1、考研数学三（微积分）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )2 其中D=(x，y)|x 2+y21)，则 ( )（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab3 设 D：|x|+|y|1，则 (|x|+y)dxdy= ( )（A）0（B）（C）（D）14 累次积分 01dxx1f(x，y)dy+ 12dy02-yf(x，y)dx 可写成 ( )（A） 02dxx2-xf(x，y)dy（B） 01dyy2-yf(x，y)dx（C） 01dxx2-xf(x，y)dy（
2、D） 01dyy2-yf(x，y)dx二、填空题5 交换二次积分次序： 02dyy22yf(x，y)dx=_6 交换二次积分次序： 01dx1-x21f(x，y)dy+ 1edxlnx1f(x，y)dy=_ 7 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I=0ady0yemf(x)dx 化为定积分，则 I=_8 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2 一 y2=1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1，计算如下二重积分：9 其中放(t)为定义在(一，+)上的连续正值函
3、数，常数a0，b0；10 常数 011 设 p(x)在a，b 上非负连续，f(x)与 g(x)在 a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)|axb，ayb)，比较的大小，并说明理由12 设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由x=1，y=2 围成，求 f(x，y)12 交换下列累次积分的积分次序13 14 15 计算 0+e-x2dx；16 当 x1 -时，求与 xt2dt 等价的无穷大量17 证明： 01dx01(xy)xydy=01xxdx18 设 在 D=a，bc，d上连续，求 并证明：I2(M 一 m)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小
4、值19 求 ，其中 D=(x，y)|0x3，0y120 计算 0adx0bemaxb2x2，a2y2 dy，其中 a，b021 计算 ln(1+x2+y2)dxdy，其中 D：x 2+y2122 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D 由 y=-x，x 2+y2=4， 所围成23 计算24 设 ，其中 D 为正方形域(x，y)|0x1 ，0y1 25 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调增，证明： abf(x)dx abg(x)dx(b 一 a)ab f(x)g(x)dx26 计算 -+-+ minx，ye -(x2+y2)dxdy考研数学三（微积分）模拟试卷 63 答案与解析一、
5、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (1)当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(一 1)m(一 1)n=一 1，从而积分为零； (2)当 m 和 n 均为奇数时，(一 1)m(一 1)n=1，从而由于 cosmsinn 为 上的奇函数，故积分为零总之，当 m 和 n 中至少一个为奇数时，xmyndxdy=0故答案选择 (D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)|x 2+y21，所以 (x 2+y2)2x2+y2 1由 cos x 在 上单调减少可得 cos(x2+y2)2cos(x2+y2) 0因
6、此有cba【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 区域 D1：0x1，xy1 为直线 x=0，y=x，y=1 围成的；区域D2：1y2，0x2 一 y 为直线 x=0，x+y=2，y=1 围成的所以积分区域 D=D1 D2 是由直线 x=0，y=x ，x+y=2 围成的，故原积分形式可写成 01dxx2-xf(x，y)dy【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由已知可知，所求积分区域为 ，x=y 2 所围成的区域，所以02dyy22yf(x， y)dx=【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】
7、 由已知可知，所求积分区域为 y=1，y= 一 x2+1，y=ln x 所围成的区域，所以【知识模块】 微积分7 【正确答案】 0aem(a-x)f(x)(a-x)dx【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分，由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0a dxxaem(a-x)f(x)dy=0aem(a-x)f(x)(a-x)dx【知识模块】 微积分8 【正确答案】 0【试题解析】 因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 微
8、积分9 【正确答案】 易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 SD=2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有【知识模块】 微积分10 【正确答案】 因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 Oy 轴，Ox 轴对称；函数 ex一 e-x，e y一 ey分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得【知识模块】 微积分11 【正确答案】 由于 D 关于 x 与y 对称，所以 I1 一 I2 又可以写成因 g(x)与f(x)的单调性相同，所以(f(x)一 f(y)(g(x)一 g(y)0，从而知 I1 一 I20，有 I1I2【知识模块】 微积分1
9、2 【正确答案】 【试题解析】 这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难首先可以知道积分两边再求二重积分就可能解决了【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由累次积分，的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域=1 2，它们可表示为 显然，平面区域 的边界曲线为抛物线 与直线 y=0，则 1， 2也可以写为 于是，累次积分 I 交换积分次序后为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为=1 23，其中【知识模块】 微积分15 【正确答案】 记 I=0+e-x2dx，则 I2=0+e-x2dx.0+e-x
10、2dx=0+e-x2dx.0+e-y2dy【知识模块】 微积分16 【正确答案】 要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点：xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式： ，此题 x1 -，故考虑用 于是，根据第一问的提示，我们要凑出“e -u2”这种形式，故令【知识模块】 微积分17 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 01(xy)xydy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则于是也就是要证明 一 01ttlntdt=01ttd
11、t，移项后就是要证明 01tt(1+ln t)dt=0 事实上， (1+in t)dt=etlnt(1+ln t)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故 01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 被积函数： 其中 D1=(x，y)|0y1，yx3， D 2=(x，y)|0y1 ，0xy 所以【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 设 其中D：axb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以由 f(x)，g(x)在a，b上单调递增，得 2I0，即 I0，故 abf(x)dxabg(x)dx(b-a)abf(x)g(x)dx【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设 a0 ，D 0=(x，y)|axa，一 aya)，则当 a+ 时， D0D，从而【知识模块】 微积分
