续，且 f(x)=20xf(x 一 t)dt+ex，求 f(x)19 求20 求21 求22 设 F(x)为 f(x)的原函数，且
3、当 x0 时，f(x)F(x)= ，又 F(0)=1，F(x)0，求 f(x)23 设 ，求 f(x)24 求25 设 f(x)连续， 0xtf(x-t)dt=1 一 cosx，求 f(x)dx26 设 S(x)=0xcostdt (1)证明：当 nx(n+1) 时，2nS(x) 2(n+1) ； (2)求27 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明：28 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0(x)dx=f()29 设 f(x)在( 一 a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2 (1)证明：对 0xa ，存在0
4、1，使得 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)一 f(-x)； (2)求 30 设31 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x(一 ， +)有f(x)+f(x)1证明：f(x)132 设 f(x)在( 一，+oo)上有定义，且对任意的 x， y(一，+)有f(x)一f(y)x y证明： abf(x)dx 一(b 一 a)f(a) (b 一 a)233 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M对任意的 x-01证明：34 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： abxf(x)dx35 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1n+1f(x)dx f(1)
5、+1nf(x)dx36 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f(x)dx考研数学三（微积分）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 0xf(x 一 t)dt=一 0xf(xt)d(x 一 t)=0xf(u)du， G(x)= 01xg(xt)dt=0xg(u)du，则 ，选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx+2esintsintdt=-esintsintdt，再由对称区间积分性质得 F(x)=0
6、(esintsinte-sintsint)dt=0(esint 一 e-sint)sintdt， 又(e sint 一 e-sint)sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x)0，选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以两无穷小同阶但非等价，选 C【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 cosxxsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(xt)=
7、xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=一 2sinxxcosx，积分得 f(x)=cosxxsinx+C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
8、】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 0xf(xt)dt x0f(u)(一 du)=0xf(u)du， f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)一 2f(x)=ex， 则 f(x)=(exe -2dxdx+C)e-2dx=Cex 一 ex， 因为 f(0)=1，所以 C=2，故 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为(x 2ex)=(x2+2x)ex，所
9、以【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 lnx=t，则 f(t)= ，当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时，f(t)=et+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1+C2，故 f(x)=【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由 0xtf(xt)dt x0(x 一 u)f(u)(一 du)=0x(xu)f(u)du=x0xf(u)du0xuf(u)du，得 x0xf(u)du0xuf(u)du=1 一 cosx， 两边求导得 0x
10、f(u)du=sinx，令x= f(x)dx=1【知识模块】 微积分26 【正确答案】 (1)当 nx(n+1) 时， 0ncostdt 0xcost dt 0(n+1)costdt， 0ncostdt=n 0costdt= =2n， 0(n+1)costdt=2(n+1) ，则 2nS(x)2(n+1) (2)【知识模块】 微积分27 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T ，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)df0(n+1)Tf(t)dt，【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 (x)= ，因为 f(x)在0，1 上连续，所以 (x)
11、在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)= ，所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)令 F(x)=0xf(t)dt+0-xf(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F(x)x，即 0xf(t)dt+0-xf(t)dt=xf(x)一 f(-x)(2)【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x
12、)+f(x)， 由f(x)+f(x)1得(x)e x，又由 f(x)有界得 (一)=0，则 (x)=(x)一 (一)= (x)dx ，两边取绝对值得 e xf(x) -x(x)dx -xexdx=ex，所以f(x)1【知识模块】 微积分32 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a)=abf(a)dx， 所以 abf(x)dx 一(b 一 a)f(a)= abf(x)一 f(a)dx abf(x) 一 f(a)dx ab(x 一 a)dx=【知识模块】 微积分33 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而【知识模块】 微积分34 【正确答案】 【知识模块
13、】 微积分35 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn+1f(x)dx， 当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 12f(x)dxf(1)， 同理 23f(x)dxf(2)， nn+1f(x)dxf(n)，相加得12f(x)dx ； 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2)12f(x)dx， 同理f(3)23f(x)dx，f(n) n-1nf(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx，于是f(1)+1nf(x)dx。【知识模块】 微积分36 【正确答案】 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=0kf(x)dx-k0kf(x)+k1f(x)dx =(1 一 k)0kf(x)dxkk1f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2) 其中 10，k， 2k，1因为 0k1 且f(x)单调减少， 所以 0kf(x)dx 一 k01f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2)0，故 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 微积分
