1、考研数学三（微积分）模拟试卷 79 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 条件收敛，且 =r，则( )（A）|r|1（B） |r|1（C） r=一 1（D）r=12 设 un=(一 1)nln ，则( )3 设幂级数 an(x 一 2)n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 (x 一 2)2n 的收敛半径为( )（A）2（B） 4（C）（D）无法确定二、填空题4 已知 f(x)= ，则 f(n)(3)=_5 6 7 设级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 计算9 计算 其中 D 为单位圆 x2+y2
2、=1 所围成的第一象限的部分10 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x 2+y2)2=az(x2 一 y2)围成的区域11 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大？12 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx213 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得14 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=
3、a 围成区域的形心，证明：15 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明：(b 一 a)216 设 f(x)为连续函数，计算 +yf(x2+y2)dxdy，其中 D 是由y=x3， y=1， x=一 1 围成的区域17 交换积分次序并计算 0adx0x18 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：19 证明：用二重积分证明20 讨论级数 的敛散性21 设 an 收敛，举例说明级数 an2 不一定收敛；若 an 是正项收敛级数，证明 an2 一定收敛22 设 0an (一 1)nan2 中，哪个级数一定收敛？23 若正项级数 un 收敛，证明：
4、 收敛24 设 an= tannxdx(1) 求 (an+an+2)的值；(2)证明：对任意常数 0，收敛25 设 an=01x2(1 一 x)ndx，讨论级数 an 的敛散性，若收敛求其和26 设na n收敛，且 n(an 一 an 一 1)收敛，证明：级数 an 收敛27 设 an0(n=1，2，)且a nn 一 1单调减少，又级数 (一 1)nan 发散，判断的敛散性28 证明：(1)设 an0，且na n有界，则级数 an2 收敛；(2)若 n2an=k0，则级数 an 收敛29 设 (n=1，2，；a n0，b n0)，证明：(1)若级数 bn 收敛，则级数 an 收敛； (2)若级
5、数 an 发散，则级数 bn 发散30 设u n，c n)为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 cnun 一 cn+1un+10，且 发散，则 un 也发散；(2)若对一切正整数 n 满足 一 cn+1a(a0)，且 收敛，则 un 也收敛考研数学三（微积分）模拟试卷 79 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 un 条件收敛，所以级数 un 一定不是正项或负项级数，故r0【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 显然 un 条件收敛，收敛，所以 un2 收敛，选(B)【知识模块】 微积分3 【
6、正确答案】 A【试题解析】 因为 anx(x 一 2)n 在 x=6 处条件收敛，所以级数 ann 的收敛半径为 R=4，又因为级数 anxn 有相同的收敛半径，所以的收敛半径为 R=4，于是 (x 一 2)2n 的收敛半径为 R=2选(A)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 3e 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 2(1 一 ln2)【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 微积分9 【
7、正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 根据对称性 (x2+4x+y2)dxdy= (x2+y2)dxdy，其中 D1 是 D 位于第一卦限的区域【知识模块】 微积分11 【正确答案】 设球面 S:x2+y2+(z 一 a)2=R2，由 得球面S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为 Dxy:x2+y2 (4a 2 一 R2),球面 S 在定球内的方程为因为 时球面 S 在定球内的面积最大【知识模块】 微积分12 【正确答案】 令 F（x ）= abf(t)dt，则 abf(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)一 F(x)dx=F(b)abf(x)dx 一 abf(
8、x)F(x)dx=F2(b)一 abF(x)dF(x)【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx0
9、1xf(x)dx01f(x)dx01(x)dx，等价于 01f2(x)dxyf(y)dy01f(x)dx01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy，根据对称性， I=01dx01f(x)f(y)f(y)一 f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(yx)f(x)一 f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(y 一 x)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y2R2，x0，y0，D 2=(x
10、，y)x2+y22R2，x0，y0【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由正项级数的比较审敛法得 收敛【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 an= 由交错级数的 Leibniz 审敛法，级数 收敛， 取0=1，存在自然数 N，当 nN 时，|a n 一 0|1，从而 0an1，当 nN 时，有0an2 an1由 an 收敛得 收敛，再由比较审敛法得收敛【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 Sn=a1+a2+an，S n+1
11、=(a1 一 a0)+2(a2 一 a1)+(n+1)(an+1 一 an)，则 Sn+1=(n+1)an+1 一 Sn 一 a0，因为 n(an 一 an 一 1)收敛且数列na n收敛，所以(n+1)an+1 都存在，于是 Sn 存在，根据级数收敛的定义， an 收敛【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为a nn单调减少且 an0(n=1，2，)，所以由 (一 1)nan 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由 收敛【知识模块】 微积分28 【正确答案】 (1)因为na n有界，所以存在 M0，使得 0na nM，即 0a n2而级数 收敛，所以级数 an2 收敛(2)取0= =k0，所以存在 N0，当 nN 时，|n 2an 一 k| ，即0n 2an ，或者 0a n 而 an 收敛【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)由 则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，【知识模块】 微积分30 【正确答案】 显然 为正项级数(1)因为对所有 n 满足 cnun 一cn+1un+10，于是 cnuncn+1 cnunc 1u10，从而 unc1u1也发散(2)因为对所有 n 满足 一 cn+1a，则cnun 一 cn+1un+1aun+1，即 cnun(cn+1+a)un+1，所以 于是因为un 也收敛【知识模块】 微积分
