1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 42 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是任意两个随机事件，又知 B A，且 P(A)P(B)1，则一定有（A）P(AB)=P(A)+P(B)（B） P(AB)=P(A)一 P(B)（C） P(AB)=P(A)P(BA)（D）P(AB)P(A)2 已知随机变量 X 与 Y 均服从 0-1 分布，且 EXY= ，则 PX+Y1=3 已知随机变量 X 与 Y 有相同的不为零的方差，则 X 与 Y 相关系数 =1 的充要条件是（A）Cov(X+Y，X)=0（B） Cov(X+Y，Y)=0（C） Cov(X
2、+Y，XY)=0（D）Cov(XY，X)=04 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，记 Y=n(X1 一2X2)2+b(3X34X4)2，其中 a，b 为常数，已知 Y 2(n)，则（A）n 必为 2 （B） n 必为 4（C） n 为 1 或 2（D）n 为 2 或 4二、填空题5 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 A=B，则 P(A)=_6 设随机变量 X 与一 X 服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X 的概率密度 f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则 b=_7 设随机变量 X 的概率密度 f(x)= 且 P1X 2=P2X3，则 A=
3、_，B=_；P2X 4=_；分布函数 F(x)=_8 随机从数集1，2，3， 4，5 中有返回的取出 n 个数 X1，X 2，X n，对任何0， =1，则a=_，b=_9 设总体 XE()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n 的联合概率密度 f(x1，x 2， ，x n)=_10 设 X1，X 2，X 9 是来自总体 XN( ，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足 P 一 =095 的常数 =_(196)=0975)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 P(A)=05，P(B)=06，P(B A)=08，求 P(AB)和 P(B )11 每箱产品
4、有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10试求：12 随机检验一箱产品，它能通过验收的概率 P；13 检验 10 箱产品通过率不低于 90的概率 q14 设随机变量 X 的分布律为 求 X 的分布函数 F(x)，并利用分布函数求 P2X6，PX4 ，P1X515 设随机变量 X 服从参数 = 的指数分布，令 Y=min(X，2)，求随机变量 Y 的分布函数 F(y)16 设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：(I)X 与
5、 Y 的边缘分布律，并判断 X 与 Y 是否相互独立； ()PX=Y17 设随机变量 XB(1， )，YE(1) ，且 X 与 Y 相互独立，记 Z=(2X 一 1)Y，(Y，Z)的分布函数为 F(y，z) 试求：()Z 的概率密度 fZ(z)；()F(2，一 1)的值17 将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮筒，记 X 为 1 号邮筒内信的数口，Y 为有信的邮筒数目，求：18 (X， Y)的联合概率分布； 19 Y 的边缘分布；20 在 X=0 条件下，关于 Y 的条件分布21 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度
6、 fY(x)及在 X=x 条件下，关于 Y 的条件概率密度22 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且都服从数学期望为 1 的指数分布，求Z=minX1，X 2，X n的数学期望和方差22 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为又 PX=1=05，且 X 与 Y 不相关23 求未知参数 a，b，c ；24 事件 A=X=1与 B=max(X，Y)=1 是否独立，为什么?25 随机变量 X+Y 与 XY 是否相关，是否独立?26 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 服从参数为(0) 的指数分布，试求总体 X 的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计
7、量26 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， ，X(n)=max(X 1，X n)27 求 的矩估计量和最大似然估计量；28 求常数 a， b，使考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 42 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，则 AB=B，AB=A当 P(A)0 时，选项(A) 不成立；当 P(A)=0 时，条件概率 P(BA) 不存在，选项(C) 不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设 P(A)P(B)，故选项(B)不成立对于选项(D)，依题设条件 0P
8、(A)P(B)1，可知条件概率 P(AB)存在，并且 P(AB)= P(A) ，故应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 均服从 0-1 分布，可以列出(X，Y) 的联合分布如下：由二维离散型随机变量(X，Y) 的函数的数学期望的定义式(45) 可知，随机变量 Z=g(X，Y)=XY 的数学期望为 E(XY)=0 0 PX=0，Y=0+01PX=0，Y=1+1 0PX=1，Y=0+1 1 PX=1，Y=1=PX=1，Y=1 即 P22= ，从而 PX+Y1=PX=0 ，Y=0+PX=0 ，Y=1 +PX=1 ，Y=0=P 11+P12+P21=
