1、考研数学三（微积分）模拟试卷 43 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则( )（A）r1（B） r1（C） r=一 1（D）r=12 设 un=(一 1)nln(1+ )，则( ) 3 设幂级数 的收敛半径为( ) （A）2（B） 4（C）（D）无法确定二、填空题4 已知 f(x)= ，则 f(n)(3)=_5 =_6 =_7 设级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 讨论级数 的敛散性9 设一定收敛10 设 0an 中，哪个级数一定收敛?11 若正项级数 收敛12 13 设 an=01x2(
2、1 一 x)ndx，讨论级数 的敛散性，若收敛求其和14 设na n收敛，且 收敛15 设 an0(n 一 1，2，)且a nn=1单调减少，又级数的敛散性16 证明：17 18 设u n，c n为正项数列，证明：19 对常数 p，讨论幂级数 的收敛区间20 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f(x) q 1，令 un=f(un-1)(n=1，2，)，u 0a，b，证明：级数 (un+1 一 un)绝对收敛21 设 f(x)在( 一，+)内一阶连续可导，且发散22 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且绝对收敛23 设 y=y(x)满足 y=x+y，且满足 y(0)
3、=1，讨论级数 的敛散性24 求幂级数 的收敛区间25 求函数 f(x)=ln(1 一 x 一 2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域26 求幂级数 的和函数27 求幂级数 的和函数28 求幂级数29 求 的和30 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=ex 的满足 =1 的解。(1)求 F(x)关于 x 的幂级数； (2)求 的和31 将函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数32 设 f(x)= ，且 a0=1，a n+1=an+n(n=0，1，2)(1)求 f(x)满足的微分方程；(2)求33 证明 S(x)= 满足微分方程 y(4)一 y=0
4、并求和函数 S(x)34 设 un0，且发散35 设级数 绝对收敛36 设 的敛散性，并证明你的结论37 设函数 f0(x)在(一，+)内连续，f n(x)=0xfn-1(t)df(n=1，2，)38 设 a0=1，a 1=一 2，a 2= an(n2)证明：当x1 时，幂级数 收敛，并求其和函数 S(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 43 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答
5、案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 3e【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 2(1-ln2)【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 令 Sn=aa+a2+an，S n+1=(an 一 a0)+2(a2 一 a1
6、)+(n+1)(an+1 一 an)，则 Sn+1=(n+1)an+1 一 Sn 一 a0，因为 (an 一 an-1)收敛且数列na n收敛，所以收敛。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由u n+1 一 un=f(u n)一 f(un-1) =f( 1)u n 一 un-1qu n一 un-1q 2u n-1 一 un-2q nu 1 一 u0且绝对收敛【知识模块】 微积分21 【正确答案
7、】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f“(x)M ，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的界所以对充分大的 n，有【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 y=x+y 得 y“=1+y，再由 y(0)=1 得 y(0)=1，y“(0)=2，根据麦克劳林公式，有【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 f(x)=ln(1 一 x 一 2x2)=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+In(12x)，【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】
8、微积分27 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为一 1，1，【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 显然级数的收敛域为(一，+) ，显然S(x)满足微分方程 y(4)一 y=0y (4)一 y=0 的通解为 y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx，由S(0)=1，S(0)=S“(0)=S“(0)=0 得【知识模块】 微积分34 【正确答案】 【知识模块】 微积分35 【正确答案】 令 Sn=(a1-a0)+(a2-a1)+(an-an-1)，则 Sn=an-a0。【知识模块】 微积分36 【正确答案】 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 (1)n=1 时， f1(x)=0xf0(t)dt，等式成立；【知识模块】 微积分38 【正确答案】 【知识模块】 微积分
