1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( ) 2 设 X，Y 为两个随机变量，则 P(minX，Y1)=( ) 3 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2(a0)上服从均匀分布，p=P(X2+9Y29a2)，则( )（A）p 的值与以无关，且（B） p 的值与以无关，且（C） p 的值随口值的增大而增大（D）p 的值随以值的增大而减少4 设(X，Y) 服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（A）X，Y 一定相互独立（B） X，Y 的任意线性组合
2、l1X+l2Y 服从正态分布（C） X，Y 都服从正态分布（D）=0 时 X，Y 相互独立5 设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2，则对任意常数 C 有( )（A）E(XC) 2=E(X 一 )2（B） E(XC)2E(X 一 )2（C） E E(XC)2=E(X2)一 C2（D）E(XC) 2E(X 一 )26 设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X，Y 独立（D）X，Y 不独立二、填空题7 设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5， 则n=_，p=_8 随机变
3、量 X 的密度函数为 f(x)=ke-|x|(一 2)=_9 设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则E(X2)=_10 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则11 设随机变量 X 在1，2上服从均匀分布，随机变量 则 D(Y)=_12 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且 X1U0，6，X 2N(0，2 2)，X 3P(3) ，记 Y=X1 一 2X2+3X3，则 D(Y)=_13 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(y)=_， D(Y) =_，14 若随机变量 XN(2， 2)，且 P(2X4)=0
4、3，则 P(X0)=_15 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，ZN(1 ，3 2)，且随机变量 U=X+2Y 一 3Z+2，则 D(U)=_16 设常数 a0，1 ，随机变量 XU0，1，Y=|Xa|，则 E(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 X 在区间一 2，2 上服从均匀分布，令求：17 Y，Z 的联合分布律18 D(Y+Z)19 设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 则在 Y=1 的条件下求随机变量 X 的条件概率分布19 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为20 求 c；21 求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?22
5、求 Z=max(X，Y)的密度22 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 求：23 X，Y 的边缘密度；24 24 设(X，Y)的联合密度函数为25 求 a；26 求 X，Y 的边缘密度，并判断其独立性；27 求 fX|Y(x|y)28 设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布28 设29 判断 X，Y 是否独立，说明理由；30 判断 X，Y 是否不相关，说明理由；31 求 Z=X+Y 的密度31 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布
6、，令 U=X2+Y2求：32 fU(u)；33 PUD(U)|UE(U)考研数学三（概率统计）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X，Y 相互独立且都服从 N(0， 4)分布， 所以 XYN(0 ，8)，从而 故(C)、(D)都不对； P(maxX ，Y 0)=1一 P(maxX， Y0)=1 一 P(X0，Y0) =1 一 P(X0)P(Y0)， 因为 XN(0，4)，YN(0 ，4) ，所以 P(X0)=P(Y0)= 从而有 P(maxX，y0)= (A)不对； P(minX，Y0)=P(X0，Y0
7、)=P(X0)P(Y0)= 选(B)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 C【试题解析】 令 A=X1)，B=Y1 ，则 P(minX，Y1)=1 一 P(minX，Y1)=1 一 P(X 1，Y 1)= =P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)= 选(C) 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D：x 2+y29a2 上服从均匀分布， 所以(X，Y) 的联合密度函数为 选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时， X，Y 才相互独立，选
8、 (A)【知识模块】 概率统计5 【正确答案】 B【试题解析】 E(XC) 2一 EE(X 一 )2=E(X2)一 2CE(X)+C2一E(X 2)一 2E(X)4-2 =C2+2E(X)E(X)一 C一E(X) 2=CE(X)20，选(B)【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Coy(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)【知识模块】 概率统计二、填空题7 【正确答案】 因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2)=D(X)+E(X
9、)2=np(1 一 p)+n2p2，所以 np=5，np(1 p)+n 2p2= 解得 n=15，【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 XB(1 2，05)， E(X)=6，D(X)=3，E(X 2)=D(X)+E(X)2=3+36=39【知识模块】 概率统计10 【正确答案】 因为 XE()，所以 则【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 随机变量 X 的密度函数为 随机变量Y 的可能取值为一 1，0，1， Y 的分布律为则 D(Y)=E(Y2)E(Y) 2=【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 由 D(X2)=4， D(X3)=3 得 D(Y
10、)=D(X 12X2+3X3)=一 D(X1)+4D(X21)+9D(X3)=3+16+27=46【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2，于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=32 【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 由 P(2X4)=03 得 则【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 由 XU-1,3， ZN(1,3 2)得 于是【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 因为 X 在区间一 2，2上
11、服从均匀分布，所以(Y，Z)的可能取值为( 一 1，一 1)，(一 1，1) ，(1，一 1)，(1，1) P(Y=一 1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=P(X一 1)= P(Y=一1，Z=1)=P(X 一 1，X1)=0 ； P(Y=1，Z= 一 1)=P(X一 1，X1)=P( 一 1X1)=P(Y=1，Z=1)=P(X一 1，X1)=P(X 1)= (Y，Z)的联合分布律为 【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 由 得 则 D(Y+Z)=2【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 P(Y=1)=06， 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 【知识
12、模块】 概率统计21 【正确答案】 当 x0 时，f X(x)=0；当 x0 时， 当 y0 时，f Y(y)=0；当 y0 时， 显然当x0，y0 时，f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不相互独立【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 当 z0 时，F Z(z)=0； 当 z0 时，F Z(z)=P(Zz)=P(maxX，Y)z)=P(Xz，Yz) 则【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 由 得 a=1【知识模块】 概率统计26 【正确答案】
13、当 x0 时，f X(x)=0； 当 x0 时，于是 当 y0 时，fY(y)=0；当 y0 时， 于是因为 f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率统计28 【正确答案】 因为 XE()，所以 从而 根据题意有Y=minX，2 当 y0 时，F(y)=0 ；当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，F(y)=P(Yy)=一 P(minX，2y)=P(Xy)= 故 Y 服从的分布为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计29 【正确答案】 0x1 时， 则 同理 因为当 0yx1时，f(x，y)f X(x)fY
14、(y)，所以 X，Y 不独立【知识模块】 概率统计30 【正确答案】 因为Cov(X，Y)=E(Yy)一 E(X)E(Y)= 所以 X，Y 相关【知识模块】 概率统计31 【正确答案】 当 z0 或 z2 时，f Z(z)=0； 当 0z1时， 当 1z2 时，所以有【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计32 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为 FU(u)=P(Uu)当 U0 时，FU(u)=0； 当 u0 时， 所以 即 U 服从参数 的指数分布【知识模块】 概率统计33 【正确答案】 E(U)=2，D(U)=4 ， 因为P(U4)=1 一 P(U4)=1 一 (1 一 e-2)=e-2，P(U2)=1 一(1 一 e-1)=e-1， 所以 PUD(U)I UE(U)=e-1【知识模块】 概率统计
