1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 45 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且
2、 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)=1 0 a f(x)dxB.F(a)= C.F(a)=F(a)D.F(a)=2F(a)15.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布6.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.
3、B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)7.设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：36.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 （分数：2.00）_12.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数
4、：2.00）_13.袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_14.设随机变量 XE()，令 （分数：2.00）_15.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：2.00）_(3).求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数（分数：2.00）_16.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_设随机变量 X 的密度函数为 （分
5、数：6.00）(1).求 E(X)，D(X)；（分数：2.00）_(2).求 Cov(X，X)，问 X，X是否不相关?（分数：2.00）_(3).问 X，X是否相互独立?（分数：2.00）_17.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n )，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_18.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(y)=9， （分数：2.00）_19.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_20.设总体 X 服从正态分
6、布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 （分数：2.00）_21.设总体 X 的概率分布为 （分数：2.00）_22.设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 45 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B. C.
7、D.解析：解析：因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有3.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容 解析：解析：P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1，则4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有(
8、)（分数：2.00）A.F(a)=1 0 a f(x)dxB.F(a)= C.F(a)=F(a)D.F(a)=2F(a)1解析：解析：F(a)= a f(x)dx a + f(t)dt= a + f(t)dt=1 a f(t)dt =1( a f(t)dt+ a a f(t)dt)=1F(a)2 0 a f(t)dt 则 F(a)= 5.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布 解析：解析：若 X，Y 独立且都服
9、从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选 D6.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，y)=a 2 +4b 2 2ab， 即 aX+byN(a+2b，a 2 +4b 2 2ab)， 由 P(aX+by1)=05 得 a+2b=1，所以选 D二、填空题(总题数：3，分数
10、：6.00)7.设随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X5Y3)=8.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E(X)=1）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：因为 于是 E(X)=1，9.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 所以三、解答题(总题数：15，分数：36.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 A，B
11、是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：04)解析：解析：因为 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06， 所以 P(AB)=02又因为 =P(A)P(AB)， 所以12.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：根据题意得 因为 =P(B)P(AB)，所以 P(A)=P(B)，再由独立得 P(A)P 2 (A)= 13.袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的
12、概率(1ka+b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：基本事件数 n=(a+b)!，设 A k =第 k 次取到黑球，则有利样本点数为 a(a+b1)!，所以 )解析：14.设随机变量 XE()，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X+Y=0)=P(Y=X)=P(X1)=P(X1)+P(X1) =P(X1)=1P(X1)=1F X (1)=e F Y (y)=P(Yy)=P(Yy，X1)+P(Yy，X1) =P(XY，X1)+P(Xy，X1)+P(XY，X1) =P(XY，0X1)+P(Xy，X1) 当 y1 时，F Y (y)=P(Xy)=e y ； 当1y Y (y)=
13、P(X1)=e ； 当 0y1 时，F Y (y)=P(XY)+P(X1)=1e y +e ； 当 y1 时，F Y (y)=P(0X1)+P(X1)=1， 故 )解析：15.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)= i=1，2，3； P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)= P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)= P(U=3，V=2)=P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)= P(U=1，V=2)
14、=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以(U，V)的联合分布律为 (3)由于 P(U=1)=P(X=1，Y=1)= P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=2)+P(X=1，Y=3)= 而 P(U=1)P(V=1)= 所以U，V 不相互独立 (4)P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3，V=3)= )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：6.00）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： X (x)= + f(x，y)dy 当 x0
15、 时，f X (x)=0； 当 x0 时，f(x)= + f(x，y)dy= 0 + 2e (x+2y) dy=e x 0 + e 2y d(2y)=e x ， 则 f Y (y)= + f(x，y)dx， 当 y0 时，f Y (y)=0； 当 y0 时，f Y (y)= 0 + 2e (x+2y) dx=2e 2y 0 + e x dx=2e 2y ， 则 )解析：(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)=f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立)解析：(3).求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数
16、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F z (z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= f(x，y)dxdy， 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， = 0 z e x (1e xz )dx=1e z ze z 则 )解析：16.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 )解析：设随机变量 X 的密度函数为 （分数：6.00）(1).求 E(X)，D(X)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)= + xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2 )E(X) 2 = +
17、x 2 f(x)dx= + x 2 e x dx=(3)=2)解析：(2).求 Cov(X，X)，问 X，X是否不相关?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 Cov(X，X)=EXX EX.EX=EXX = + xxf(x)dx=0，所以 X，X 不相关)解析：(3).问 X，X是否相互独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 a0，PXa，X a)=PXa)， 而 0P(Xa)1，所以PXa，X aPX aP(Xa)， 故X ，X 不相互独立)解析：17.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X
18、n )，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=P(maxX 1 ，X 2 ，X n u) =PX 1 u，X 2 u，X n u) )解析：18.设 X，Y 为随机变量，且 E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(y)=9， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+223=7 于是 PX+Y310=PUE(U)10 )解析：19.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 相互独立，由 t 分布的定义得 )解析：20.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设总体 X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1)+2 2 +3(12)=34， L()= 2 2(1) 2 2 (12) 4 =4 6 (1) 2 (12) 4 ，lnL()=ln4+61n+21n(1)+4ln(12)，令 得参数 的最大似然估计值为 )解析：22.设总体 X 在区间(0，
20、)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为 F U (u)=P(Uu)=P(maxX 1 ，X 2 ，X 3 )u)=P(X 1 u，X 2 u，X 3 u) =P(X 1 u)P(X 2 u)P(X 3 u)= F V (v)=P(Vv)=P(minX 1 ，X 2 ，X 3 )v)=1P(minX 1 ，X 2 ，X 3 )v) =1P(X 1 v，X 2 v，X 3 v)=1P(X 1 v)P(X 2 v)P(X 3 v) =11P(X 1 v)11P(X 2 v)1P(X 3 v) 则 U，V 的密度函数分别为 所以 都是参数 的无偏估计量 因为 )解析：