9、1 一 P22= ，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 直接用定义通过计算确定正确选项，已知 DX=DY=20，则故选(D)，其余选项均不正确，这是因为当 DX=DY 时，【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 依题意 XiN(0 ，2 2)且相互独立，所以 X1 一 2X2N(0，20)，3X 34X4N(0 ，100)，故 N(0，1)且它们相互独立，由 2 分布的典型模式及性质知(1)当 时，Y 2(2)；(2)当a= ， b=0，或 a=0，b= 时，Y 2(1)由上可知，n=1 或 2，即应选(C) 【知识模块】 概率论与
10、数理统计二、填空题5 【正确答案】 0【试题解析】 由于 A=B，于是有 AB=A=B，又由于 A 与 B 互不相容，因此所以 P(A)=0【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 若 XUa，b，则一 XU一 b，一 a，由 X 与一 X 同分布可知a=一 b，即 XU b ，b，于是有由题设f2(x)也是概率密度，则由 1= f2(x)dx=b b 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 由于 1= f(x)dx=12Axdx 23Bdx= AB，又 P1X 2=P2X3，即 12Axdx=23Bdx， ，且P2X 4= 24f(x)dx=33 F
11、(x)= x)f(t)dt=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 a=3；b=11；【试题解析】 依题意 X1，X n 相互独立且有相同的概率分布：PX i=k= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望： EXi= (1+2+3+4+5)=3，根据辛钦大数定律，当 n 时， Xi 依概率收敛于 3，即 a=3同理，X12，X n2 相互独立且 PXi2=k2= (1+4+9+16+25)=11，当 n时 Xi2 依概率收敛于 11，即 b=11【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率密度 f(x)= 由于 X1，X 2，X n 相互独立，且
12、与总体 X 服从同一指数分布，因此 f(x1，x 2，x n)=【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 13067【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由题设及乘法公式有 P(AB)=P(A)P(BA)=0508=04，从而依题设及加法公式有 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+06 一 04=07由条件概率的定义有 =P(B)一 P(BA)1 一 P(A)=(0604)(1 05)=0 4【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 记 B=“任取一件产品为
13、正品 ”，由题设知 P(AB)=1002=0 98 ， =01，所以 P=P(A)=P(BA)+=098P(B)+1 一 P(B)01=01+088P(B)显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，为计算 P(B)，我们再次应用全概率公式，若记 Ci=“每箱产品含 i 件次品”(i=0，1，2)，则C0，C 1，C 2 是一完备事件组，P(C i)= ，故 B=C0BC1BC2B，且 P(B)=P(C0)P(BC 0)+P(C1)P(BC 1)+P(C2)P(BC 2)= =09所以 P=01+08809=0892【试题解析】 如果记 A=“一箱产品能通过验收”，则 P=P(A)，事件 A 等
14、价于“在10 件产品中任取一件检验结果为正品”，A 的发生与其前提条件 “取出产品是正品还是次品”有关，因此我们用全概率公式计算 P(A)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 如果用 X 表示检验 10 箱被接收的箱数，则通过率为PX9，其中 X 是 10 次检验事件 A 发生的次数，X8(10，0892)，故 q=PX9=PX=9+PX=10=100892 20108+0892 100705【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 X 为离散型随机变量，其分布函数为 F(x)=，这里和式是对所有满足 xix 的 i 求和，仅当xi=1， 4，6，10 时概率 PX=xi0
15、，故有当 x1 时，F(x)=PXx=0；当 1x4时，F(x)=PXx=PX=1=26；当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36；当 6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=56；当 x10 时，F(x)=PX=1+PX=4+PX=6+PX=10=1于是P2X6=F(6)一 F(2)=5613=1 2， PX4=F(4)一 PX=4=1216=13，P1X5 =P1X5+PX=1一 PX=5=F(5)一 F(1)+130=121 3+13=12【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2，因此随机变量
16、Y 的取值一定不小于 0 且不大于 2，即 P0Y2=1，由于 X 服从参数 = 的指数分布，因此当 x0 时，PXx=1 当 0y2 时，P Yy=Pmin(X，2)y =PXy =1 一 于是，Y 的分布函数为 F(y)=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (I)由于边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以假如随机变量 X 与 Y 相互独立，就应该对任意的 i，j，都有 pij=pi pj ，而本题中，p14=0，但是 p1 与 P4 均不为零，所以 P14P1 P4 ，故 X 与 Y 不是相互独立的( )PX=Y= 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答
