1、考研数学三（微积分）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 积分 =( )2 函数 f(x)= (t2 一 t)dt(x0)的最小值为 ( )（A）（B）一 1（C） 0（D）3 设 则在(一，+) 内，下列正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为 f(x)的原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)4 由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转
2、所成旋转体的体积为 ( )二、填空题5 =_6 设 f(x)的一个原函数为 ln x，则 f(x)=_7 x2 sin 2xdx=_8 定积分 (sin x+1)dx _9 设 f(x)连续，则 =_10 设 是 f(x)的一个原函数，则 1exf(x)dx=_11 -22 =_12 = _ 13 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_14 =_15 定积分中值定理的条件是 f(x)在a ，b上连续，结论是_16 反常积分 = _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求不定积分18 求19 求20 计算 (a0 是常数) 21 计算22 对于
3、实数 x0，定义对数函数 ，依此定义试证：(1) =-ln x(x0)；(2)ln(xy)=ln x+ln y(x 0，y0)23 已知 I()= ，求积分 -32()d24 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ (a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小24 设 f(x)在(一，+)内连续，以 T 为周期，证明：25 a+Ta f(x)dx=0Tf(x)dx(a 为任意实数)；26 0xf(t)
4、dt 以 T 为周期 0xf(t)dt=0；27 f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T 0Tf(x)dt=028 计算不定积分29 设 a，b 均为常数， a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使30 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 f(1)= 证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()31 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0f(x)cos xdx=0f(x)sin xdx=0证明：存在 (0，) ，使得 f()=032 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa，b)， abf(t)
5、dt=abg(t)dt证明： ab xf(x)dxab xg(x)dx考研数学三（微积分）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为：故 x=0 为 f(x)的振荡间断点，可能存在原函数 通过计算 故 F(x)可微即 F(x)=f(x)，故(A)正确 同样请考生自己得出此题的简捷做法【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分二、
6、填空题5 【正确答案】 (tan x)+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 由题设，f(x)dx=ln x+C，f(x)=(ln x+C)=【知识模块】 微积分7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 x 2sin x 是奇函数，故在 上的定积分值为 0【知识模块】 微积分9 【正确答案】 sin 2|0xf(u)du【试题解析】 0xsin20tf(u)dudt 是形如 0x (t)dt 形式的变上限积分，由【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 1exf(x)d
7、x=1exdf(x)=xf(x)|1e-1ef(x)dx【知识模块】 微积分11 【正确答案】 ln 3【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 2(e 2+1)【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 在a，b上至少存在一点 ，使 abf(x)dx=f()(b 一 a)，ab【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正
8、确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 则 x=t2，dx=2tdt ，故【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (1)当 0，1 时，(2)当 =1 时，(3)当 =1时， (4)当 =0 时，【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由题设，当 x0 时， 据此并由f(x)在点 x=0 处的连续性，得【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分2
9、7 【正确答案】 只需注意f(x)dx= 0xf(t)dt+C， 0x 是 f(x)的一个原数。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由积分中值定理，得 f(1)=e1-12f(1)， 1 令 F(x)=e1-x2f(x)，则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1)内可导，且 F(1)=f(1)=e 1-12f(1)=F(1) 由罗尔定理，在( 1，1)内至少有一点 ，使得 F()=e 1-2f(2f()=0，于是 f()=2f()，(1，1) (0，1)【知识模块】 微积分31 【正确答案】 首先证明 f(x
10、)在(0 ，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且sin x 0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 0f(x)sin xdx0 或0f(x)sin xdx0，与题设矛盾。 所以 f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，) 内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法，假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x0，则 f(x)在(0，x 0)和(x 0，)上取不同的符号 (且不等于零)，否则与 0f(x)sin xdx=0 矛盾，这样，函数 sin(xx0)f(x)在(0，x 0)和(x 0，) 上取相同的符号，即恒正或恒负。 那么有：x 0f(x
11、)sin(xx0)dx0但是 0 f(x)sin(xx0)dx0f(x)(sin xcos x0cos xsin x0)dx =cos x00f(x)sin xdxsin x00f(x)cos xdx=0 从而矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f()=0【知识模块】 微积分32 【正确答案】 当 xa， b)时， axf(t)dtax g(t) axf(t)一 g(t)dt0， ab f(t)dt=ab g(t) abf(t)一 g(t)dt=0， abxf(x)dxabxg(x)dx abxf(x)一 g(x)dx0，令 G(x)=axf(t)一 g(t)dt，则 G(x)=f(x)一 g(x)，于是 abxf(x)一 g(x)dx=abxd(axf(x)一 g(t)dt)abxf(x)一 g(x) dx = ab xd (axf(t)一 g(t) dt) xaxf(t)一 g(t)dt|ab-abax(f(t)-g(t)dtdx =-abax(f(t)-g(t)dtdt0(因为 G(x)一 axf(t)-g(t)dt0)，即 ab xf(x)一 g(x)dx0，即 ab xf(x)dxab xg(x)dx【知识模块】 微积分
