1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 P(A)=a， P(B)=b，P(A+B)=c，则 ( )（A）a 一 b（B） cb（C） a(1b)（D）a(1 一 c)2 设 X 的概率密度为 ，则 Y=2X 的概率密度为 ( )3 设 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= (X1+X2+X3)，则 Y2 的数学期望为 ( )4 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X n 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样
2、本，统计量( )5 设 x1，x 2，x n 是来自总体XN(， 2)(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )二、填空题6 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为 _ 7 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的密度函数为 fY(y)= _8 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，记 则E(X1+X2)为_9 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且，则 EX1(X1+X2-X3)为_10 设总体 XP()，X 1， X2，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的
3、均值和方差分别为 X 和 S2，则 和 E(S2)分别为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 从装有 1 个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5 次得样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5。记 Y=X1+X2+X5，求：11 y 的分布律，E(Y)，E(Y 2)；12 ，S 2 分别为样本 X1，X 2，X 5 的均值与方差)13 若 X 2(n)，证明：EX=n，DX=2n 14 已知 Xt(n) ，求证：X 2F(1，n)15 设 X1，X 2，X m， Y1，Y 2，Y n 独立。X iN，(a ， 2)，i=1，2 ， m，Y iN(b， 2
4、)，i=1，16 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1。现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X 为所抽到的白球个数这样做了 n 次以后，获得一组样本：X 1，X 2，X n。基于此，求未知参数 a 的矩估计 和最大似然估计 17 罐中有 N 个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N 一 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n 次，若掷出 0 次、1 次、2 次正面的次数分别为，n 0，X 1，n 2，利用(1)矩法；(2) 最大似然法，求参数 的估计量18 设总体 X
5、 的概率密度为 又设X1，X 2，X n 是来自 X 的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量19 设总体 X 的概率密度为 试用样本X1，X 2，X n 求参数 的矩估计和最大似然估计20 设 X1，X 2，X n 是来自对数级数分布的一个样本，求 p 的矩估计21 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，X 1，X 2，X n 为取自 X 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计22 设总体的分布列为截尾几何分布 P(X=k)= k-1(1 一 )， k=1 ，2，r， P(X=r+1)=r，从中抽得样本 X1，X 2，X n，其中有 m 个取值为 r+1，求 的极大似然估计23
6、设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X n 是其样本(1)求 C 使得是 2 的无偏估计量；(2)求 k 使得为 的无偏估计量24 设 X1，X 2，X n 是来自总体 F(x；)的一个样本， (X1，X n)是 的一个估计量，若 是 的相合(一致 )估计量25 设 X1，X 2，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：Tn=maxX1，X 2，X n是 的相合估计26 已知 X 具有概率密度 X1，X 2，X n为 X 的简单随机样本。求未知参数 的矩估计和最大似然估计27 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自 X 的样本，证明：估计量都是
7、的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效28 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 EX=，DX= 2，试确定常数 C，使 一 CS2 为 2 的无偏估计29 设从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1 的常数 a，b，是 的无偏估计量，并确定常数 a，b，使得方差 DT 达到最小考研数学三（概率统计）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模
8、块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X1+X2+X3P(3) ， E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3，【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 在 未知时， 2 的最大似然估计值为 ，因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 独立重复试验至少命中一次的对立事件是四次都没有命中四次都没有命中的概率是【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
9、 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 E(X 1)=Py1)= 1+e-ydy=e-1，E(X 2)=Py2= 1+c-ydy=e-2，所以E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=e-1+e-2=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 EX 1(X1+X2X3)=E(X12+X1X2X1X3)=E(X12)+E(X1)E(X2)一 E(X1)E(X3)=D(X1)+E(X1)2+E(X1)E(X2)一 E(X1)E(X3)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 +2，【试题解析】 ，E(S 2)=DX=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应
10、写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，所以 从而【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 由于 X 的分布律为 所以【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 因 X 2(n)，所以 X 可表示为 X= ，其中 X1，X 2，X n相互独立，且均服从 N(0，1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 Xt(n) ，则 X 可表示为 X= ，其中 ZN(0 ，1) ，y 2(n)且 Z， Y 相互独立，又 Z2 2(1)，于是【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由于
11、 XiN(a ， 2)，i：1，2，m，Y iN(b ， 2)，i=1，2 ， n，且 X1，X 2，X m，【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由题意知，随机变量 X 的分布律为对于给定的样本 X1，X 2，X n，似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 X 为连掷两次正面出现的次数， A=取出的硬币为普通硬币 ，则【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 先求矩估计：【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 T n=X(n)的分布函数为故 Tn 是 的相合估计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 先求矩估计。【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