17、案】 X，Y E(1) ，记Y 的分布函数为 FY(y)，密度函数为 fY(y)，则 fY(y)= 由于 Z=(2X一 1)Y 是离散型与连续型的结合，故有分布函数 FZ(z)=PZz=P(2X 一 1)Yz=P(2X 一 1)Yz，X=0+P(2X 一 1)Yz，X=1=P 一 Yz，X=0+ Yz ，X=1=P一 YzPX=0+PYzPX=1= 或者用全概率公式：F Z(z)=PZz=P(2X 一 1)Yz=PX=0P(2X 一 1)YzX=0+PX=1P(2X 一 1)YzX=1()F(2 ，一 1)=PY2，Z 一 1=PY2，(2X 一 1)Y一 1=PX=0PY2，(2X一 1)Y
18、一 1X=0+PX=1PY2，(2X 一 1)Y一 1X=1【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 (X，Y) 的全部可能取值为(0，1) ， (0，2)，(0 ，3)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，再分别计算相应概率事件 X=0，Y=1表示“ 三封信均投入后 3个邮筒中的某一个邮筒内”依古典概型公式，样本空间所含样本点数为 43=64，有利于事件X=0，Y=1的样本点数为 C31=3，于是 PX=0，Y=1= 另一种计算事件X=0，Y=1的概率的方法是用乘法公式：PX=0，Y=1=PX=0PY=1X=0= 类似地可以计算出各有关概率值
19、，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 从表中看出 Y 只取 1，2，3 j 个可能值，相应概率分别是对表中Pij 的各列求和，于是 Y 的边缘分布为表中最后一行的值【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 PX=0=(j=1，2，3)在X=0 条件下，关于 Y 的条件分布，可以应用上述公式计算出来，列表如下：【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 如图 34 所示，区域 D 是一个底边平行于 x 轴的等腰梯形，其面积 SD= (1+3)1=2，因此(X ，Y)的联合概率密度为f(x，y)= fX(x)= f(x，y)dy=当 0x1 时，f YX (y
20、x)=当 1x2 时，f YX (y x)= 当 2x3时，f YX (y x)= 当 x0 或 x3 时，由于 fX(x)=0，因此条件密度 fY X(yx)不存在，注意在 x0 或 x3 时，f YX (yx)不是零，而是不存在【试题解析】 如果已知(X，Y)的联合密度，求其中一个随机变量的边缘密度及条件概率密度，可直接根据公式(37)与(38) 计算，为此我们应先计算(X，Y) 的联合概率密度【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 X i(i=1，2，n)的分布函数为 F(x)= 由于诸 Xi(i=1，2，n)相互独立，则 Z=minX1，X 2，X n的分布函数与概率密度分别
21、为 FZ(z)=1 一1 一 F(z)n=由于 E(Z)=0 znenz dz=，E(Z 2)=0 z2nenz dz= ，于是 D(Z)=E(Z2)一E(Z) 2=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 应用联合分布、边缘分布关系及 X 与 Y 不相关求参数a、b、c由于 PX=1=05，故 PX=一 1=0 5，a=050101=0 3又 X 与 Y 不相关 E(XY)=EXEY，其中 EX=(一 1)05+105=0XY 可能取值为一 1，0，1，且 PXY=一 1=PX= 一1，Y=1+PX=1，Y=一 1=01+b，PXY=1=PX=1，Y=1
22、+PX= 一 1，Y= 一1=01+c ，PXY=0=PX= 一 1，Y=0+P X=1，Y=0=a+01，所以 E(XY)=一 01 一 b+01+c=c b，由 E(XY)=EXEY=0= cb=0，b=c，又b+01+c=0 5，所以 b=c=02【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 由于 A=X=1 B=max(X，Y)=1，P(AB)=P(A)=05， 0P(B)1，又 P(A)P(B)=05P(B) 05=P(AB)，即 P(AB)P(A)P(B)，所以 A 与 B 不独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 因为 Cov(X+Y，XY)=Cov(X，X)一
23、 Cov(X，Y)+Cov(Y，X)一Cov(Y，Y)=DXDY，DX=EX 2 一(EX) 2=1，EY=0，DY=EY 2 一(EY) 2=06，所以Cov(X+Y，XY)=1 一 06=040，X+Y 与 XY 相关 X+Y 与 XY 不独立【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由题设知，总体 X 的概率密度为 f(x)=而 E(X)= 进行矩估计和最大似然估计首先求矩估计量 ：只有一个参数，用总体矩等于样本矩来解总体一阶矩为 E(X)，样本一阶矩为 再求最大似然估计量 ：似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 依题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为令 =EX= ，解得=2，于是 的矩估计量为 又样本 X1，X n 的似然函数为L(x1，x n；)= L()为 的单调减函数，且 0xi，即 要取大于 xi 的一切值，因此 的最小取值为max(x1，x n)， 的最大似然估计量 =max(X1，X n)=X(n)【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)，由 X(n)=max(X1，X n)得【知识模块】 概率论与数理统计
